1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 64
Текст из файла (страница 64)
:)~ < Р(х:,У) Итак, зг Е 4, а тогда в силу произвольного выбора а > 0 выполнение УсловиЯ (6) пРи аа > пе означает, что 1пп х(т! = х. а ЬП вЂ” 1 ОО у 18. Метрические иростракства 2. Доказать, что длн любых четырех точек х, у, и, и метрического пространства Х справедлива неравенство ~р),х; и) — р)у: и) ~ ( р)х; у) + р) и; и). 3. Доказать, что нижеуказанные функции являются метриками на соответствующих множествах; 1) р(х;у) = ~х — у~ на множестве всех действительных чисел Й, х,у б Й; 2) р(дрщ) = ~д — ш~ на множестве всех комплексных чисел С, д,тбС; и 3) р(х; у) = ~~ (х, — у;) на множестве точек и-мерного )=1 пространства Я", х = (хм ..., х„), У = Ь~:, " ' Уо ) б В ' 4) р(х;у) = зцр ~и:(1) — у(1)~ на множестве Во)Е) всех кох)плекссен нозначных функций, ограниченных на произвольно заданном множестве Е; 5) р(х;у) = / ~хат) — у1г)~ )1с на множестве СЛ1(С) всех функций, О непрерывных на замыкании С открытого измеримого по Жордану множества С С Й"; б) р(х; у) = / ~х1г) — угас)~ Ж на множестас Сто)Й) осах функций, непрерывных и абсолютно интегрируемых на числовой оси К; 7) Р)*;р) = ))7)*М вЂ” Р)1))г Е « + Сев)С) вг нительцых функций, непрерывных на замыкании С открытого измеримого множества С с ки; С) Е),: ) = ) / В)о- )1)ГЕ - - -.-.
Сег,)Е) -..* действительных непрерывных на Й функций, у которых сходится -Ьсо интеграл / ~)(с))~ М. 4. Доказать, что множество 1 всевозможных последовательностей х = (х), ..., х„; ...) действительных чисел, для которых зцр ~х„~ < П < +со, янляется метрическим пространством с метрикой р(х:у) = = ацР ~хи — У„~, х = (х), ..., .х„; ...), У = (У), ..б У„; ...) б 1 и 5. Доказать, что множестно 1р, 1 < р < +со, всевозможных последовательностей х = (хм ...,х„;...) действительных чисел, для кото- зб Под ред.
Л.Д.Кудрввиевв, т.з 366 Гл.4. Введение в функциональный анализ рых ~ [х„[" < +со, является метрическим пространством с мета=1 еа р(х;р) = (~ [х- — р.[') 6. Будут ли образовывать метрические пространства последовательности (х1, ..., .х„; ...) комплексных чисел с метриками, введенными в задачах 4 и 5 (х„,ра Е С, и = 1,...,2, ...)? 7. Доказать, что множество С? и(сз), 1 < р <+ос, всех функций, непрерывных на замыкании су открытого измеримого по Х1ордацу множестна С С??", является метрическим пространством с метрир(х; р) = ( / [х(ь) — р(ь) [и Ф) О ь 8.
Является ли метрикой функция р(х; р) = / [х(ь) — р(Ь)[ьй на а множестве всех функций, интегрируемых по Риману ца отрезке [а; 6)? 9. Пусть (а: 6) конечный или бесконечный интервал: — оо < а < < Ь < +со. Доказать, что множество СЛ„(а; Ь) всех непрерывных на ь интервале (а; 6) функций, для которых интеграл / [х(1)[" ХЬ сходится, является метрическим пространством с метрикой ь а(х; у) = (~[х(ь) — р(ь)["«ь) а 10. Является ли метрическим пространством множество всех действительных чисел, если под расстоянием между х и р понимать 61п (х — р)? 11.
Является ли метрическим пространством множество точек окружности, если расстоянием между точками считать длину наименьшей дуги, соединяющей данные точки'? 12. Является ли метрическим пространством мнозкество всех непрерывно дифференцируемых на отрезке [а; 6) функций, если р(х; р) = [х'(ь) — р'(ь) [? [о;ь) 13. Является ли метрическим пространством непустое множество Л, если р(х; р) = 0 при х = р и р(х; р) = 1 при х р'= р? 14. Будет ли на множестве всех числовых последовательностей х = (х1,,х„;...) (х„Е Я или хи Е С, и = 1,2,...) метрикой функции р(х;р) =~ 2 " ~~™, =(;":,х.;-), р=(91;" цр; ")? 1 ь [ха ра[ а=1 Ь 78.
Метрические пространства 387 15. Является ли метрическим пространством семейство всех не- пустых подмножеств метрического пространства Х, если "расстояниес между множествами Ез с Х и Ез с Х определить равенством р[Ег, Е ) = )пГ р[зиу)? гсвяг, у Е Ег 16. Пусть на множестве упорядоченных пар [и; у) элементов множества Х определена неотрицательная функция р[:с;у)г удовлетворяющая всем аксиомам метрики, кроме первой, которая выполняется в ослабленном виде: для любого элемента х й Х имеет место равенство р[а;х) = О. Элементы х и у множества Х назовем эквивалентными, если р[х;у) = О. Пусть Х* = 1х") множоство всох классов эквивалентных элементов множества Х.
