1610915391-d3cb1a048ce6beea78b6db823b3bcfc4 (824755), страница 80
Текст из файла (страница 80)
е. интеграл / со(1) 41) совпадал с пределом отображен ния 7': Х вЂ” г 17 по фильтру Т. В задачах 46 — 51 доказать сформулированные утверждения. 46. Если Х и У топологические пространства; Т": Х з У и фильтр Т состоит из окрестностей некоторой локальной базы топологии сл(хо) точки хо, то существование предела !!пзбг Т" (х) равносильно непрерывности отображения Т" в точке хо, причем 1ппу Т" (х) = Т" (хо). 47. Если Х и У топологические пространства, Т": Х + У, хо Е Х и фильтр Т состоит из проколотых окрестностей некоторой локальной базы топологии точки ха, то существование предела !!щи Т"(х) равносильно существованию предела отображения Т' по множеству Х Л (хо), причем 1пп 7(х) = 1ппу Т(х).
л-лис сел~1*с! 48. Если Х произвольное множество, Т" фильтр в Х, У линейное пространство, Т": Х вЂ” ~ У, д: Х вЂ” ~ У, отображения Т" и д имеют предел по фильтру Т", Л и р — числа., то отображение ЛТ'+ рсд также имеет предел по фильтру Т" и 11ще(Лф(х) + рд(л,)) = Л 1!сне 1(х) + р1пп д(х). Гл. б. Введение в функциональный анализ 460 49. Всякий фильтр в метрическом пространстве, который сильнее некоторой локальной базы топологии точки этого пространства, является фильтром Коши.
50. Для того чтобы отображение 1: Х вЂ” ь У произвольного множества Х в полное метрическое пространство У имело предел по некоторому фильтру Г" множества Х, необходимо и достаточно, чтобы образ ?® фильтра Г" при отображении 1 был фильтром Коши в пространстве 11 51. Пусть Х и У произвольные множества, У топологическое пространство, ?: Х -+ 1', д: У -+ У, Гх и Гч фильтры соответственно в пространствах Х и 1; причем фильтр ?1Гх) сильнее фильтра Гк. Тогда, если отображение д имеет предел по фильтру Гч, композиция д ? имеет предел по фильтру ух и У» У~ В задачах 52 — 59 доказать сформулированные утверждения.
52. Если х 6 Р, то при любом В = 1,2, ... рьиз Е Р. 53. Если 1цп уз, = уз в Р, то при любом к = 1,2, ... И- СС 1У1 , 1У1 а — зсс 54. Функция дз Гх? = 4 ' ' ' принадле( е а"Д" *'1, если (х~ ( а, жит Р. О, если (х! > а, 55. Для функции р е Р существует функция ф Е Р такая, -~-СС что уз = 6', тогда и только тогда, когда / уз1х)е?х = О. 56.
Две непрерывные на числовой оси функции различны тогда и только тогда, когда различны порожденные ими обобщенные функции. 57. Функционал ч.р. 1 Дх, цз 6 Р, является обобщенной х 1 ь функцией (опа обычно обозначается Р— !. 58. б-функция не порождается никакой локально интегрируемой функцией. 59. б-функция является пределом в Р' последовательности обобщенных функций, порожденных локально интегрируемыми функциями. 60. Существуют ли в пространстве Р' пределы 1цп соз пх, а — зос 1нп гйп вху Если они существуют, то чему равны". у 21. Топологические пространства. Обобщенные функции 461 В задачах 61-70 доказать сформулированные утверждения. 61. Если Т"„е Р', и = 1, 2, ..., и для любой функции ~р б Р существует предел числовой последовательности (Т„,уо), то функционал Ь; определяемый равенством (Г,уо) = 1пп (Т'„,со), является обобщенной и — ~ж функцией: Е е Р'.
62. Если последовательность абсолютно интегрируемых функций 1'„(1), п = 1., 2, ..., такова., что; а) каково бы ни было число с > О, при (а~ < с, ~Ь~ < с последовательность ь (/ф„(1)с11, я=1,2,..., ограничена сверху; б) при любых фиксированных а и Ь, отличных от нуля, ь (О при а<Ь<0 и О<а<5, I "11 ' (1 при о<О<5; а то ее называют б-образной. Для любой непрерывной функции уо; Я -э 17 и любой Ь-образной последовательности (Тп) имеет место Равенство -ьы 11ш / 7п(х)ьо(х) с1х = со(0). 63.
