1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 73
Текст из файла (страница 73)
4. Введение в функциональный анализ 428 164. Пусть 1 - ограниченное билинейное отображение 1: Х х х Х х У вЂ” «Я и Г: х — «Г"„х е Х (см. задачу 163). Тогда длн любого у 6 У верно равенство (Е(х))(д) = (а(у) = Дх;у), В' нвляется ли- нейным ограниченным оператором, отображающим«пространство Х в пространство .х'(У; л), т. е. В' 6 .К(Х,.2з(У; л)), и уР~~ = 'д1'у.
165. Отображение 1" — «Е (см. задачу 164) явлнется изоморф- ным отображением пространства .2'г(Х, У; Я) на пространство К(Х,.2'(У; Х)). 166. По аналогии с билинейным отображением определяется по- нятие и-линейного отображения Х«х Хг х ... х Մ— «1; п = 1,2, ..., и его норма (Хы Хг, ..., Х„, У нормированные пространства). Нор- мированное пространство всех ограниченных и-липейных отображе- ний х'а(Хы Хг, .... Х„; У) изоморфно с пространством ха(Хы.2'(Хе, .... К(Ха; У)...)), причем существует такой изоморфизм этих пространств, что для со- ответствующих при нем друг другу элементов ,1 6 Ка,(ХыХг, ...,Ха; У) и В' с .2'(Хы.2з(Ха, ...,.2'(Ха; 1 )...)) для любых хь е Хь, В = 1, 2, ..., и, имеет место соотношение (...((Вх«)х )...)ха = г(хз;х; ...;х„).
В задачах 167 — 174 доказать сформулированные утверждения. 167. Если отображение 1: С вЂ” «У открытого в Х множества С дифферепцируемо в точке хо Е С, то оно и непрерывно в этой точке. 168. Если отображение 1: С вЂ” «1' открытого в пространстве Х множества С дифференцируемо в точке х 6 С, то его дифференциал в этой точке определен однозначно. 169. Если отображение 1: С -ь 1 постоянно на открытом в пространстве Х множестве С, то Г'(х) = 0 на С. 176.
Если хо 6 Л, а Е Х и г"(1) = хо + аг, — со < г < +со., то отображение Г': й †« Х дифференцируемо во всех точках 1 Е й и Г(ха+ 1а) = а. 171. Отображение у = г (х), х = (х~ , '..., ха), у = (уы " ' ут) крытого в пространстве Яа множества С в пространство К~ дифференцируемо в точке х Е С тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы все его координатные функции у, = у,(х«, .., .х„), 1 = 1,2, ...,зп, причем производная Г"'(х) задается матриией Бноби ( д'), 1=1,2,...,т; 4'=1,2,...,п.
172. Доказать, что дифференциал линейного отображения совпадает с самим отображением. 173. Если отображение щ = г"(г), "= х+ ад, ш = и+до, открытого множества С С С в комплексную плоскость С дифферепцируемо дту. Нормированные и полунормированные пространства 429 в точке ло — — хо + 1уо в смысле Фреше, то в этой точке выполняются условия Коши- Римана ди(хш уе) до(хе; уе) до(хе; ув) ди(хш ув) д' = ду ' дх = ду д~р(й е) 174. Пусть функции со(йе) и '' непрерывны в полосе а < < 1 < Ь, — оо < в < +со и отображение 1: С[а; 6] — + С[а: Ь] задается Д(х) = ,'р($: х(!)), х е С[а; Ь] (см. задачу 8).
Тогда отображение г" дифференцируомо в любой точ- ке хоеС[а;6] и (г'(хо))(6(с)) = ' ~ 6(с), 6 Е С[а;6]. Получить отсюда форьлулу для производной отображения 1: С[а; 6] — г -4 С[а; 6] умножения на непрерывную функцию, т. е. для производной отображения (г(х))(1) = р(!)х(!). 175. Найти производные следующих отображений в указанных точках (см. задачу 8): 1) 1(х) = а!пх(!), г": С[0:, т] — ~ С[0; я] в точке хо = соей 2) г"(х) = ахи(!) + Ьх(!) + с, т"; С[0; Ц вЂ” 4 С[0; Ц в точке хо = 0:, 3) г"(х) = е' О!,,г": С[1; 2] — г С[1; 2] в точке хо =!пй 176. Найти производную Фреше функционала ь г(х) = ( г (й х(!);х'(4)) с!1, определенного на банаховом пространстве С' [а; Ь] непрерывно диффе- ренцируемых на отрезке [а; 6] функций х(4), обращающихся в нуль на его концах, в предположении двая ды непрерывной дифференци- руемости функции Ь'.
