1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 102
Текст из файла (страница 102)
При Гг)~ 1 сь= — ~ у'(х)сов йхдх= Г = — у'(х) соз йх ~ + — [ у'(х) з]п йх дх = Иь. 1 л Г я 34 Р. Куракт 31 а 5. дОкА3АтельстВО РАзложимости Функции В Ряд ФуРье В29 ГЛ. 1Х. РЯДЫ ФУРЬН Аналогично вычислЯетсЯ и 1(л. Итак, с =О, сл= дол, г(л= — йал при й)~ 1.
Неравенство Бесселя, записанное для функции л(х), имеет следующий вид: и л и )~~ (с, +с(,) =- ~~)~~ й'(ал+Ьл) ( — ~ [й (х))25(х. 5-1 5-1 — к Отсюда вытекает сходимость ряда ~ й (ал+рл), а следовательно, 2 2 2 Л-! и ряда ~~1„~ —, й (ал+ол)+ —,]. Л=1 Вернемся теперь к ряду Фурье для функции у'(х).
На основании неравенств (а) абсолютная величина его общего члена ( ал созйх+Ьлщпйх( ((ал(+!ол( ( —,+ — й (а~а+о~а), т. е. не превышает общего члена сходящегося ряда с постоянными положительными членами. Стало быть, ряд Фурье для функции У(х) сходится абсолютно и равномерно. Между прочим, такими же рассуждениями можно показать, что для всякой периодической функции, имеющей непрерывную производную (Л вЂ” 1)-го порядка н по крайней мере кусочно непрерывную производную Л-го порядка, л сумма ~ д (ал+Ь ) остается ниже некоторой фиксированной границы.
25 2 г Л-1 Этот факт дает определенное суждение о порядке убывания коэффициентов Фурье данной функции. Для такой функции сходятся абсолютно и равномерно не только ее собственный ряд Фурье, но и ряды Фурье для ее производных до (л — 1)-го порядка включительно. Для того чтобы доказать вторую часть теоремы, относящуюся к кусочно гладким функциям, имеющим разрывы, рассиотрим сначала такого рода функцию ф(х) часглназо вада. Пусть функция ф (х) в интервале — и с.
х ( и обращается з ф (х) = х, а вне этого интервала продолжена периодически на всю ось х. Согласно стр. 514 ряд Фурье этой функции имеет следующий вид: 2 ~ 51пх 51П2х 51пзх ) 1 2 3 Этот ряд не может быть равномерно сходящимся. В самом деле, в противном случае этот ряд, как равномерно сходящийся ряд непрерывных функций, должен был бы представлять непрерывную функцию, но это, очевидно, неверно, так как функция ф(х) при переходе слева направо через границы интервала делает скачок вниз, равный 2п. Следовательно. мы не можем ожидать.
чтобы ряд сходилси равно- з1 з а. доказательство назложимости егнкции в пяд егвьн мерно вплоть до границ интервала, но тем важнее отметить следующий факт: нага ряд равномерно сходится во всяком интервале — 1 «( х «(1, для которого О < 1 ( и, т. е. имеет место равномернан сходимость, если мы только исключим сколь угодно малый интервал вокруг точен разрыва. Доказательство будем вести с помощью следующего искусственного приема'). Заметим, что функция соз —, положительная з интер- 2 ' вале — 1«(х«(1, всюду в нем не меньше положительного числз соз — =)г.
Умножив абсолютное значение разности между т-й и лсй 2 частичными суммами предыдущего ряда (т ) и), т. е. выражение ~ з!Л(л+1)х з1п(л+2)х, + з1птх ! л+2 х на соз —, с помощью известной 2 ' 2 з(п и сов о =з!п(и+о)+з!П(и — о) ной величины х 1 в(п (л + 1) х 2 соя тригонометрической формулы получим под знаком абсолют- + з!птх ) и з!п (л+ — ) х в1п (л+ — 1 х з1п (т+ — ) х л+1 л+2 т 51п (л + — ) х в!и (л + †) х 81п (и + †) х л+1 л+2 л+3 +'' ' Соединяя вместе члены, имеющие одинаковые числители, получим под знаком абсолютной величины выражение (+2) ( 2) 5!П +! в!п(л+ — ) х з!п л+ — ) х Мп(т — — ) х + (и+1)(л+2) (л+2)(п+3) + ' ' ' ! (т — 1) т х так как соз — )~ и и !з!Пи) «<1, то имеем следующую оценку: 2 !5 3 <1~ 1 1 1 1 х [ л+! + т + (п+1)(л+2) + ' ' ' + (т — 1) т 1' ') На зту мысль наводит следующее соображение: функция 2у сову, периодически продолженная вне интервала — и/2 (у ( и/2, остается непрерывной, и, следовательно, по доказанной первой части теоремы ее ряд Фурье должен сходиться равномерно и представлять зту функцию.
