1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 100
Текст из файла (страница 100)
127), имеет разрывы в тек же точках, что и функция ф (х), Рве. 127. рассмотренная в и'2 (рис. 126), и скачки обеих функций в этик точках имеют одинаковую абсолютную величину 2п, но различные знаки. Напротив, функция, полученная периодическим продолжением значений функции х (1+ соз х) в интервале — и < х < и за граничные точки этого интервала, .вгюду непрерывна и имеет всюду непрерывную производную; дело в том, что при периодическом продолжении функции, непрерывной в интервале — и < х < и, разрывы возникают лишь в том случае, если значения функции на границах этого интервала различны, а функция х(1+соэх) и ее производная принимают в точках х = — п и х = и равные значения, а именно значения О; это вызывается наличием множителя 1+соя х, который обращается в нуль вместе со своей производной в точках — и и и. 4. функция 7"(х) =(х( в интервале -я < х < н.
Это — четная функ- 2 ция; следовательно, за =О, а аз= — ! х соя яхтах. Этот интеграл вычи- о сляем по правилу интегрирования произведения: э!н Дх ! соз Йхтч" соэ Ап — 1 хсозлх!Гх= х — — 1 а 11 = при лай. б! $ К ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ 617 Следовательно, если л чь О четио, если А нечетно. при а нечетном 2 Г Постоянный член равен а,(2, где а, = — ! Х4!х= л, Следовательно, о ( ) л 4 (созх [ со53х [ созбх ) 2 л [ 15 3' 6' Подставив сюда значение х = О, получаем замечательную формулу л' 1 1 8 +3'+65+''' 6.
Еще одни пример. функция у (х) определена в промежутке — л < х < л так: -зу У(х) = О при х= О, — 1 при — л < х < О, -У Рис. !28, 1 при О <х <'л и продолжена периодически на всю ось х. Она изображена на рис. 128. Это — нечетная функция, и для нее аз =О, а к О, если к четно, 2 65= — 5!пАхпх=1 4 Л вЂ” если л нечетно. о ЛД ' Поэтому ряд Фурье для этой функции таков: При х =лг2 отсюда как частный случай опять получается ряп Лейбница.
Ряд Фурье. для этой функции У(х) можно формально получить из ряда для ! х [ почленным дифференцированием. б. Фуннцня у(х)= [5!их[. Четную функцию т(х)=[5!Пх! можно разложить в промежутке — л < х < л в ряд Фурье по косинусам. Для втой функции коэффициенты к и 2 Г Г оа= — ~ 5!пхсо5йхох = — ~ [5!п(л+!)х — 5!п(д — 1)х]4(х= Л~ Л3 о ' 5 О 1 ( соа(1+1)х соз(А — 1)х1" 6+1 л — 1 1б при Л четном. (ка — 1) л [При л 1 знаменатель под символом двойной подстановки обращаетсн в нуль, но отдельное вычисление подтверждает, что и а, =О.[ Следовательно, 2 4 Ъ"~ со52лх у(х) = — — — д„—.
л л .йб 4п' — 1 ' л-! В промежутке — л < х <л сумма этого ряда равна [ 5!их[. гл. гк. ряды ел ьн !7 518 7. Ряд Фурье для функции у(х)=сов)гх. Разложение котангенса на влементарные дроби. Выражение синуса в виде бесконечного произведения, Пусть в интервале — и < х < и функция у(х) = — соз рх, где р не является целым числом. Так как у(х) — четная функция, то опять Ь«=0 и Г ( — а«= ~ сов их сов «хдх = — ~ (сов(в+ А) х+соз(Н вЂ” «)х) г(х= =23 о е 1 (з!п(и+«)и з!п(р — Й)п'1 н( — 1)« 2( р+« + 膫 / не †! л 1п (1 — 1, )+1п(1 — — !)+ ... = !ип ~1п(! — — !).
«-! Потеицируя; получим з1п пх л-э «-! ' ', «-! =е = 1!ш е !з (! — —,) е = В И(1 — —,); «-! следовательно з!и их = пх (1 — —,) (1 — — ') (1 — — ) ... !). ') Формула доказана здесь в предположении, что ! х ! < е < 1, ио можно доказать, что формула справедлива лля любых значений х. Следовательно, 2рз!при ( 1 созх соя 2х соз рх — — — + — + ...) при — л < х < л.
