1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 99

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 99)

По известной формуле для суммы членов геометрической прогрессии имеем ) игл+и ги е-и!и оп (о) =— 2 еги — 1 510 ГЛ. !Х. РЯДЫ ФУРЬЕ Умножив числитель и знаменатель на е а~, получим 1 е11л ~11'1 а — е 11л+ 11') а »1п (п + 1/2) а а !а) 2 е — е ш12 — 1а1т 2ып— а 2 и данная выше формула доказана.

Упражнения »1 ЪЧ з!пих 1. Построить кривые у= лум — при Дг= 3, Б, б. и .У4 »г Ъч соз пт 2. Построить кривые у= у — при ДГ=З, 6, 8. лйе и' л-1 3. Вычислить сумму з1па+зщ2а+ ... +з1ппа. 4. Положим е (а) — л()+ '( + '"'+ л1() ° где а (а)= — + + сов а+сов 2а+ ... +созна. Доказать, что (Выражение е (а) называется ядром Фейера и играет большую роль в дальнейшем развитии теории рядов Фурье.) 5. Показать, что где е (а) есть ядро Фейера из упр.

4. В 3. Ряд Фурье Функция 8„(х) =' а+ ~'.~ (а» соя йх+а» з1п йх), »-1 являющаяся результатом суперпозиции гармонических колебаний, содержит 2п+1 произвольных постоянных а, а», 1)». (Для простоты полагаем ю = !.) В комплексной записи зта функция имеет следующий вид: 8,(х)= ~~'.~~ а»е'»' » -л с 2п-+1 комплексными постоянными а». (Мы уже видели, и это вскоре подтвердится, что удобно положить а=аз — — ар/2.) а з.

»яд этвьв Возникает вопрос: нельзя ли так выбрать эти 2п+1 коэффициентов, чтобы сумма 5„(х) давала в интервале — а (х (п приближение к заданной функции Г(х), и если это возможно, то как найти коэффициенты? Более того, сама собой напрашивается следующая гипотеза: возможно лн, совершая предельный переход п-»со, отождествить Иш 5л(х) с «произвольной» в некотором смысле функл.л со цией Г(х)? Функция Г(х), естественно, должна быть подчинена надлежащим условиям непрерывности, которые будут сформулированы ниже.

Другими словами, ставится вопрос (как это сделал Фурье при изучении физических проблем теплопроводности): возможно ли разложить заданную функцию Г(х) в бесконечный ряд СО Г(х) = — + ~(аа сов йх+ ба з!и йх) л-1 или, в комплексной записи, и мы сразу получаем 1 Г а„= — „а! у'(х) соз ахах, п=О, 1, 2, у'(х)= ',~~ а еы'? (2) При этом суммирование от — оо до +со означает следующее: сна- чала производится суммирование от — а до а) 0 (или, более общо, от — и до т), а затем совершается предельный переход при п-»+со (при одновременном стремлении а -ь со и т-» оо). Предположим на время, что это разложение функции Г(х) дей- ствительно возможно и что ряд сходится равномерно в интервале — п ( х (и. Тогда нетрудно выразить коэффициенты пз = ае!2, пл, бл (в комплексной записи аа) через функцию Г(х).

Помножим гипотетическое разложение (1) на соз пх и проинтегрируем по х от ' — и до а. В силу. соотношений (1) — (3). выведенных на стр. 247, при целых .т и и ( О. если т+а, з!и тх з!и пх дх = ~ ~ а. если т=а+ О, 5!п тх соз их пх = О, (О, если тчьп, соз тх соз пх г(х = ~ ~ а, если т=ачьО, гл. ьх. гяды оьвьв Аналогично, умножая (1) на з1пих я интегрируя по х от — и до и, получим Ь„= — ~ Г(х)тпихйх, а=1, 2, 3, ... — Л В случае комплексной записи ряда помножим разложение (2) на е 'ь» и проинтегрируем от — и до п. Пользуясь соотношениями (стр.