Но зтот ряд получится из ряда Фурье дая 2у путем умножения на сову, Полагая у =х12 и производя умножение, мы как раз и приходим к сказанному в тексте. гл. 1х. Ряды Фгвьв соз х'— 1 соэ 2х — 1, соз Зх — 1 ) — 2 — ( 22 -'- 32 + ") всюду равномерно схпдится и, на основании предыдущего пункта, упр.
7б, стр. 522 и стр. 515, представляет функцию хз/2. Теперь воспользуемся теоремой предыдущей главы, заключающейся в том, что равномерно сходящийся ряд можно почленно дифференцировать во всяком интервале, в котором ряд, полученный дифференцированием, равномерно сходится. На основании этой теоремы наш ряд действительно представляет во всяком интервале — 1 ( х ( 1, где 1 ( и, ~ х'з' производную ~ — ), т, е, функцию у=х, и мы получаем. таким образом, разложение ! Мпх а1п2х з1пЗх ф(х)= 2~ — — + — — ...), 1 2 3 имеющее место всюду в интервале, за исключением точек х = и и х= — и. В зтих же точках функция равна нулю, так как каждый член ряда равен нулю.
Таким образом, периодическая функция, выражаемая этим рядом, графически изображается линией, представленной на рис. 126 (стр. 514), причем в точках разрыва приходится рассматривать как значение функции не предельное значение справа или предельное значение слева, а среднее арифметическое этих значений.
Мы получили, таким образом, разложение в ряд Фурье для прерывной функции частного вида.' Теперь мы можем (см. й 4) путем параллельного перенесения графика функции или системы координат поместить точку разрыва в любую точку интервала. В самом деле, функции э1п2(х — 3) МпЗ(х — $) ) 2 3 Р(х — 3) =-2 (м" (, Но выражение. стоящее в правой части, уже не зависит от х и при выборе достаточно больших значений гм и и может стать меньше 1 любого наперед заданного числа, так как ряд у д 1 сходя- а-1 щийся, а это н означает, что наш ряд Фурье равномерно сходится в интервале — 1 ( х ( 1.
Из доказанного еше ни в коем случае не вытекает, что этот ряд действительно представляет нашу функцию, ибо для этого заключения м~З в предыдущем номере пользовались равномерной сходимостью во всем интервале — и (х(п. Чтобы преодолеть это небольшое ватруднение, заметим, что ряд, получающийся из данного путем почленного интегрирования от 0 до х: $6. ПРИБЛИЖЕНИЕ В СРЕДНЕМ продолженная на .всю ось х, непрерывна всюду, за исключением точек (2гг — 1)л+-$, где й — целое число. При переходе слева направо через эти точки функция претерпевает скачок от значения л к значению — л, а в самих этих точках принимает значение нуль.
Пусть теперь у (х) — произвольная кусочно гладкая функция, имеющая в интервале — пах~(л только точки разрыва $И Сг, ..., $~, и пусть скачки, которые претерпевает эта функция при переходе через эти точки слева направо, соответственно равны бн бг, ..., б; тогда функция У(х)-+ — Ф(х — Ь)+ 2 Ф(х — В)+ . ° + — Ф(х — $ ) будет непрерывной и кусочно гладкой функцией и, следовательно, разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье. Ряд Фурье для функции у (х) мы можем теперь непосредственно получить, прибавляя к полученному риду почленно.
ряды Фурье для функций — Ф(х+л — ь,), ... — 2 Ф(х.+л — $ ). Таким образом, теоь, б, рема полностью доказана. Этот результат в большинстве случаев вполне достаточен для математических исследований и для приложений. Однако я хотел бы в заключение отметить, что изучение рядов Фурье продвинуто гораздо дальше. Условия разложимостн, которые нами здесь установлены, являются достаточными, но отнюдь не необходимыми условиями. Можно представить с помощью рядов Фурье классы функций, имеющих разрывы вначительно более сложного характера. Этим вопросам н вообще вопросу о разложимости функции в ряд Фурье посвящена большая специальная литература.
В качестве замечательного результата такого рода исследований укажу лишь на тот факт, что существуют непрерывные функции, ряд Фурье которых не сходится ни в каком интервале, как бы мал этот интервал ни был. Этот реаультат, конечно, нисколько не опровергает полезности рядов Фурье; наоборот, его следует рассматривать как свидетельство того, что абстрактное понятие непрерывной функции таит в себе такие возможности, которые непосредственно совсем нельзя предвидеть, на что, впрочем, указывает также пример непрерывной, но нигде не дифференцнруемой функции.
ф б. Приближение в среднем с помощью тригоиометрмческих миогочленов При рассмотрении рядов Фурье, как н вообще бесконечных рядов и других бесконечных процессов, надо всегда ииеть в виду, что смысл каждого такого разложения заключается в аппроксимировании (приближенном выражении) разлагаемой функции с помощью конечного выражения. Разложение в бесконечный ряд означает, что конечная. ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
