1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Если метрическое пространство Х является полным с метрикой р[ай у), то будет ли оно полным с метриками рл [л, у), р [х; у) и рз[л;у) задачи 187 В задачах 102.105 доказать сформулированные утверждении. 102. В полном метрическом пространстве замкнутое подмножество полно. 103. Полное подпространство метрического пространства замкнуто. 104. Если множество .4 плотно в метрическом пространстве Х и А С В С Х, то л|ножество В также плотно в Х. 105.
Если множества плотны в метрическом пространстве., то их объединение также плотно в этом пространстве. 106. Привести пример двух плотных в метрическом пространстве множеств, пересечение которых не плотно в нем. 107. Будет ли множество всех ьлногочленов в пространстве С[а; 6] [см. задачу 31); 1) открытым; 2) замкнутым, :3) плотным? В задачах 108-110 доказать сформулированные утверждения.
108. Множество непрерывных кусочно линейных функций плотно в пространстве С[а; 6] [см. задачу 31). 109. Ц Множество многочленов плотно в пространстве С"[а;Ь] [слл. задачу 93); 2) ьлножсство мцогочлепов плотно в пространствах СЕр[а; Ь], 1 < < р < +ос [см, задачу 7); 3) множество тригонометрических многочленов плотно в пространствах непрерывных периодических периода 2л функций с метриками р[ад у) = лпах [х[ь) — у[ь) [., [о;з ) За р[ацу) = (л~[л[1) — лд[Г)[алле), 1 < р < +со. о 4?8. Метрические пространства 395 110.
В полном метрическом пространстве замыкание всякого его надпространства лвллется замкнутым множеством. 111. Числовую последовательность называют уинитной, если в ней только конечное число членов отличны от нуля. Доказать, что подпространство финитных последовательностей пространства ?,о (сьь задачу 90) не являетсл полным. Является ли ?о) какое-нибудь из пространств ? и ? его пополнением'.
?о> у 112. Будет ли подпространство финитпых последовательностей (саи задачу 111) пространства ?л, 1 < р < +ос (см. задачу 5), плотным в этом пространстве? 113. Пусть (а; 6) коночный или бесконечный интервал: — сю < < а < Ь <+эо. Функцию х(1) называют финитной на интервале?а; 6), если ее носителем *) лвляетсл компакт, содержащийся в интервале (а; Ь); эпрр х с (а; Ь).
Будет ли множество С (а; 6) бесконечно дифференпируемых финитных на интервале (а; Ь) функций плотно в пространстве: СТр?а;6), 1 < р < +ею (см. задачу 7); СВ?а;6) (сы. задачу 89)? 114. Будет ли множество непрерывных финитных (сьь задачу 113) на интервале (а; 6), — оо < а < Ь < +со, функций плотным в пространстве СВ(а, 6) ограниченных непрерывных на интервале (а, 6) функций (сьи задачу 100)? В задачах 115 — 123 доказать сформулированные утверждения. 115. Две фундаментальные последовательности (хм ...,хл: ...) и (ут, ..., у„; ...) метрического пространства Х называют эквивалентныжщ если 1пп р(хл;ул) = О.
л чоо Пусть Х* множество всех классов, эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей пространства Х. Тогда если (хт, ..., хл; ...) Е х", ут,, ул; ...) Е у*, то; 1) числовая последовательность р(х„;у„) фундаментальная и, следовательно, существует 1пп р?х Иу ); льоз 2) этот предел не зависит от выбора последовательностей (хт, ...; хл;.,.) Е х", (ут; ...; у~; ".) Е У ' 3) функция р (х у ) 1цп р(хл,ул), (хы..чхл, ) Ех (У~ Ул )ЕУ является метрикой на множество Х'. 110.
Отображение у, ставящее в соответствие каждой точке х Е Е Х класс эквивалентных фундаментальных последовательностей х* *) Носителем ОЗулкции называется замыкание множества точек, в которых функции не равна нулю. Носитель функции Ях) обозначается вцррЯх). 396 Гл. 4. Введение в функциональный анализ (сьь задачу 115), содержащий стационарную последовательность 1х; х; ...; х; ...), являетсл изометричным отображением Х в Х*. 117.
Если (хм...,.х„;...) б х" (сьп задачу 115) и ~(х„) = х,*, (сьь задачу 116), то 1пп р'(х„*,,х*) = 0 и множество ф(Х) плотно в пространстве Х*. 118. Пространство Х" (см. задачу 115) полное. 119. Всякое метрическое пространство имеет пополнение. 120. Пополнение метрического пространства с точностью до изоьиетрических отображений единственно. 121. Последовательность непустых множеств метрического пространства называют последовательностью Леши, если эти множества последовательно вложены друг в друга и их диаметры ь О. Если последовательность (хЫ ..цх„;...) точек метрического пространства является фундаментальной, то последовательность множеств Ев = (х„;х„, Е ...), и = 1,2,..., лвляется последовательностью Коши.