Во всех дальнейших задачах этого параграфа под пространством понимается линейное нормированное пространство, если, конечно, не оговорено что-либо другое. В задачах 177 †1 доказать сформулированные утверждения. 177. Если отображения г": С вЂ” г У и 9: С вЂ” > У открытого в пространстве Х множества С дифференцируемы в точке х е С, то любая их линейная комбинация Л г" + рд также дифференцируема в этой (ЛУ+ рд)'(х) = ЛХ'(х) + рд (х) 178.
Если отображение Г": С -+ 1 открытого в пространстве Х множества С диффсренцируемо в точке х -!- 1в6, 0 < Ьо < 1, интервала (х; х+ 6) с С, то отображение д(!) = г"(х+ !6), 0 < ! < 1, дифференцируемо в точке 4о и д (!о) = Г(хо + 6о6)6. Гл. 4. Введение в функциональный анализ 430 179.
Если Х, У и Я . - нормированные пространства, С и Р— открытые множества соответственно в Х и 1; отображение г": С вЂ” ~ -+ Р дифференцируемо в точке х б С, а отображение д: Р -4 Я в точке Д(х), то их композиции д1 дифференцируема в точке х и ее дифференциал в этой точке равен композиции дифференциалов отображений 1 и д: Р(д(1(х)))(Р1(х)). 180. Условие (2) равносильно условию существования предела ф(х 4-ьа) — ф(х) з †181. Отображение х — > [[х[[, х б Х, имеет в точке х = 0 производную по любому направлению, но не дифференцируемо в этой точке. 182. Если отобраязение Г": С 4 У открытого в пространстве Х множества С дифференцируемо в точке х е С по Фреше, то оно в этой точке имеет производную по любому направлению.
183. Если в данной точке у заданного отобразкения существует сильный дифференциал, то в ней существует и слабый, причем они совпадают. 184. Привести пример отображения, имеющего в некоторой точке слабый дифференциал и не имеющего в ней сильного. В задачах 185 193 доказать сформулированные утверждении. 185. Если у отображения г": С вЂ” ь У открытого в пространстне Х множестна С в некоторой окрестности точки х б С существует слабая производная Р„ ((х), непрерывная в точке х (т. е. в этой точке непРеРывно отобРажение х -+ (Р л1)(х) Е 2'(Х; У)), то в ней сУществует сильная производная Р1'(х), и она совпадает со слабой. 186. Пусть уз отображение отрезка [О;1] в линейное нормированное пространство 1; а ф действительная функция, заданная также на отрезке [О:1), причем уз и ф непрерывны на этом отрезке и дифференцируемы в его внутренних точках.
Тогда, если для всех 4 б (О: 1) выполняется неравенство [[уз'(ь)[[ < дз'(г), то выполняется и неравенство [[уз(1) — уо(0)[[ < ф(1) — 6(0). 187. Если отображение 1: С вЂ” 4 У открытого в пространстве Х множества С непрерывно на отрезке [ха,.х) С С и дифференцируемо на интервале (хо:, х), то тха+ М вЂ” У(хоП < [[5[[ р [[У'КП ьз:е,лз 188. Билинейную форму г'(х; д), х Е Х, д Е Х, называют симлзетринной, если для любых элементов х Е Х и д Е Х выполняется равенство 1'(х: у) = г'(д; х).
Если отображение 1: С 4 У открытого в пространстве Х множества С имеет вторую производную 1о в точке хо Е С, то эта производнан является симметричной формой, ГЖ Нормированные и нолрнор22ированные нросшранства 431 принадлелкащей пространству х'2(Х2; У) = Кз(Х, Х; У) (см. задачу 159). 189. Имеет место формула 1 (х)()11~" Ьп) — ((2 ) (х)61)('12 " Ьо).
190. Имеет место формула ((Т'-')'"-ж'(.И И;;6.=))(6. °; ..: в) = = 7"1о1(Х)(61; ...:, Ьо), 0 < ГП < П. 191. ПрОИЗВОдиая Г"1в1 ЛЮбОГО ПОрядКа И, янпявтея СИММЕтрИЧНОй Н-ЛИНЕйией ФОРМОЙ (Н-ЛИНЕЙНУЮ фОРЛ1У Г(Х1, ..., .Хв) НаЗЫВаЮт Симметричной, если ее значения не меняются при любой перестановке ее аргулеентов). 192. Если отображение Г: С вЂ” л У открытого в пространстве Х ллножества С имеет на отрезке [хо,.х] С С п, непрерывных производных и на интервале (хв, .х) производную порядка и+ 1, то ((х11 + 6) — ((хо) — ( (хо)6 —,' 6 — ...
