1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Доказать, что 1ип 1 е "Г(х)с1х = / Г(х)дх, если функсс — зев Д о о ция Г интегрируема на промежутке (О;+ос). 20. Доказать, что если функция Г" абсолютно интегрируема на промежутке (О;+со), то -~-сс .~-сс 1пп 1 Г(х) вшпхйх = 1пп / Г"(х) совпхйх = О. и — зсмк и — ь се,/ о о 21. Доказать, что если функция г" непрерывна и ограничена на промежутке [О;+ос), то -)-сс !пп — 1 ',~( ), азх = у(0). а-ьа зс у хг -~- оз о 22. Законен ли переход к пределу при о — 4 +О под знаком интеграла 4 ос ое "'с1ху о 23.
Доказать, что если функция г' непрерывна и ограничена на промежутке [О; со) и Г" (О) = О, а функция д абсолютно интегрируема 4 Ц. Раенолсерноя сходи ность несобственных интегралоо 34а на [О;+со), то 24. Пусть функция 1" (хд а) при а Е Е интегрируема по т, (в собственном смысле) на отрезке [а; А[ при любом А > а и на каждом таком отРезке пРи а 4 ае, ае Е Е, стРемитсн РавномеРно относиЬсо тельно х к предельной функции ~Р(х), и пусть интеграл / 1(х; а) йх сходится равномерно на множестве Е. Доказать, что 1пп / 1(хца)йс = / 1(х)йх.
25. Доказать, что !нн / т"(х;а) йх = / 1пп г'(х;а) йх, с„оо З о — ~ос если 1(х; а):4 1(х; ае) в каждом конечном интервале (а; А), где о < < А < +ос, а Е [а~,. аз[, ао Е [а~, .аз[, и если сушествует функция Е(х) такая, что при [1(х1а)[ < Е(х) для всех а Е [а~,.аз[ и для всех х Е Е [а,+ос) интеграл / Е(х) йх сходится. а ОТВЕТЫ Т. 1) Сходится неравномерно; 2) сходится неравномерно; 3) сходится неравномерно; 4) сходится равномерно; 5) сходится неравномерно; 6) сходится неравномерно. 8. 1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно; 3) сходится равномерно; 4) сходится неравномерно; 5) сходится равномерно, :6) сходится неравномерно.
14. 1) Сходится равномерно; 2) сходится равномерно; 3) сходится неравномерно; 4) сходится неравномерно; 5) сходится равномерно; 6) сходится равномерно. 17. 1) Непрерывна; 2) непрерывна, :3) непрерынна; 4) непрерывна: 5) непрерывна; 6) непрерывна при а ~ х1; а = — 1 и а = 1 точки разрыва. 18. 1) Непрерывна при а ~ О; а = О точка разрыва; 2) непрерывна; 3) непрерывна; 4) непрерывна. 22. Нет. 346 Гл. 3. Интегр льс, зависящие вт параметра. Интеграл Фурье В 15.
Дифференцирование и интегрирование по параметру несобственных интегралов СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ~йо / ((х; о) йх = / с1х/ ((х; сс) сЬ. а) с в ас (2) Если г"(х) и) > О на множестве С) то равенство (2) остается в силе также и для бесконечного промежутка (оы оз) в предположении, что внутрснпис интегралы в равенстве (2) являются непрерывными функциями и хотя бы одна из частей равенства (2) имеет смысл.
Если функция г" (х; о) непрерывна на множестве С=((хги); а<а<+со, с<о<+со), интегралы / ((х;о) ах и / Г'(х;о) асс а с сходятся равномерно соответственно по о и х на отрезках [с;Е] и [а;у) при каждом фиксированном ~ Е (с; +со) и ц Е (а; +ос) и если, кроме того, хотя бы один из повторных интегралов -~- сс -~- сс -~-сс 1. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру.
Если функции Г(х;о) и 1",,(х;о) непрерывны на множестве сл = ((х:о): а < х < +ос, оз < о < оз)) -- н интеграл Г(о) = / г" (х: сс) ах сходится при каждоги о Е [оы аз), а ин- -~-сс а теграл / Г„'(х; о) йх сходится равномерно по о на отрезкс [о~, .о), то а -~-се Г(о) = / г (х;о)йх (1) а при ол < о < оз (правила Лейбница).
2. Интегрирование несобственного интеграла по параметру. Если функция Г(х:о) непрерывна на множестве С = ((х;о); а < х < +ос) слз < сс < оз) и интеграл / ((х)и) дх равномерно сходится по о на отрезке а [ом оз), то справедлива формула а) З-л) 415.
Дифференцирование и интегрирование по ларалеетру 347 сходится, то сходятсл и равны между собой оба повторных интеграла от функции 1, т. е. / да / 1(х;а)г)х= / г)х / 1(х;а)да. (3) с е о е При вычислении несобственных интегралов часто используются указанные ниже интегралы (4) — (7). Если а > О, то для любого,З Е Й справедливы формулы 1, = / е *соз13хдх = ае -'; ре ' о (4) ео ф(") 7('-") 1 = аО) — 7(+ И1 -'. х а о (7) ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Вычислить интеграл Дирихле явах х о (8) 1з = / е ~~ а1п14хе4х = (5) 0 Формулы (4), (6) можно получить, .используя метод интегрирования по частям.
Если функция 1 непрерывна на промежутке [О; +со) и для каждого Л > О сходится интеграл / — 41х, то при любых а > О, Ь > О г ф(х) справедлива форлула Фруллани 7(ах) — 7(Ьх) 1 7(О)1 Ь (6) х а о Если интеграл ~ — дх, где 1" — — непрерывная на промежутке 1(х) [а;+ос) функция, расходится, но существует конечный 11щ 1(х) = и-еч-оо Пх) — П+ ) = 1(+ос) и, кроме того, сходится интеграл / е1х, то, 1 применив формулу (6) к функции 1(х) = 1(х) — 1(+со), получим ра- венство 348 Гл. з.
