1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 68
Текст из файла (страница 68)
205. Вслкое ограниченное в пространстве С'[а, Ь) (см. задачу 93) ьлножество предкомпактно в пространстве С[а; Ь[ (см. задачу 31). 206. Пусть С(Х) "- пространство непрерывных на компакте Х функций х: Х -4 Я с метрикой р(х;9) = гаах[х(с) — у(с)[, х,у е С(Х). В атом случае множество Е С С(Х) предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено (т. с. существует такая постоянная с > О, что для всех х Е Е и всех 1 Е Х выполняется неравенство [х(4)[ < с) и равномерно непрерывно (т. с. для любого г > О существует такое д > О, что для любой функции х Е Е из неравенства р($4,1~) < б следует, что [х(1 ) — х(1~ )[ < г ).
207. В подпространстве равномерно непрерывных функций 2б* Гл. 4. Введение в функциональный анализ 404 пространства В(Х) (см. пример 1), где Х -- метрическое пространство, мнозкество предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно (см. задачу 206). 208. Выяснить, какие из нижеперечисленных семейств функций будут предкомпактными в пространстве С[а: (з) (см. задачу 31) и при каких а и б: 1) ьа, п = 1,2,..4 2) (ог)а, о Е??, п = 1,2,...; 3) а1пп1, п = 1,2....4 4) гйп(1+и), п= 1,2,...; 5) е'"'", оЕЙ; 6) е''*, оЕЙ, о>0. 209.
Какие из указанных ниже множеств будут компактами в пространстве С[О, Ц (см. задачу 31), если с некоторая постоянная: 1) (з Е С[О;Ц[ [а(Й)[ < с); 2) (ж Е С'[О; Ц[ [х(ь)[ < с., [аз(ь)[ < с); 3) (х Е Си[О; Ц[ [х(г) [ < с, [з'(ь)[ < с, [хо(ь) [ < с),: 4) (т Е С [О; Ц[ [х(ь) [ < с, [то(1) [ < с);. 5) (я Е Се[О; Ц[ [х'(ь)[ < с, [хо(1)[ < с)? 210. Доказать: для того чтобы множестно Е с Ср, .1 < р < +ос (см. задачу 5), было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограничено и чтобы для любого е > 0 существовало такое и,, что для всех а = (яг, ..., яа; ...) Е Е выполняетсн неравенство ~ [ту[' < е.
ОТВЕТЫ 6. Да. 8. Нет: не выполняется первое свойство метрики. 10. Нет. 11. Да. 12. Нет. 13. Да. 14. Да. 15. Нет. 23. Нет. 27. Может. 28. Нет, нет. 32. Неверно. 33. 1) ~ ~а~ < +оо; л=з 2) (аз,, а,„; ...) -- ограниченная последовательность. 34. Может. 49. Моясет. 50. 1) Да; 2) нет. Множество внутренних точек пересечения множеств содержится в пересечении множеств их внутренних точек.
51. 1) Нет; 2) нет. Объединение множеств внутренних точек множеств содержится в множестве внутренних точек объединения множеств. 52. 1) Да; 2) нет. [)А с ОА . 53. 1) Да; 2) нет. ДА„с [)А . а а а 68. 1) Да: 2) нет. 100. Да. 101. Да, да, да. 107. 1) Нет: 2) нет: 3) да. 111. /~ ~. 112. Да. 113. Да, нет. 44з. Нормированные и пелунермированные престракетеа ло5 114. Нет. 130. Да.
140. Да. 166. Нет. 172. 1) Нет; 2) нет. 174. 1) Да, :2) да. 175. Нет. 176. Нет. 177. 1) Да; 2) нет; 3) да. 178. 1) Да:, 2) нет, :3) да. 179. 1) Да; 2) нет. 182. Не будет. 183. Да. 204. Да. 208. 1) При — 1 < а < Ь < 1 будет, а в остальных случаях не будет; 3), 5) не будут, а 4), 6) будут предкомпактными; 2) при ~о~ < 1 будет, а при ~о~ > 1 не будет предкомпактным. 209. 1) и 5) не будут, а 2), 3) и 4) будут компактами. 3 19. Нормированные и полунормированиые пространства СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Линейные пространства. Множество Х называют действительным линейп м (или векторныле) пространством, если: каждой упорядоченной паре (х:у) элементов х Е Х; у Е Х поставлен в соответствие единственный элеглент пространства Х, называемый суммой х и у и обозначаемый х+ у; казкдогау элементу х Е Х и каждому действительному числу Л поставлен в соответствие единственный элемент пространства Х, называемый произведением Л ка х и обозначаемый Лх.
При атолл выполняютсн следующие группы аксиохл. 1) а) х+ у = у+ х длн любых х Е Х и у Е Х: б) х+ (у+ з) = (х+ у) + х длн любых х Е Х, у Е Х и з Е Х: в) в множестве Х существует элемент, называемый нулевым и обозначаемый О, такой, что х+ 0 = х для любого х Е Х; г) длн каждого х Е Х су~дествует единственный элемент множества Х, называемый противополозкным элементу х, обозначаемый — х и такой, что х+ ( — х) = О. 2) а) 1х = х для любого х Е Х; б) Л(рх) = (Лр)х для любого х Е Х и любых действительных чисел Л и р; в) (Л+ р)х = Лх+ рх для любого х Е Х и любых действительных чисел Л и рй г) Л(х+ у) = Лх+ Лу для люоых х Е Х у Е Х и любого деистви тельного числа Л. Для каждой пары элементов х Е Х и у Е Х элемент х + ( — у) называют разностью элементов .г и у и обозначают х — у. Элементы линейных пространств называют также точками или векторами.
