1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 65
Текст из файла (страница 65)
38. Привести пример открытого множества надпространства метрического пространства, которое не является открытым в самом пространстве. 39. Привести пример замкнутого множества подпространства метрического пространства, которое не является замкнутым в самом пространстве. В задачах 40 — 48 доказать сформулированные утверждения. 40. Подмножество Е подпространства т метрического пространства Х открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда оно является перосечепиом открытого (замкнутого) в Х множества с подпространством К 41.
Если с открытое, а Е замкнутое множества метрического пространства Х, то С ~ Е открытое в Х множество. 42. Пересечение конечной совокупности и объединение любой совокупности открытых множеств являются открытыми множествами. Привести пример бесконечного множества открытых множеств, пересечение которых не является открытым множеством. 43. Объединение конечной совокупности и пересечение любой совокупности замкнутых множеств являются замкнутыми мпоясествами. 44. Для того чтобы точка х метрического пространства Х была точкой прикосновения множества Е с Е, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая последовательность точек х„ е Е, п = = 1,2,..., что 1пп хп = х.
и — >ос 45. Для того чтобы точка х метрического пространства Х была предельной точкой множества Е С Х, необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность точки х содержала бесконечно много точек множества Е. 46. Множество метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит н себе множество всех своих предельных точек.
Гл. З. Введение в функциональный анализ Зао 47. Замыкание множества в метрическом пространстве явлнетсн замкнутым множестном. 48. Замкнутый шар метрического пространства является замкнутым множеством. 49. Может ли замкнутый шар не быть замыканием открытого шара с тем же центром и радиусом? 50. Верны ли утверждения: 1) множество внутренних точек пересечения двух множеств является пересечением множеств их внутренних точек; 2) множество внутренних точек пересечения любой совокупности множеств янляется пересечением ыножеств их внутренних точек? Если нет, то имеется ли в какую-нибудь сторону включение? 51.
Верны ли утверждения: 1) множество внутренних точек объединения двух множеств является объединением множеств их внутренних точек; 2) множество внутренних точек объединения любой совокупности множеств нвляется объединением множеств их внутренних точек? Если нет, то имеется ли в какую-нибудь сторону включение? 52. Верны ли утверждения: 1) замыкание объединения двух множеств является объединением их заьсьпсаний; 2) замыкание объединения любой совокупности множеств является объединением замыканий этих множеств? Если нет, то имеется ли в какую-нибудь сторону включение? 53. Верны ли утвержденин: 1) замыкание пересечения днух множеств являетсн пересечением нх замыканий; 2) замыкание пересечении любой совокупности множеств являетсн пересечением замыканий этих множеств? Если пет, то имеется ли в какую-нибудь сторону включение? В задачах 54 — 59 доказать сформулированные утверждения.
54. Замыкание множества является пересечением всех замкнутых множеств, содержаших в себе данное множество. 55. Граница множества нвляется замкнутым множеством. 56. Для любого множества Е = Е0 дЕ. 57. Нопустое подмножество метрического пространства открыто тогда и только тогда, когда оно пе пересекается со своей границей. 58. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки. 59.
Границы объединения, пересечения и разности двух множеств 41о. Метричесние пространства 391 содержатся в объединении границ этих множеств. 60. Построить пример бесконечной совокупности множеств, граница объединенин которых не содержится в объединении их границ. В задачах 61 — 67 доказать сформулированные утверждения. 61. Множество предельных точек множества замкнуто. 62. Длл любого множества гйашЕ = л11ашЕ. 63.
Если х[1) непрерывная на метрическом пространстве Х функцин, то длп любого числа а б К множества 1с б Х ]х(1) < а) и [1 е Х] хЯ > а) замкнуты, а множества [1 Е Х] х[1) < а) и [с 6 Х] х[с) > а) открыты. 64. Если х[1) --. непрерывная на подмножестве Е метрического пространства Х функция, то для любых чисел а 6?Л множества [с Е Е] х[1) < а) и [Ю Е Е] х(г) > а) замкнуты, а множества [с Е Е] ил[с) < а) и [с Е Е] х[1) > а) открыты в множестве Е, рассматриваемом как подпространство метрического пространства Х.
65. Если х[Г) непрерывнал на подмножестве Е метрического пространства Х функция, то для любых чисел а Е Л, Ь Е ??, а < Ь, множество [16 Е] а < х[1) < Ь) является открытым в Е множеством. 66. Параллелепипод [х=(х~,...,х„;...) Е?„] ]х„] < 1, а=1,2,...) нвллется открытым, а параллелепипед [х = (хл, ...,х„; ...) Е ?р] ]хи[ < 1, и = 1,2, ...) — замкнутым в пространстве ?р множеством, 1 < р < +со (сил. задачу 5).
67. Если х[1) е С[а; Ь] (сьл. 31), то множество функций [9[1) 6 С[а; Ь] ] ллс Е [а: Ь] у(Г) < х[1)) замкнуто в пространстве С[а; Ь]. 68. Будет ли замкнутым в пространстве С[а;Ь] (см. 31) множество многочленов 1) степени < и, 2) = п7 В задачах 69-86 доказать сформулированные утверждения. 69. Если А и В замкнутые [открытьле) множества соответственно в метрических пространствах Х и 1; то А х В является замкнутым [открытым) множеством в произведении Х х У метрических пространств Х и 1' [схл. задачу 17). 70.