н '! 2р! рг — 1! р' — 2' Эта функция при периодическом ее продолжении остается непрерывной при переходе через точки х= ю и. Если в найденном разложении положим х=н, разделим обе части равенства на з(при и затем вместо р будем писать х, то получим формулу 2х!' 1 1 1 и 12хг+х! — П+ хе — 2'+ ) представляющую так называемое разложение катан!енса на злелгентар- иые дроби', это очень важная формула, часто встречающаяся в анализе. Запишем теперь этот ряд в виде 1 2х 1 1 К ( — ' + 2 — + ''") Если 1х) < а < 1, то и-й член ряда в правой части равенства по абсолют- 2 1 иой величине меньше чем — . Следовательно, ряд равномерно и 'и' — ег сходится в этом интервале, и мы имеем право его почленно интегрировать. Таким образом (после умножения на и), получаем в левой части к 1 ! з!и пх, з!п па з!и пх и ~ (с!К н! — — ) б! =1п — 1ип !п = !п —, и! ) нх „о па пх о а в правой части д! $ Е ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ 519 Таким образом, мы получили известное разложение синуса в бесконечное произведение ').
Из втой формулы при х = 1/2 получаем формулу Валдиса: и НН 2а 2Л 2 2 4 4 2 .$$ 2» — 1 2а+1 1 3 3 5 Л-1 что согласуется с результатом, полученным на стр. 254. 3. Дальнейшие примеры. С помощью небольших вычислений по образцу тех, ко~орые здесь были проведены, получаем еще следующие примеры рззложения в ряд Фурье.
Функция у (х), определенная при — и < х < н равенством у (х) = в!и рх, разлагается в ряд 2в1прп ! Нпх 2мп2х ЗЗ1!ПЗХ ) у(х) = в!н рх —— и, (, рв — 11 р' — 2'+ р' — 3' л Из етого ряда при х= и/2, пользуясь соотношением в!при = 2 в!ар — )с 2 )(совр — ', можно получить разложение секанса на злементарные дроби, 2' 1 т. е. разложение функции ; зто разложение, если в нем затем змеин сов— 2 сто р/2 писать х, имеет вид -4~ ( — 1)а(2а — 1) сов пх ~'4 4х' — (2а — 1)' А-1 Ряды для гиперболических функций си рх и зй их ( — и < х < и) имеют внд 2р ( 1 сов х сов 2х сов Зх ч Р '! 2р' рв+11 + рв+2в р'+3' + ''')' 2 / ыпх 2в!п2х Зв!пЗх +!' +2+ +3 +")' 19.
Заключительные замечания. Разложение в ряд Фурье функции произвольного периода. Когда в начале 9 3, стр. 511, исходя из суперпозиции 8„(х) гармонических колебаний, мы поставили вопрос о возможности разложения периодической функции Г (х) в бесконечный ряд 'Фурье, то только для упрощения было положено Ы=2ПТ=!, и, значит, период Т=2П. В естествознании и технике часто встречаются функции г" (1) с произвольным периодом Т, а стало быть, произвольной круговой частотой ю=2п1Т. Ясно, что для тзкой функции следует ожидать разложения в ряд Фурье вида Ш у (1) = — + ~М (аз сов лю1 + 5, в 1п ею1).
А-1 ') Эта формула интересна прежде всего в том отношении, что из нее непосредственно можно усмотреть, что функция в!пих обращается в нуль при х=о, Ф1, Ф2, ...; в атом смысле она соответствует разложению на множители целой рациональной функции, когда известны все ее корни. ГЛ. 1Х. РЯДЫ ЕЯРЬЕ Эту общую задачу можно привести к уже изученному (пока формально) частному случаю, когда период равен 2п, преобразованием переменной ЫЕ=х, Е=х(Ы=Тх(2п. Тогда У'(Е) =Г! — ) = Е Тх! =л'(х). Функция л'(х) тоже периодическая, но уже с периодом 2п, так как з (Х.т. 2Л) — Г (- 2 ) = Г!~ + Т) =1"'( ) =з (Х) Пусть теперь а (х) разлагается в р1щ Фурье: ОР п(х)= л'+У (аасозйх+о з!пИх), 2 а-1 где.
согласно Э 3, аа = — л! ц(х)созйхпх 1 Г Л Ь, = — „л! у(х)з!пйхс(х 1 Г (А=О, 1, 2, ...), (1=1, 2, ...), Вернемся теперь к переменной Е, подставляя обратно х = ЫЕ = = 2ДЕ!Т. Тогда д(х) =у(Е), и мы получаем разложение е' (Е) = — "' + У (ад соа ЕиоЕ + ба з(п ЕгыЕ) = 2 а-1 ач 'ь! Е 2яЛЕ . 2паЕ 1 = —,'+лт 1аасоз — +ьаз!п — ).