Если в сформулированном определении действительного линейного пространства всюду действительные числа заменить комплексными: Л, р Е с, то получится определение комплексного линейного пространства. 406 Гл. 4. Введение в функциональный анализ Если У и г -- подмножества линейного пространства Л, то через У + Я обозначают множества всех элементов х Е Х, представимых в ниде х = у + г, у е У, г е В. Множество У + У называьот (алгебраическай) суммой множеств У и Л. Если для любого элемента х Е Х его представление в виде х = = у + -, у б з; з Е л, единственно, то сумму У + л называют прямой и обознача|от УЯЗЯ. Если Х вЂ” линейное пространство и хь Е Х, й = 1,2,..., то всякий элемент вида Лгх~ 4-... + Л„х„, где все Ль — дсйствительпыс числа в случае действительного пространства и комплексные н случае комплексного пространства., называют линейной комбинацией элементов хь, ..., х„.
Множество, содержащееся в линейном пространстве Х, называют падпространством этого пространства, если все линейные комбинации элементов этого множества содержатся в нем. Векторы хы ..., х„линейного пространства называют линейно зависимыми, если существуют такие числа Лы ..., Л„, не все равные нулю, что Льхг + ... + Л„х„= О. Если указанных чисел не существует, то векторы хм ...,х„называют линейно кезавис мыми.
Произвольную систему нектаров (х,~, о Е Е1 (ьз .-. некоторое множество индексов) называют линейно независимой, если, какова бы ни была ее конечная подсистема, входящие в нее векторы линейно независимы. Совокупность всевозможных линейных комбинаций элементов, принадлежащих некоторому заданному множеству, называют линейной оболочкой этого множества. Вснкую конечную упорядоченную систему линейно независимых векторов линейного пространства, линейной оболочкой которой оно является, называют базисом этого пространства. Если в линейном пространстве существует базис, состоящий из и векторов, то пространство называют п-мерным.
Все п,-мерные пространства называют кокечкомеркыми. Если линейное пространство не конечномерно, то его называют бесконечно- мерным. Ниже всюду в этом разделе Х и У линейные пространства. Если Г': Л э У -- отображение пространства Х в пространство У, то прообраз нуля называют ядром йег Г" этого отображения; 1сег З = (х б Х: З (х) = О). Отображение Г": Х э У называют линейк м огпображением (или, что то же самое, линейным оператором), если для любых двух элеьиентов х Е Х, у Е Х и любых чисел Л, р справедливо равенство У(Лх+ду) = ЛУ(х) +И(у) (если Х и У действительные пространства, то числа Л, р действительные; если эти пространства комплексные, то и числа Л, р 4 79.
Нормированные и лолукормироеакные лростракетва 407 комплексные). Множество всех линейных операторов г'; Х -ь 1' обозначают ЦХ; У). Линейное отображение линейного пространства в множество действительных или комплексных чисел называют функииок лом данного пространства. Линейное взаимно однозначное отображение пространства Х на пространство У (биекиия) называют изоморфизмом или изоморфным отображением. Если для пространств Х и У существует изоморфнос отображение одного на другое, то их называют изоморфкылии Произведением 2' = Х х Е линейных пространств Х и У называют ливейное пространство Я, состоящее из элементов з = (х; у), х Е Х, у Е 1, теоретико-лгножественного произведения множеств Х и 1', для которых определена линейная операция Лггг + Лгзг по форллуле Лг зг + Лггг = (Лгхг + Лгхг, 'Лгуг + Лгуг), где гг = (хг,уг) й гг, зг = (хз;уг) с гю Лг и Лг числа.
Выполнимость аксиом линейного пространства при таком определении линейной операции легко устанавливается непосредственной проверкой. Аналогично понятию произведения двух линейных пространств вводится понятие произведения п линейных пространств для любого натурального и ) 2. Отображение з = 7" (х; у), х Е Х, у Е 1; з Е У, произведения Х х У линейных пространств Х и У в линейное пространство Я называют билинейным, если при фиксировании одной из переменных х, у опо линейно по другой переменной.
По аналогии с билинейными отображениями вводится понятие мультилинейкых отображений; если Хг, .Хг, ..., Х„, У вЂ”.— линейные пространства, то отображение 7': Х, х Хг х ... х Մ— > Е называют мультиликейиым или п-линейкым, если оно линейно относительно каждой переменной хь Е Хл, к = 1, 2, ..., гг, когда остальные переменные фиксированы. 2. Свойства полунормированных и нормированных пространств. Линейное пространство Х (действительное или комплексное) называют полунврмированкым., если на множестве его точек определена действительная функция, называемая полукормой, обозначаемая рхйх или рх0, х Е Х, и имеющая следующие свойства: 1) неотрииательность: для всех х Е Х выполняется неравенство рхй > О:, 2) однородность: для всех х Е Л и всех чисел Л имеет место равенство !)Лх(~ = ~Л~~М' 3) неравенство треугольника: для всех х Е Х, у Е Х выполняется неравенство !)х+ у!) ( 'рхй'+ йур.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