—, 6' < 2 Тн(хе) 2 У ' (хе) в ]]6]]" ' <, апр ]],(1" О®]], хо+ 6 6 [хо,х]. (н + 1)' 1не;хен-Л1 193. Если в предположениях предыдущей задачи производная порядка и, + 1 отображения 7" ограничена на интервале (хо, .х): с = зпр ]]Г'о~ ~(~)]] < +со, 1но,е1 то о (о) ((хо + 6) = У(хо) + У'(хо) 6 + ",'" 6' + ... + ,'" 6" + о(6") 6 -4 0 (формула Тейлора). 194. Для отображения 1: С2[0;1] -4 С[0;1] (см. задачу 69) се х (1(х))(1) = —, + элях(Г) найти нсе его производные в точке х = 1 и разложить по формуле Тейлора в окрестности этой точки.
3 195. Дать определение интеграла Римана-Бохнера ( х(4) сЬ, х: [сц)4] 4 Х, [си 14] С й, в терминах пределов последовательностей интегральных сумм и доказать его эквивалентность с определением (3). В задачах 196 — 207 доказать сформулированные утверждения. 196. Если функция х; [о,6] — л Х, Х линейное нормированное пространство, то она ограничена, т. е. множество ее значений является ограниченным в пространстве Х множеством. Гл.
4. Введение в функциональный анализ 432 197. Пусть х; [еб)3] — ~Х .. ограниченная функция, г=(ьз),':,';-- разбиение отрезка [о;)3], ы,[х; т) = ацр [[Дт~) — г®[[. Вие$ь ьц,,' Тогда для того чтобы существовал интеграл / х[С) е1го необходимо и достаточно, чтобы а 1пп ~из,[х; г)Ьь, = О. )е(-ьа з=-1 в 198. Для того чтобы существовал интеграл / х[ь) Ж от ограниченной функции х: [оцз3] 4 х, где х . — банахово пространство, необходимо и достаточно, чтобы, какова бы ни была последовательность 1х,,) интегральных сумм функции х[1), у которой 1цп [та[ = = О, для любого е > 0 существовал такой номер па, что для всех номеров а,т > по выполняется неравенство [и,„ — аа [ < е.
199. Если функция х: [о;,3] -4 Х непрерывна, то она ннтегрируелла. 200. Линейная комбинация интегрируемых на отрезке [ец Д функций является интегрируемой на этом отрезке функцией, и интеграл [2) от линейной комбинации функций равен такой зке линейной комбинации интегралов от этих функций. 201. Если функция х: [сц!3] -+ Х интегрируеьла на отрезке [ец,В], то она интегрируема и на любом отрезке [о': 3'] С [ецио. 202. Если функция х: [сц )3] — 4 Х интегрируелла на отрезках [ец у] и [Т; ьч], о < 3 < 3, то она интегрируема и на отрезке [сц Д и имеет место формула л т 3 / х[4) й1 = / х(4) й + /хЯ Ж.
203. Если функция х: [ац,3] — ь Х интегрируема на отрезке [ац ь3], то на этом отрезке интегрируема и ее норма [[х(г)[], 1Е [об В], причем а д / х[ь) ьзг < / [[х[г)[[Ж. а 204. Если функция х: [вц)3] — ь Х постоянная: х[4) г— а ха, то оца интегрируема на отрезке [ац Д] и ,з / хЯ Вг = [ь3 — о)хо. ВЖ Нормировонньж и нолунормировакнью нросшранства 433 205. Если отобраяеение х; [о:д[ — в Х имеет вид х(г) = Вд(В)хо, гДе Вд(В) --- числовал фУнкЦиЯ, а хо Е Х, то л р / х(1) йс = хо / Во(В) Ф.
о а 206. Если С: Х4У ограниченноелинейноеотображениенормированного пространства Х в нормированное пространство 1; то / С(х(4)) Ж = С( ~х(В) <Н) . 207. Пусть задано непрерывное отображение г": Х вЂ” в Е нормированного пространства Х в нормированное пространство 1 и [хо, хз] с С Х. Положим /1(х)ах = ~)(хо+1(ть — хо))йй хь о Тогда, если непрерывное отображение Г': Х вЂ” Ь 1 имеет на отрезке [хо, .хь) сильную производную Г', непрерывную по х, то /.г"'( ) й =,г"(х ) — Их ) иь (формула Ньютона — Пейбнииа). ОТВЕТЫ 77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