122. В полном метрическом пространстве всякан последовательность Коши (сьп задачу 121) замкнутых глножеств имеет непустое пересечение, состоящее из одной точки. 123. Метрическое пространство полно тогда и только тогда, когда всякая последовательность Коши (см. задачу 121) его подмножеств имеет и притом единственную точку, являющуюся точкой прикосновения длн всех множеств последовательности. 124.
Построить пример последовательности замкнутых шаров некоторого метрического пространства, последовательно вложенных друг в дружа, диаметры которых стремятся к нулю, а пересечение пусто. 125. Построить пример последовательности замкнутых множеств, последовательно вложенных друг в друга, полного метрического пространства, пересечение которых пусто. В задачах 126 †1 доказать сформулированные утверждения. 126. Если Х . полное метрическое пространство, Х = Д В'„ и а=1 все множества Га замкнуты, то по крайней мере одно из них содержит открытый шар. 127. Пространства 1. (см. задачу 90), 1р, 1 < р < -~-со (сьь зада~в~ чу 5), СА„~а,б), 1 < р < +со (сьь задачу 7) являются сепарабельными. 128.
Пространства 1 (см. задачу 4) и В[а;Ь) (сьп пример 1) не являются сепарабельными. 978. Метрические пространства 397 129. Систему й = (С ), и 5 11 (11 -- некоторое множество индексов), открытых множеств метрического пространства Л называют его базой, если каждое открытое множество пространства Х является объединением содержащихсн в нем множеств системы Й. Метрическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет счетную базу. 130. Если метрическое пространство не имеет счетной базы, то при некотором е > 0 найдется несчетное множество элементов, взаимное расстояние между которыми не меньше е.
Верно ли обратное? 131. Компакт является замкнутым множеством в любом содержащем его метрическом пространстве. 132. Замкнутое подмножество компакта является компактом. 133. Для днух мноя.еств А и В метрического пространства Х величину р(А; В) = ш( р(х; у) называют расстоянием между мноесжрев жествами А и В (см. задачу 15). Если А и  — замкнутые непересекающиеся множества, из которых по крайней мере одно является компактом, то они находятся на положительном расстоянии. 134.
Привести пример двух замкнутых непересекающихся множеств, расстонние между которыми равно нулю. 135. Доказать, что если Р, и Рз замкнутые непересекающиеся л1ножества в метрическом пространстве, то существуют открытые непересекающиеся множества С1 З Р1 и счз З Рз. 136. Построить пример замкнутого множества Г в некотором метрическом пространстве Х и точки х 5 Х таких, что для любой точки у Е Р выполняется неравенство р(х; у) > р(зц Р) = шГ р(х; з). евр 137. Доказать, что если Р компакт в метрическом пространстве Х и х 5 Х, то существует точка у Е Г, ближайшая к точке х, т, е, такая, для которой р(х; Г) = р(х;у). 138.
Привести пример полного метрического пространства Л, замкнутого в нем множества А и точки х 5 Х таких, что в А не существует ближайшей и х точки (см. задачу 137). В задачах 139.-165 доказать сформулированные утверждения. 139. Для непрерывной на отрезке (а; Ь) функции х(7): (а; 5) -+ Я и любого натурального числа и существует многочлен Р наилучшего приближения степени н,, т.
е. такой многочлен Р степени не выше и,, что, каков бы ни был многочлен с) также степени не выше и, выполняется неравенство шах ~х(с) — Р(с)~ < шах ~х(1) — д(с)~. ~о.ь1 1а;Ь,' 398 Гл. Х. Веедение е функциональный анализ 140. Если Г~ и Гз - компакты в метрическом пространстве Х, то существуют такие точки т~ б Г~ и ха б Гл, что Р?хмта) =Р?ГЫГз) (сьь задачу 133). Существенно ли условие компактности обоих множеств? 141. Всякое вполне ограниченное множество является ограниченным. 142. В пространстве 19 (сьь пример 2) замкнутый шар с центром в точке (О;0;...;О;...) радиуса 1 ограничен, но не вполне ограничен и не является компактом.
143. Если множество вполне ограничено в некотором метрическом пространстве, то для этого многкества при любом е > 0 существует конечная в-сеть, состоящая только из его точек. 144. Пространство 1л (см, пример 2) не изометрично никакому конечномерному пространству Я". 145. Всякое ограниченное в Я" множество является и вполне ограниченным. 146. Множество (9 точек х = (х~, ...,х„; ...) пространства 19 (сьь пример 2), координаты которых удовлетворяют неравенствам О < < х„< 1?2", является вполне ограниченным множеством. (Множество я'л называют гильбертоеым кирпичом.) 147.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