Интегр льь зависящие от параметра. Интеграл Фурье а Пусть а > О. Рассмотрим интеграл -~-со Ф(аД)= / е д' й:, .3>0. (9) о При фиксированном,9 > 0 интеграл (9) сходится для каждого а ~ 0 по признаку Дирихле сходимости несобственных интег- 1 в ралов, так как функция — е в' убывает на промежутке (О;+со), х а функция айнах имеет при а ф 0 ограниченную первообраз- 1 — совах 1 ную ( / в1па1й = ' ). При а = 0 интеграл (9) равен нуо лю. Кроме того, интеграл К(а; 1з) = / е ' ~ сов ах сЬ,. о полученный из (9) дифференцированием по а подынтегральной функции, сходится равномерно по а на И по признаку Вейерштрасса. Используя правило Лейбница (1) и формулу (4), получаем Ф (а;)з) = К(а;1з) = / е 'есовахдх =,,, (10) о Интегрируя на отрезке [О; а) равенство (10), находим Ф(а;Д) — Ф(0;Д) = 3 1, „= агсоя —,.
у гз-ьдг 3' о Так как Ф(0; Д) = О, то отсюда следует, что при любом,д > 0 справедлива формула т,е -~-ов е ' Дх = агс1х —. (11) х 3 о Вычислим интеграл (8), считая, что а > О. Заметим, что при каждом фиксированном а > 0 интеграл (9) сходится равномерно по Д на отрезке [О; Ц, так как функция вшах имеет ограниченную перво- образную (а > 0 фиксировано), а функция д = е д*/х монотонно убывает (д' < 0 при х > 0,,3 > 0 ) и д(х; Д):д 0 при х 4+со на отрезке [О; Ц. По признаку Дирихле интеграл (11) сходится равномерно по 3 на отрезке [О; Ц. Из равномерной сходимости интеграла (11) и , „. ейпах непрерывности функции е да на множестве а = ((х; Д): О «+, О < И < Ц следует непрерывность по )1 функций Ф(а; Щ на отрезке [О; Ц и, в частности, непрерывность по Д атой функции справа в точке Д = О.
91а. Дифференцирование и интегрирование ла ларагнетрр 349 Это означает, что в интеграле (11) можно перейти к пределу при (4 -4 +О под знаком интеграла. Следовательно, -~-со -~-ос да япох г влох о 'Г 1цп / е * Дх = / с2х = 1нн агс1я — = —. д-сг-о / х ./ х д но (4 2 о о яп ах Учитывая, что -~-оо янах и Нх = — з13п о, х 2 о нечетная по о функция, получаем (12) ос14. А П р и мер '2. Вычислить интегралы Далласа -~-со 1(о) = /' в',' с1х и К(о) = / ', с1х. о о сое ох а Пусть о > О. Так как функция ', непрерывна при любых ст 1 Ь х' и х, а интеграл д (совах) /Г хяпох о о сходится равномерно по о на отрезке [сто; +ос), где оо > О, то, применяя правило Лейбница (1), получаем -~-со '(.) = — /' ' ".'-"' (13) о Складывая почленно равенство (13) с равенством -~-со — дх, где о>0, 2 2 х о Заметим, что До)~ < 1(0) = / о находим 4-х жсо .с Г 1япох хеслох т Г япох 1 Ох) ч- — = +.г /"' / х(+хг)" о о Дифференцируя полученное равенство почленно, имеем -~- со / совах „ 1 1-Ь хг о Таким образом, функция 1(о) удовлетворяет дифференциальному уравнению 1л(о) — 1(о) = О, общее решение которого имеет вид 1(сг) = Сге + Сге (14) ЗЬО Гл.
3. Интегр льо зависящие вт наралзетра. Интеграл Фурье Кроме того е " э 0 при о — э+ос, а е' — г +со при о — ~+со. Отсюда следует, что в формуле (14) Сз — — О, и поэтому 1(о) = Сге '. Полагал о = 0 и учитывая, что 1(0) = —, получаем 1(о) = — е '" при о > О. 2' 2 Так как 1(о) --- четная функция, то 1(о)= -е ) ), ос)Г. (15) Из равенства (13) следует, что Гз(о) = — Л (о). Следовательно, Л(о)= — ( — е ) = — е ., о>0, 'ь2 2 т,е х е)п ах . я. ах= — е, о>0. 1-)- хг 2 о откуда в силу нечетности функции Л (о) следует, что .всю е1х = — а)8по.е )"), о Е Лз. А 1-Ь хг 2 о (16) Эйлера — Пуассона 1= / е * е1х.
о -- фиксированное число). Тогда П р и м е р 3. Вычислить интеграл а Положим х = У1, где 1 > 0 (1 Ь юю -гг ~ е "ч 1е1у, откуда о -ь ею 1 / е сь1= / е)11е '~+ ~)1егу (18) о о о Левая часть (18) равна 1г. Вычислим правую часть К равенства (18), изменив порядок интегрирования: о о Так как Е юю я-сю ~е-:О~-и') « +.-— 2 з ) уг о е О+и ) '="юю 1 з 2(1+ уг) г=о 2(1+ уг) ' -г20-ьрз) 1 о то 1 е = /е ~з )'1ау. (17) о Интегрируя обе части равенства (17) по 1 па промежутке [О;+ос), получаем г15. Дифференцирование и интегрирование пв паралетрд зги о Следовательно, 1г = К = я/4, откуда 1 =,)с[2, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
