1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Доказать, что подпрострапство Н линейного пространства Х является гипсрплоскостью этого пространства тогда и только тогда, когда Н является ядром некоторого линейного функционала. 44. Доказать: если 74 и 7д — — линейно независимые линейные функционалы линейного пространства Х, то существует такой линейный фУнкЦионал д пРостРанства кег1ы что кегд = 'иег 71 й нег 1з.
45. Доказать, что пересечение двух различных гиперплоскостей Н, и Нз линейного пространства Х является гиперплоскостью в каждой из гиперплоскостей Н~ и Нв. 46. Доказать, что если надпространства Н1 и Н являются гиперплоскостями действительного линейного пространства Х, Н, у'=Ни и Ьв бН1 ЛНв, то Н, =Н|ПН едЯЬы 47. Доказать, что в линейном пространстве любые две его гиперплоскости изоморфны. 48. Скалярное произведение (х,д) в и-мерном пространстве Я" является билинейным отображением Я" х Я" в Я.
49. Векторное произведение трехмерных векторов является билинейным отображением Яз х Яз в Я'. 27 Под род. Л.Д.Кудрявиввв, т. 3 418 Гл.4. Введение в функциональный анализ 50. Билинейная форлза П А(х,:у) = ~ аззх,уз, х = (ай,...,ха), у = Ьз,...,да), из=.г является билинейным отображением к" х йа в Я. 51. Если з = Дх; у), х й Х, у Е У, з б л, — билинейное отображение линейного пространства Х х У в линейное пространство л, то для любых чисел Лы Лг, ры рг и хы хг й Х, уы дг е )' имеет место равенство ф(Лгхг + Лгхг' рпдг + Ргдг) = = Лзрз~(хз,д~)+ Лгрчф(хг,уз) + Л~рг~(х1,уг) + Л рг~(хг,уг). 52. Для любого билинейного отображения 1: Х х Х вЂ” ь л имеет место тождество 53.
Множество всех билинейных отображений произведения Х х У линейных пространстн Х и У в линейное пространство л образует при обычном определении линейной операпии над функциями линейное пространство. 54. Билинейную форму Е: Х х У вЂ” ь У назынают симметричной, если для любых элементов х б Х и у й У выполняется равенство Р(х;д) = В'(у:х). Симметричные билинейные формы 1: Хг -4 л и дч Хг — > л, где Хг = Х х Х, совпадают тогда и только тогда, когда совпадают порожденные ими квадратичные формы 1(х;х) и д(х;х). 55. Доказать, что для любых днух элементов х и у полунормированного пространства выполняется неравенство Шх!! — ЬШ < 1~х — д1~ 56.
Доказать, что для любых двух элементов х и у полунормированного пространства выполняется неравенство 'ух)! < тах 1((х+ д((; ()х — дй). 57. Доказать, что полунорма нулевого элемента полунормированного пространстна равна нулю. Доказать, что нижеперечисленные в задачах 58-71 линейные пространства являются нормированными относительно указанных норм. 58.
й, ()хй = (х!. 59. С, 'йг(! = ф. П 60. йз"; 1) ух()г = ~/ ~ х~ь, .2) ((хй„= тах (хь); 3) ух()г = ~ ~)хл(; а=1 ь=г 9НЬ Норлированные и полрнорлированные пространства 419 Ь 11р 4) ЦхЦр — — ( ~ [хе["), 1 < р <+со: х = (х1; ...,х„). Ь=1 61. С" (СЛЛ. ЗадаЧу 3), ЦЕЦ2 = ~/ ~~1 [ЗЬ[~, Е = (Еь,...ргв), Еп Е С, Ь= 1,2,...
62. 1р, 1 < р < +со (см. задачу 12) (хЦр —— [ ~ [хь[р), х = = (Хь ' " ' Ха; ..,), Х„й Й, и = 1, 2, ... 63. 1„(см. задачу 4 из Ц 18 и задачу 7), ЦхЦ вЂ” зпр[х„[ 1 64. 1оо (см. задачу 90 из Ц18 и задачу 7), ЦхЦ = шел[хе[. ЬО1 65. С[а; Ь[ (см. задачу 8), ЦхЦс = пьах[х(1)[, 1в; Ь! 66. СЕ [а; Ь], — оо < а < Ь < +со (см, задачу 7), ЦхЦ =(У[х(')[""')" "-"'- а 67. СЕр(а; Ь), — оо < а < Ь < +ос (см.
задачу 9 из Ц 18), ЦхЦ =(У[х(')[и"') ' "-"'- в 68. В(Е) (см. пример 1 в Ц 18), ЦхЦ = зпр [х(1)[. и 69. С" [а; Ь[ (см. задачу 93 из Ц 18), ЦхЦс» = ~ шах [х1~1(1)[. (а;Ь~ ь=о 70. Н" [а; Ь[., о > О (см. задачу 95 из Ц 18), ЦхЦН. = шах [х(1)[+ зпр ЬЕ(о:Ь),<1, <1,<Ь 71. Н(К) множество аналитических внутри открытого еди- ничного круга К = (з 6 С[ [е[ < Ц функций, непрерывных па его замыкании К, ЦхЦ = иьах[2(ь)[.
1.1=1 В задачах 72 — 75 доказать сформулированные утверждения. 72. Для норм ЦхЦр и ЦхЦ„в задачах 62 и 63 ильеет место соотношение 11ш ЦхЦ1, — — ЦхЦ р — ~со со /т 73 В линейном пространстве Яв фУнкнин ЦхЦ = 1[/ Е *"' Ь=1 О < т < и, является полунормой, но не является в нем нормой. 74. В линейном пространстве С" [ай Ь[, н > 0 (см. задачу 59) функция ЦхЦ = шах[хь"4(ь)[ является полунормой, но не является в нем '1а;Ь,' нормой.