507) ( О при п~т, е' 'е-'"'Их= ~ 2п при п=т, если т и и — целые числа, находим а = — ~ Г(х)е — '" с(х. п=О, +1, +2, 1 Г ч 2п ) -я Эти формулы дают определенную последовательность так называемых коэффициентов Фурье для всякой функции Г(х), определенной и непрерывной на отрезке — п.(х(п либо имеюшей лишь конечное число разрывов первого рода (конечных скачков) на этом отрезке.

Если функция Г(х) задана, то мы можем формально записать бесконечный ряд Фурье: —,' + У. (иь соз нх+ Ьь з1п йх) = ~ п,е"", 2 ь-ь и перед нами задача: выделить простые классы функций у (х), для которых этот ряд Фурье действительно сходится н представляет эту функцию. Значение такого представления как для теоретических исследований, так и для приложений исключительно велико. Для того чтобы сформулировать результат, который мы намерены доказать, введем следующее определение. Функция Г(х) называется кусочно гладкой в некотором интервале, если она сама кусочно непрерывна в этом интервале (т. е. непрерывна в нем, не считая конечного числа разрывов первого рода) и к тому же имеет кусочно непрерывную первую производную Г'(х). Функцию у'(х), первоначально заданную в интерцале — п(х ~(л, мы будем считать продолженной периодически во внешнюю облзсть этого интервала.

Во всякой точке, в которой ф>нкция Г(х) делает конечный скачок, мы припишем ей значение, равное полусумме ее левого и 313 5 С ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ правого предельных значений, т. е., если потребуется, изменим значение функции в этой точке разрыва. Стало быть, полагаем Г(х) = — (Г(х — 0)+ Г(к+0)1, где Г(х — 0) и Г(х+0) — это просто пределы, к которым стремится Г(1) при 1 — ьх соответственно слева и справа от точки х. В любой точке х, в которой Г(х) непрерывна, это равенство, очевидно, выполняется само по себе. Наша цель — доказать следующую т е о р е м у: Если кусочно гладкая функция Г(х) удоелетеоряет написанному выше соглашению, то ее ряд Фурье сходится и представляет эту функцию е любой улочке х.

Затем будет доказана следующая т е о р е м а: Во всяком замкнутом интервале, е котором функция Г(х) (периодически продолженная) не только кусочно гладкая, но и непрерывная, ее ряд Фурье сходится равномерно. И, наконец: Если кусочно гладкая функция у(х) не имеет разрывов, то ее ряд Фурье сходится абсолютно. Доказательства этих теорем мы отложим до 9 5 (стр. 522).

Здесь мы толЬко подчеркнем, что класс функций, разложимых в ряд Фурье согласно этим теоремам, допускает очень высокую степень произвольности; и вовсе не обязательно. чтобы такая функция задавалась единым аналитическим выражением. В следующем параграфе мы покажем на ряде примеров плодотворность разложения в ряд Фурье. ф 4.

Примеры разложения в ряд Фурье 1. Предварительные замечания. Мы будем предполагать, что наши функции Г(х) имеют период 2я, и возьмем в качестве оаювного интервал от — л до я, Если функция Г(х) задана первоначально только в интервале — я < х < я, то она должна быть продолжена периодически налево и направо согласно 9 1 (стр, 499). Прежде чем приступить к рассмотрению примеров, сделаем одно простое замечание. Если Г(х) — четная функция, т. е.

у ( — х) = = Г(х), то Г(х)гдпкх является, очевидно, нечетной функцией, а Г(х)созйх — четной. так что д» = — ~ У (х) з(п йх дх = О, ໠— — — ~ Г(х) соа йх дх. 1 Г 2 Г Стало быть, для четной функции получается ряд из одних косинусов и постоянного члена — '= — "созОх~. Если же Г(х) — нечетная 2 2 33 Р, Курант ГЛ. !Х. РЯДЫ ФУРЬН 514 функция, т. е. Г( — х)= — г" (х), то аа = — ~ у (х) соз йх Ых = О, Ьа — — — 1 у (х) з(п хх Ых.

1 2 -н о Следовательно, ряд Фурье для нечетной функции содержит одни синусы. Если функция у (х) задана первоначально только в промежутке О ( х ( и, то ее можно продобжить иа интервал — и ( х ( О по желанию либо как четную функцию. либо как нечетную (и уж затем продолжить периодически с периодом 2п на всю ось х). Соответственно этому такую функцию можно представить в проиежутке О ( х ( и как рядом косинусов, так и рядом синусов. 2.