Доказать, что функция р'[х', у') = р(дй у), где х б х* Е Х*, у Е у' Е Х', не зависит от выбора элементов х и у соответственно в классах х', у* и является метрикой на множестве Х". 17. Доказать, что если Х и У -- метрические пространства соответственно с метриками рх и рх, то функция р[(кг, 'уг)г[хз, 'уз)) = [рх (х~',аз)] + [Зги [у~', уз)] является метрикой в их произведении Х х У, называемом в этом случае произведением метрических пространств Х и К 18. Пусть р(х;у) метрика на множестве Х. Доказать, что нк ии фу ц р[а; у) 1+р[зчу)' рз[х;у) =пйп1р[з,у);1)г рз[х,у) =)в[1+ р[с,уЦ являются метриками на множестве Х, эквивалентными метрике р.
19. Привести пример последовательности непрерывных на отрезке [а, Ь] функций, сходящейся в пространстве СЛр[а; Ь], 1 < р < +со [см, задачу 3.7)), но не сходящейся равномерно на отрезке [а; Ь]. (В случае отрезка будем писать СЕр[а; Ь] вместо СЕр[[а; Ь]), 1 < р < < +со; см.
задачу 7). 20. Привести пример последовательности функций, принадлежащих пространству СЕз[0; Ц, сходящейся в пространстве СЕз [О; Ц, но не сходящейся в пространстве СЕз[а; Ь]. 21. Привести пример последовательности непрерывных функций, сходящейся в каждой точке отрезка [а; Ь], но не сходящейся в пространстве СЕз[а;Ь]. 22. Привести пример последовательности функций, сходнщейся в пространстве САз[0:, Ц, по нс сходящейся ни в какой точке отрезка [О; Ц. 23. Будут ли эквивалентными на множестве непрерывных на отрезке [а; Ь] функций метрики пространств САг[а) Ь] и САз[а: Ь]? 388 Гл. 4. Введение в фуннчионвльныи" анализ 24.
Доказать, что для эквивалентности метрик рг и рз на множестве Х достаточно, чтобы сушестновали две такие постоянные сз > 0 и сз > 0 и чтобы для любых х е Х и и е У выполнялось неравенство сзрз(хну) < рл(х; р) < сзр;(х; у). Показать, что это условие не является необходимым для эквивалентности метрик рз и рз. 25. Доказать, что в метрическом пространстве последовательность может иметь только один предел.
26. Доказать, что множество значений сходящейся последовательности точек метрического пространства является ограниченным множеством. 27. Может ли быть неограниченной последовательность функций х„: [О; Ц вЂ” ~ Я, и = 1,2,..., сходящаяся в пространство Свез[0; Ц? (См, задачу 3, 7).) 28. Если хн"з = (г~'"~; ...;х1н1; ...) е1, т = 1,2,... (см. задачу 4) и для каждого п = 1.,2, ... существует конечный предел 1пп хс, з = т — зсо = а„, то будет ли последовательность (аы ..., а„: ...) всегда принадлежать 1 '? Если Ппз х[,'"1 = а„и а = (аЫ ...,.а„; ...) Е 1, то будет ли тзсс верным утверждение, что 1пп хб"1 = а в 1 ? тзсо 29.
Доказать, что для любых двух различных точек метрического пространства существуют непересекающиеся шары с центрами в этих точках. 30. Доказать, что множество Е метрического пространства ограничено тогда и только тогда, когда для любой точки г, б Х существует такое е > О, что шар с центром в точке х радиуса е содержит в себе множество Е. 31. Доказать, что если множество ограничено в пространст- ве С[а;?з] непрерывных на отрезке [а;?з] функций с метрикой р(х: В) = зпах [х(1) — зр(1)[, х, В Е С[а; Ь], 1с;В то оно ограничено и в любом пространстве СЕ [а; В], 1 < р < +со (см.
задачу 7). 32. Верно ли, что если множество непрерывных на отрезке [а;?з] функций ограничено в некотором пространстве СЕр[а;?з], 1 < р < +ос, то оно ограничено и в пространстве С[а;?з]? (См. задачу 31.) 33. При каких условиях на последовательность аи Е й, а„ > О, в = 1, 2, ..., в пространстве 1з (см. задачу 24.5) будут ограниченными множества: 1) параллелепипед (х = (хЫ ..., .х„; ...) Е 1з] [х„] < а„, и = 1, 2, ...); 2) ЭЛЛИПСОИД ]Х = (ХЫ...,Х„;...) й1з ~ ~—.в < 1[? ао и=1 4 18.
Метричесние пространства ззв 34. Может ли шар радиуса 4 быть собственным подмножеством шара радиуса 37 35. Доказать, что е-окрестность точки метрического пространства является открытым множеством. 36. Доказать, что множество внутренних точек любого множества метрического пространства является открытым множеством. 37. Доказать, что множество внутренних точек любого множества метрического пространства является объединением всех открытых множеств, содержашихся в данном множестве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