Если Тс(х) = е, то в пространстве Р выполняется ибнг равенство 11ш Л(х) = д(х). цо 1 64. В пространстве Р' существует предел 1пп (он обои — е-ьо х хуу 1 зпачается ) и справедлива формула х~гО/ 1 1 х х10 = ~1лб(х) + Р— :с (см. задачу 57). 65.
Всякая обобщенная функция является пределом обобщенных функций, порожденных локально интегрируемыми функциями. В этом слеысле пространство обобщенных функций является "пополнениесие пространства обычных локально интегрируемых функций. 66. Обобщенную функцию Т' Е Р' называют обращающейся в нуль на интере ле (а; Ь), если для всех уо 6 Р, терр ус С (а; Ь), имеет место равенство (Т"; ус) = О.
Для того чтобы непрерывная функция обращалась в нуль в каждой точке интервала, необходимо и достаточно, чтобы она обращалась в нуль на этом интервале как обобщенная функция. Гл. б. Введение в функциональный анализ 462 В задачах 71 — 77 вычислить производные обобщенных функций. (1 при х>хо, при х < х = И. 74. у= 4, где,+ — — О 76. у=1п~х~. 76. у=хь —— при ) 1пх при х>0, ьь ) О при х<0. 72. у = б(х — хо).
при х>0, при х< 0. х< 0, — 1 < Л < О. В задачах 78-79 найти производные и-го порядка обобщенных функций. 78. у = б(х). 79. у = х", й = О, 1, 2, ... В задачах 80-.87 доказать сформулированные утверждения. 80. ( — +Л)В(х)е. л б(т) 81 (" +шз) ' '" ' =б(т) Если бе(х) = ~ 0 (1/е при (х~ < я,з2, то в пространстве 1д' 0 при ~х~ > )е72, существует предел 11ш б,(х) = б(х) и б'.(х) = ее — за е 83. Если /'г(х) при х < хо, (Л() р > где функции дз и 72 непрерывны и кусочно непрерывно дифференцируемы на Й (следовательно, и частности, существуют пределы Д(хо х хО)) и д(.) = У( ) — (,((хо 4-0) — У(хо — О))В(х —,) (см. задачу 71), то функция д(х) непрерывна на й, имеет локально интегрируемую производную д' и Р = д'+ (((хо + 0) — У(хо — 0))б(х — то). 67.
Если функция 7": Я вЂ” ~ С непрерывно дифференцируема, то длл обобщенной функции, порожденной ее производной 7"', выполняется соотношение ((',цз) = — (У цз ) 68. Произнодная Г' обобщенной функции 7" Е 1з' также лвлнется обобщенной функцией из 12'. 69. Производная любого порядка обобщенной функции из пространства 7д' является обобщенной функцией из того:ке пространства.
70. Если 7" и д - обобщенные функции, а Л, р 6 С, то (Л7" + + рд)' = ЛГ'+ рд', ряб Топологические пространства. Обобщенные функции 463 84. Если Т" -- кусочно гладкая на К функция, имеющая в точ- КаХ Хг, ..., Х„РаЗРЫВЫ ПЕРВОГО РОДа СО СнаЧКаМИ Рг,РЗ, ...,Рп, тО и У (з) = „а +,~ реваз — ль), Ь=г где Т" обобщенная производная функции Т", а — обобщенная 11х функция, порожденная обычной при х ф хь, й = 1, 2, ..., п, производной функции ф.
85. Если Т"„е Р', и = 1,2,..., Т" Е Р' и 1цп Т"„= Т", то для любого й=1г2,... в пространстве Р' имеет место равенство 1пп Т'гьг = Тгьг. 86. В пространстве обобщенных функций сходящиеся ряды можно почленно дифференцировать любое число раз: если Т' = ~~г Т"„, то п=-1 Т"г"1 = ~ ~~~~1 в Р', й = 1,2, ... п=1 87. В пространстве Р' имеют место равенства -~-сс ( ~ ~' " ) = ~~г созна = — — + гг ~ о(х — 2Ьг). п=1 к ийп па 1г — х Указание. Воспользоваться формулой ~ гг 2 п=г В задачах 88 — 103 доказать сформулированные утверждения. 88.