21* Гл. 4. Введение в функциональный анализ 420 75. Функционал дхйр — — ( / )х(1)!РсЫ), являясь полунормой в а пространстве Ш (а;Ь] (см. пример 2), не является в нем нормой. 76. На каких подмножествах множества функций х(1), имеющих на отрезке (а; Ь] абсолютно интегрируемую производную порядка и, ь функционал /!х~"~(1)!е11 будет: нормой; полунормой; для каких пу 77. Можно ли в линейном пространстве дваязды непрерывно дифференцируемых на отрезке (а; Ь] функций принять за норму элемента х(1): 1) Ио)~ + ~х'(и)]+ ~]х" !~с(а;ь); 2) Ио)] + ]~х" 1]с(;ь); 3) Их МС.'ьа~а,ь~ + ~]х !!с~а;ьб 4) ]х(п)! + ]х(Ь)! + М Й~сйа;ьй 5) !х(а)~ + ~~х ]!оба;ь! + 0]х Ус~а;ьр 78. Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируеьиых на отрезке (а; Ь] функций принять за норьиу элемента х(т): 1) тпах )х®); 2) тпах]х'(1)(; 3) )х(Ь) — х(аЯ + шах)х'(1)); (а;ь| (а;ь) (а;ь| 4) !х(а)/+пзах!х'(Ь)!; 5) ~!х(г)!ей+шах!х'(1)/7 (а;ь~ ~а;ь! В задачах 79--84 доказать сформулированные утверждения .
79. В конечпомерном линейном пространстве все нормы эквивалентны. 80. Если Х и У линейные нормированные пространства, "аз ° "*бы!1:ььз, 1ы1ь +!и "Л4%нир х б Х, р б 1, являются эквивалентными нормами в пространстве Х х К ь 81. Функционалы цх)]с = шах]х(1)~ и цх](з — / (х(С)) ььа (см. зада~в;ь~ а чи 65 и 66) являются неэквивалептпыми нормами на линейном пространстве непрерывных на отрезке (а; Ь] функций.
82. Нормы !)х((с и цх()В (см. задачи 65 и 70) не эквивалентны на множестве функций, .удовлетворяющих условию Липшица (т. е. условию Гельдера степени 1) на отрезке (а;Ь]. 83. 1) Множество 1„является замкнутым подпространством ьв) нормированного пространства 1„(см. задачи 63 и 64). 2) Множество, состоящее из точек х = (хы.,.,.хв), у которых все хн, начиная с некоторого номера, равны нулю, является незамкнутым подпространством пространства 1р, 1 < р < +со (см. задачу 62). 84. Множество С"'(а; Ь] является незамкнутым подпространством б1в.
Норлсированные и полрнорльированнеье пространство 421 пространства С[а; Ь) [см, задачи 65 и 69). 85. Образуют ли в пространстве С[ — 1; Ц [см. задачу 65) замкну- тое надпространство следующие множества функций: 1) монотонные функции; 2) четные фуьысции; 3) многочлены; 4) многочлсцы степени < ть; 5) непрерывно дифференцируемые функции; 6) функции, удовлетворяющие условию Гельдера [снь.
зада- чу 105 из з 18) данной степени? 86. ПРи каких Р и с1 спРаведливо включение 1р С 1 [см. зада- чу 62)? 8Т. Доказать, что если х[1) 6 Кйр[а; Ь) [снь. пример 2), 1 < р < [[х[[1 < [Ь а) ~[[х[[о, 1ьр+ 11с1: 1, "[[х[!„< [Ь .) 1 [[х[[, [для неограниченных функций х(1) очевидно, что [[х[[, = +ос). 88. Доказать, что если последовательность функций [хо[1)) рав- номерно сходится к функции х[1) на отрезке [а: Ь) и х„— х 6 ЛЛ [а: Ь), то эта последовательность сходится к функции х и по полунорме пространства Л1,р[а;Ь) [см.
пример 2). 89. Построить пример последовательности непрерывных неотри- цательных на отрезке [О:, 1[ функций, сходящейся в смысле нормы пространства Сйр[0; 1] [см, задачу 66), но не сходящейсн ни в одной точке этого отрсзка. В задачах 90 — 99 доказать сформулированные утверждения. 90. Если в полунормированном пространстве Х последователь- ность [хь, ..., х„; ...) имеет предел, равный а б Х, то для того чтобы та же последовательность имела предел, равный Ь 0 Х, необходимо и достаточно, чтобы [[а — Ь[[ = О. 91. Если последовательность точек сходится по полунорме, то она ограничена. 92.
Функция Г; Х вЂ” ь Я [или 1: Х вЂ” ь С), определенная на полунор- мированпом пространстве Х, является непрерывной в точке хо Е Х тогда и только тогда, когда для любого а > 0 существует такое б > О, что для всех х б Х, удовлетворяющих условию [[х — хо[[ < б, выпол- няется неравенство [.1[х) — Д[хо)[ < в. 93. Полунорма нвляется непрерывной функцией на полунормиро- ванном пространстве.
94. Операции сложения элементов и умножение их на число явля- ются непрерывными в полунормированном пространстве. 95. Множество Е называют плотным в полунорльированноль пространстве Х, если для каждой точки х б Х и любого в > 0 су- 422 Гл. 4. Введение в функциональный анализ ществует такая точка у 6 Е, что цу — хй < в. Множество Со (а; Ь), -сю < а < Ь < +ею (сьп задачу 113 из Ь 18), плотно в пространстве ЯЕр(а; Ь), 1 < р < +ос (см. пример 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