Ряды Фурье для функций ф(х) =х и ф(х) =х' в интервале — и < х < к. Для 'нечетной фуннции ф(х) =х 2 Г аз=О, ба= — ~ хз1пахох; о по правилу, приведенному на стр, 250, Таким образом, периодическая функция ф (х), ноторая в промежутке — и < х < и имеет выражение ф (х) = х (рис. 126), разлагается в ряд Фурье Подставив сюда х = я/2, получим знакомый уже нам ряд Лейбница (стр. 366) и 1 1 — =-1 — — + — — + 4 3 5 Функция ф(х), представленная выше рядом синусов, не является (нак целое) непрерывной функцией: в точках х=а и а= ~1, ФЗ, жб, ...

она имеет разрывы первого рода и совершает в них скачки величиной 2п. В этих точках разрыва каждый член ряда обращается в нуль, а потому и сумма ряда тоже равна нулю. Следовательно, в точках разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому левого и правого предельных значений функции.

Пусть 5 в каное-либо фиксированное число между — и н и; если в ряде синусов для функции ф (х) заввеним х на х — 5, то получится $ а НРимеры РАзлОжения В Ряд ФуРье 31 который можно тоже расположить в виде ряда Фурье с коэффициентами ( — 1)", ( — 1)" а,=О, а„=2 з!пп'-, Ь„=2 созна, п и стремящимися к нулю при и-ьсэ. Этот ряд представляет функцию, имеющую описанные выше рззрывы в точках х =. З ж и, з ~ Зп, ...

и только в зтик точкзк. 1»ля четной периодической функции сз(х), которая в промежутке — и < х < и имеет выражение Ф(х) = х', находим: а» = — ] хт соз»х !(х = ( — 1) — (» ) О), 2 Г л 4 и,] »2 о 2п' а = —, Ьа=О 3 н, стало быть, получаем разложение пт ! соз х соз 2х соэ Зх ср(х) = — ' — — 4~ =3 ~11 21 — — — + — -+ ..) 3' Так как в промежутке — и <х < и имеем !Р(х) =х', то, дифференцируя этот ряд почленно и деля на 2, получим формально вновь ряд для периодической функции ф (х), которая в промежутке — и <х < и обращается в ф(х) =х. 3.

Ряд Фурье для функции хсозх, — н < х < я, Лля этой нечетной функции имеем н к 2 Г 1 ] аз=О, Ьа= — ~ хсозхз!п»хпх= — ~ х(з!п(»+1)х+з!п(» — 1)х]т(х. в о Пользуясь формулой х з!п тх с(х = ( — 1) тч-1 е (т=1, 2, ...), найденной в предыдущем пункте (мы заменили в ней» на т), вычисляем Ьа! ( — 1)а'т ( — 1) а 2» »+1 +» 1 ( Ц 2 Г 1 Г .

1 Ь = — ] х созх з!их т(х= — у! ха!п2хпх= — —. '-и.] и "у 2 е а следующий ряд: ф(х — с) =2( 2 2 1 = — — з!п Ь соз х+— з!п2(х — Ь) з!пЗ(х — $) 2 3 2 2 соз с з!п х+ — з!п 2» соз 2х — — соз 21 з!п 2х— 2 2 2 2 — — з!и Зз соз Зх+ — соз 3' з!п Зх+ ... 3 3 гл. !х. няды ок ьн Так мы получзем разложение в ряд в промежутке — и <,х < ья х сов х = — — з!и х+2 ~„з!и Ах. 1 жч( — 1) а 2 .'( Д вЂ” 1 3 2 Сложив этот ряд почленно с рядом для ф(х) =х нз п'2, получим для промежутка — и < х < и следующий ряд: 3 7 э!и 2х з!и Зх з!и 4х х(1+созх)= — 5!ох+2~ — — — + — — + ...) ° 2 1123 234 343 Периодическая функция (с периодом 2п), равная х соэх в интервале — и < х < и (рис.

Характеристики

Список файлов книги