Для того чтобы бесконечно дифференцируемая функция:р: й — 1 С принадлежала пространству 5, необходимо и достаточно, чтобы для любых неотрицательных целых гп и и выполнялось условие зпр (т"уо~'"~ (з)( ( +со. я 89. Для того чтобы 1пп грп = р, необходимо и достаточно, чтобы и — ~ос 1пп зпр ~л"'1гр~~~1(х) — уггтг(л)]~ = О, 14, т = О, 1, 2, ... и — г:~~ я 90. Если 1пп уо„= гр в 5, то для любого т = 1,2,...
и любого к 6 Кг имеет место !пп гр„т (а) = ~о (х). и — ' оо 91. Пространство основных функций Р содержится в пространстве основных функций медленного роста Я, причем если 1пп щ„= гр и — гсо в Р, то 1пп уоп = гр в Я. п — гас 92. Рф5. 464 Гл. 4. Введение в функциональный анализ 93. Обобщенная функция, порожденная локально интегрируемой функцией е"', не продолзкаема с множества оснонных функций Р на множество основных функций Я, т. е, не продолжаема в злемент пространства Я'. 94. Пространство Р плотно в пространстве Я, т. е, любая функ- ция р б Я является в Я пределом последовательности функций р„ 6 6Р, п=1,2,... 95. Если функция 7" (х) абсолютно интегрируема на нсей числовой оси, то функционал 7, определенный формулой Ч оо ((,цз) = / )(х)уз(х)йх, ьа 6 Я, принадлежит пространству В'. 96.
Если функция 7": й — ь С локально интегрируема и для нее справедлива оценка (Пх)! < СИ": где х и й неотрицательные постоянные, то функционал Г, опре- деляемый формулой -~-оо (у', р) = / Х(х)цз(х) йе, ьо В.з, принадлежит пространству 5'. 97. Обобщенная функция 6 Р' (см. задачу 64) продолжаема х -~- зб в обобщенную функцию медленного роста. 98. Для производных обобщенных функций медленного роста справедливы полные аналоги утверждений задач 69, 70, 85 и 86. 99. Если уз 6 Я, то при любом й = 1,2, ... функция х"'цз(х) абсолют- но интегрируема на всей числовой оси, и потому для нее определено преобразование Фурье.
100. Если уз 6 5, то В'(уз) 6 Я и В' '(цз) 6 Я (В' преобразование Фурье, а В' з обратное преобразование Фурье). 101. Если р б Я, то г (В (цо)) = р и г (г (Г)) = уз. 102. Преобразование Фурье и обратное преобразонание Фурье отображают взаимно однозначно, линейно и непрерывно пространст- во Я на себя. (Отображение В': Я вЂ” ь Я называют непрерывным, если из условия 1пп ьззз = аз, р„6 В, аз=1,2, ..., следует, что Пш В'(ьзо) = и-ооо о-зво = В(р).) 103. Если функция Д(х) непрерывна и абсолютно интегрируема на всей числовой оси и ~р 6 Я, то о з -~-оо жсо / ьз(х) йх / г(У)е 'л йр — / г(9) йр з( аз(х)е зю йх б Р П Топалов ические пространства. Обобщенные функции 465 104. Принести пример такой основной функции ис из пространства 12, что ее преобразование Фурье Г( о) не принадлежит этому пространству. 105.
Найти прямое и обратное преобразования Фурье для б-функции. В задачах 106 — 112 доказать сформулированные утверждения. 106. Преобразование Фурье обобщенной функции Т" Е У также является обобщенной функцией класса Я', т. е. Г(Т) --- линейный непрерывный функционал над пространством Я. 107. Для любой обобщенной функции Т" Е Я' имеют место соотношения б' '(б'(Т)) = Г(1г ' (Я = Т. 108. Прямое Г и обратное Е ' преобразования Фурье отображают пространство Я' на себя линейно, взаимно однозначно и непрерывно (непрерывность отображения пространства Я' определяется аналогично непрерывности отображения Я вЂ” ь 5 в задаче 102).
109. Пусть цт ст — ь С . - такая бесконечно дифференцируемая функция, что для любой ее производной ф~"~, п = О, 1, 2, ..., существуют такие постоянные С„и С„', что для всех х Е ст' выполняется неравенство ~то(о~(х)~ ( С„'(1+ ~х()О". Тогда, если р Е Я, то ф;о Е В. 110. Если Т" Е Я'. а функция ф удовлетворяет условиям задачи 109, то фф Е У. 111. Если ф е Я', то Р(ф~ "~) = (тх) "Г(1). 112. Если У Е 5', то гц'о(1) = ( — т) "г(х'7). В задачах 113 — 118 найти преобразование Фурье обобщенных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
