1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Найти В, (х), В, (х), Вз (х), В, (х). Примечание. Числа В„(0) рациональны; зто знакомые числа Вернулли В„; Вл = Вл(0) (см. стр. 478). 4. Вывести следующие разложения в рял Фурье для многочленов Бернулли: э з. док»з»тельство нлзложнмости огнкции в няд аэньн б2т и с этими коэффициентами можно формально выписать ряд — '+ Т (а» сов Ах+1» гдп йх). 2 »=:1 Этот ряд называется рядом Фурье для функции Г'(х), независимо от того, сходится он или нет. Мы будем предполагать, что у (х) периодически продолжена за граничные точки интервала — я ч.х ( л на всю ось х, и докажем теперь следующую теорему: Если функция У(х) кусочно гладкая и ее значение в каждой точке разрыва х выражается равенстволь У(х) = — [г'(х — О)+ 1 2 -+у(х+-О)), то ряд Фурье для г (х) всюду сходится и представляет зту функцию ').
Для доказательства этой теоремы рассмотрим частичные суммы Я„(х) = — + ~Э„(а» соз йх+ д» щп йх). »=! Вместо коэффициентов мы подставим сюда их интегральные выражения, записанные выше, а затем поменяем порядок интегрирования и суммирования; тогда Я„(х) примет следующий вид: Я„(х)= — „~ г'(!) ~ — + ~„(созйгсозях+з1пягз!пях) Ж =. ~ 2 — н »-! 1 2 — ! Г" (Г) — +-Ъ. созй(1 — х) !йЕ Сумму в фигурных скобках мы заменим сжатым ныражением с помощью формулы суммирования, выведенной в 9 2, и' 4, стр.
509: 'я з!и ~л+ — ! (à — х) / 11 Ю.( )= —, ) У(1), „дС, в!п — г— н, наконец, сделаем замену переменной 1 — х = т, дГ = йт; тогда, принимая во внимание периодичность подынтегральной функции, !) Заметим кстати, что эту теорему можно доказать н для еще более общих классов функций. Однако н сформулированный здесь результат достаточен для приложений.
524 ГЛ. !Х. РЯДЫ ФУРЬЕ 'ш("+ 2)' 2п ,1 ~( + ) т Мп.гй. ь!п(п+ — ) т — ! у(х+т) пг. 2п ь!и— — й 2 Исходя из этой формы записи частичной суммы, мы и сумеем доказать, что Яа(х) стремится к у(х), но для этого нам понадобится следующая лемма. Л е м м а. Если функция в (х) кусочно непрерывна в интервале а (х (д, то интеграл ! = ) 8(г) пЛ(!(1 (1) а стремится к нулю при безграничном возрастпн, Л. В ходе доказательства мы вправе считать в (х) непрерывной функцией во всем интервале, так как в противном случае можно провести все рассуждения для каждого частичного интервала, в котором з(х) непрерывна, раздельно.
Как и в аналогичном рассуждении (стр. 485 и след.), заметим, что прн положительном Л промежуток интегрирования можно разбить на частичные интервалы длины Ь=я/Л так, что в последовательных интервалах функция з!пЛС поочередно положительна и отрицательна. (Только частичные интервалы, прилегающие к границам и и д промежутка интегрирования, могут быть короче чем Ь = и/Л.) При достаточно больших значениях Л доли, вносимые в интеграл смежными частичными промежутками„почти взаимно компенсируются, потому что, в силу непрерывности в(х), значения этой функции в двух таких соседних промежутках мало отличаются друг от друга. Для того чтобы использовать это обстоятельство, преобразуем интеграл 1 заменой переменной 4 = т-+Ь, где И = и/Л; тогда Ж = Нт и з!пЛ( = — з!пЛт, и мы получим ь-и ь-и У = — ) в (т+ И) з!п Лт Нт = — ~ в (Г+ Ь) з!п Л1 И. (2) а-И а-И (Мы .заменили букву т, обозначающую переменную интегрирования, буквой 1.) Теперь мы оба выражения (1) и (2) для У сложим; в итоге получится й ь-и 21 = — ~ в(1+Ь) з!пЛ1п!1+ ~ (в(С) — в(1+ И)) з!ЯЛ(б1+ а-И й ь + ~ в(Г)з!пЛ1ей.