(А) т Е" Коэффициенты этого ряда можно выразить непосредственно через Г(Е)! для этого надо преобразовать интегралы в формулах для аа и Ьа заменой х=ыЕ=2пЕ/Т, ! =Тх(2п, 1(х=ы1ЕЕ. Получим: гж аа = —, а(,Г(Е)созлыгс(Е (к=О, 1, 2, ...), 2 Г -гд та Ьа = — ~,Г(Е) з!п lгыЕ пЕ (А = 1, 2, ...). 2 — гж (В) Вместо промежутка интегрирования от — Т(2 до Т/2 можно взять промежуток интегрировании от О до Т. Из способа получения этих результатов видно, что вопрос о доказательстве для периодических функций Г(Е) произвольного $ С ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ 521 у (х) = 24+ )~~ (ал соя — + Ь з!и — "~ ), 4-1 где а„ = — ~ у (х) соя в 4тх 1 Г Аих 1 1 Г ..
Дпх Ьл = — л! У" (х) з!й — 4!х 1 -( (А=О, 1, 2, ...), (А=1, 2, ...). При всех формах записи ряда Фурье, если разлагаемая в ряд функция четная, то ЬА= О при всех й и ряд содержит одни косинусы, а формула для ал упрощается: можно интегрировать по половине периода от О до Т!2 (соответственно от О до 1), но зато нужно удвоить коэффициент перед интегралом. Если разлагаемая в ряд Фурье функция нечетная, то а„= О (А =О, 1, 2, ...) и ряд состоит из одних синусов; формулы для Ьл упрощаются: можно интегрировать по полупериоду от О до Т!2 (соответственно от О до 1), но зато нужно удвоить коэффициент перед интегралом.] Упражнения 1.
Найти разложения в ряд Фурье для периодических функций с периодом 2п, определенных в промежутке — и < х < и следующими выражениями: ,а) ллх; б) (хт — пт)4; в) к!пах(1+созх); г) /(х) ! при а <х~б, у(х) О при — 44 < х <а, у(х) О при б < х~п. 2. Функции У(г) — периодическаи с периодом 1; в интервале О~х < 1 СО 1 1 %ч з1п2лпб она дана равенством у(т) б Доказать, что у(т) — — — р 2 и 44 и а-1 периода теорем, сформулированных в 2 3, стр. 313, разрешится сам собой, как только будет дано доказательство этих теорем для функций периода 2п (а это будет сделано в следующем 2 5), Форма (А) ряда Фурье с коэффициентами в форме (В) удобна, если независимая переменная ! означает время. Если же независимой переменной периодической функции у(х) является пространственная координата х (если изучается, например, зависимость отклонения точки струны в определенный момент времени от абсциссы втой точки в состоянии покоя), то период функции у(х) обозначают обычно через 21; тогда соответствующая форма ряда Фурье и выражений длв его коэффициентов получается из (А) и (В) простой заменой буквы б буквой х и подстановкой Т = 21 и ет=2п/Т=п/1, Выполнив это, получим ГЛ.
1Х. РЯДЫ ФУРЬЕ 3. Мвогочлены Вл (х) (многочлены Бернулли) определяются следующими в) ~ВР(х)л'х=О о соотношениями: а) Вз (х) = 1; б) В„(х) = пВл, (х); л 1 л 1 1 ~ч~ со22пп( В 3 1~~ ~ соя 2пп! ~ (. л-1 ) л-! %ч 1 пз цч 1 и' 5. Доказать, что р »Ь22 и' б ' а~а и' 90 ' л 1 л 1 1 1 1 1 12 6. Доказать, что — — —,+ — — — + — ... = —. 12 32 5з 7з '' 32 ' 1 1 1 и' 7.
Доказать, что; а) 1+ — + — + — +. ° =— 3' 52 ' 7' 3 1 1 2 з!2 б) 1 — — + — — — + — ° ..= — ' 2' 3' 4' '' 12 ' 1 1 1 7.12 в) 1 — — + — — —,+ —...=— 2' 3' 4' 720 з!и 2пх 8. Исходя нз тождества сових= 2, вывести бесконечное про221п пх ' изведение лля косинуса. В 5. Доказательство разложимостн функции в ряд Фурье Займемся теперь доказательством теорем, сформулированных в э 3 и поясненных примерами в 6 4. 1.
Сходимость ряда Фурье для кусочно гладкой функции. Мы уже знаем, что если в интервале — н < х ( и задана любая кусочно непрерывная функция у (х) (т. е. функция, непрерывная во всех точках этого интервала, за исключением, быть может, конечного числа разрывов первого рола), то можно вычислить коэффициенты Фурье для 2'(х) по формулам а = — ~ У(()соз)з!2(г, (з» вЂ”вЂ” — ) У(Г)з(пй(г(з' 1 Г при и ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