Если связное множество содержит более одной точки, то оно не имеет изолированных точек. 71. Объединение двух пересекаюшихся связных множеств является свнзным множеством. 72. Длн того чтобы объединение А О В двух связных множеств 392 Гл. 4. Введение в функциональный анализ А и В метрического пространства было связным, необходимо и достаточно, чтобы (А й В) О (.4 й В) ф о. 73. Если А и В непустые открытыо (замкнутые) множества метрического пространства и А й В = о, то множество А 0 В несвнзно. 74. Если сумма и пересечение двух замкнутых лзножеств метрического пространства связны, то и оба этих множества связны.
Т5. Объединение возрастающей последовательности связных множеств является свнзным множеством. 76. Объединение любой совокупности связных множеств, имеющих непустое пересечение, является связным множеством. ТТ. Если для любых двух точек множества А существует связное множество, содержащее эти точки и содержашееся в множестве А, то .4 является свнзным множеством.
78. Замыкание связного множества свнзно. 79. Если А -- связное множество и А с В с Л, то В --. также связное множество. 80. Подмножество числовой прямой являетсп связным тогда и только тогда, когда оно является конечным или бесконечным промежутком. 81. Множество точек плоскости, у которых обе координаты рациональны, несвязно. 82. Множество точек плоскости, у которых по крайней мере одна координата иррациональна, явлпется связным множеством.
83. Для того чтобы множество Л х В, лезкашее в произведении Х х У метрических пространств Х и 1; было связным (сьь задачу 17), А с Х, В с Х., необходимо и достаточно, чтобы оба множества А и В были связны. 84. Пространство Я" является областью. 85. Открытый шар в пространстве й" валяется областью. 86. Открытый шар в пространстве 1 являетсн областью (см. задачу 4).
В задачах 87-99 доказать сформулированные утверждении. 87. Если последовательность точек метрического пространства сходится, то она фундаментальная. 88. Если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то сходится и вся последовательность, причем к тому же пределу, что и указанная подпоследовательность. 89.
Являются полными следующие пространства: 4 18. Метрические ирострикстви зяз Ц 1ч"; 2) В(Е) (см. пример Ц; 3) Ва(Е) (см. задачу 3, 4)); 4) СВ(Е), Е С В", состоящее из всех ограниченных непрерывных на Е функций с метрикой пространства В(Е); 5) 1 (см. задачу 4); 6) (т 1 < р < +со (см. задачу 5). 90. Множество ( всех последовательностей действительных чи(о) сел х = (х», ..4 хи; ...), стРемЯЩихсЯ к нУлю с метРикой р(х; д) = гпах]х„— у„], х = (хЫ.,., .х„...), у = (д», ..., уи; ...) Е ( является полным пространством.
91. Метрическое пространство Я всех последовательностей действительных чисел х = (хм ..., х.„: ...) с метрикой Р(х;У)=7 — „'*" ""', х=(х,:,..лх„;...), У=(У,;..лди;...)бЯ, 2и 1-Ь[хи — Уи[' и=-1 полно. 92. Пространство С[а; 6] (см. задачу ЗЦ полно. 93. Пространство С"[а;Ь] всех функций, имеющих на отрез- ке [а; 6] непрерывную производную порядка п с метрикой п р(х;у) = ~»пах]х( ~(1) — у~ ~(с)]» х(с), у(с) Е С [а;6], (ах) и=о является полным. 94. Пространство С [а;6] всех бесконечно дифференцируемых на отрезке [олЬ] функций с метрикой ас тах [х»а~(1) — у~'"~(1)[ р(х у) = ~ — „' ' „,, х(1), у(с) Е С [а 6]» 2» 1-~- и»ах[тря(1) — ун ~(с)[ ,'а:Ь, является полным.
95. Функцию х(1) называют удовлетворяющей условию Гельдеро степени о на отрезке [а; 6], если существует такая постоянная с > О, что для всех см1з Е [а;6] выполняется неравенство ]х(1и) — х(1»)] < < с]сз — 1»]". Пространство Н" [а; 6] всех функций, удовлетворяющих на отрезке [а; 6] условию Гельдсра степени о > О с метрикой р(х; у) = щах [х(1) — у(С)[+ вцр является полным. 96. Пространство С(й) всех непрерывных на числовой оси й функций с метрикой ас и»ах [х(1) — у(1)] р(х!у) =~~'', „' ] () (), х,уЕС(1С), является полным.
394 Гл. 4. Введение в функциональный анализ 97. Подпространство непрерывно дифференцируемых функций пространства С[а; 6] [см, задачу 31) не являетсн полным. 98. Пространство САл [а; Ь] [см. задачу 3, 5)) не является полным. 99. Пространство СБр[а; 6], 1 < р < +ос [см. задачу 7), не явлнется полным. 100. Обозначим посредством СВ[а; Ь) надпространство пространства В(а; 6) [см. пример 1) ограниченных функций на конечном или бесконечном интервале [а; 6), — ос ( а < Ь < +ос, состоящее из всех непрерывных функций. Будет ли пространство СВ[а;6) полным7 101.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