ь-и и ь з, доклзАтельство РАзложимости Функции в Ряд ФуРье бйб Обозначим через М какую-либо верхнюю грань для абсолютной величины з(х), так что во всем промежутке интегрирования ! з (х) ~ ( М; тогда из последнего выражения сразу вытекает следующее неравенство: Ь-А 2(1|~(2Мй+~ (з(() — з(1 — !-й))!й.
а Так вот, пусть задано любое положительное число е; если выбрать А столь большим, что во всем промежутке а~(Г~(б — л выражение ) з(1) — з(у+ й) ! остается меньшим, чем е/(д — а), и к тому же Мгь= Мп/А (е12, то будем иметь (!'(< е, а стало быть, поскольку з может быть выбрано сколь угодно малым, йш ! =О. А.ь~, Если предположить, что з(х) не только непрерывна, но имеет к тому же кусочно непрерывную производную а' (х), то доказательство этой леммы получается совсем просто с помощью интегрирования по частям.
Действительно, ь ь 1 о .(ьн.иа '.(а...ц —,ь)...,.ь,.) . ь)...„Ф~. =л~ а а а теперь сразу видно, что прн безграничном возрастании Х правая сторона стремится к нулю. Для доказательства основной теоремы нам понадобится еще интегральная формула 5!п(л + — ) г 2 * с!1 = —, 2 з!и— 2 справедливая при любом положительном целом л. Но эту формулу легко вывести с помощью той же формулы суммирования косинусов, которой мы уже раз пользовались в начале этого пункта.
Имеем 2ип 2 "" з!п(л+ — )! и I а=(~ — '«-~;ч ь~)а = о ! «-! Доказательство теоремы. Нашей целью является доказать, что з!и (и+ —,) ! Пш оа(х)=йщ — ~ г"(х+1) ! ь!(=у(х). а-Ььа 2н -ч з!и— 2 ГЛ. !Х. РЯДЫ ФУРЬЕ 626 Начнем с того, что разобьем промежуток интегрирования [ — и, и[ на две части: [ — и, 0[ и [О, и[. Построим вспомогательную функцию 5(!) = у (х + !) — у (х + 0) 2 5!П— 2 (О смысле символа Г(х+0) см. стр.
513.) Эта функция кусочно непрерывна в интервале 0~(Г~( и; это очевидно для полуоткрытого промежутка 0 ( г (и, а (правосторонняя) непрерывность 5(1) при Г = — 0 вьжекает из предположенного существования правосторонней производной У(х+Г) — У(х+0) 2 2 5!и —, 2 ~~~ ~~~ — ~~*~о> !.+ Фо 2 5!и— 2 Следовательно.
при безграничном возрастании Л = и+ 1/2 интеграл 1 Г, 1 ! — 5 (() ьч и И г(Г = — г (х + Г) — И вЂ” — г (х + 0) — Ж 5!и ЛС 1 5!и Л! о о мп— 2 о 5!П— 2 стремится к нулю. Следовательно, 5!пЛ5 . 1 53п ЛГ 2п,) 1пп — " у (х+ Г) — Ж = 1! ш — " у'(х+ 0) 2п 2 .-ь 5!П— 2 о 5!П— 2 Выше было доказано, что при Л =а+ 1,'2 5!и Л! и "=- ° 2' О 25!ив 2 Стало быть, 5!и Л! 1 Л.ь 1!ш — у(х+ Г) гй = — у (х+0).
2 о 5!и— 2 У (х + Г) — У (х + 0) !.+ Фо г+чо ~ У(х+0) . Г 5!пЛ! !Пп [ л+' о 25!и— 2 з! з з. доклзлтвльство клзложимости Функции в пяд егяьн 02т Тем же способом получим для интервала — и ( г ( 0 при Л = и+ 1/2 о 1 ~ . + зал Лт 1 -л з!и— 2 Складывая оба результата, имеем окончательно !!гп 5„(х) = 1пп — ] Г(х+г) — пч = з1п ЛГ 2п 3 5!и 2 = — ].Г(х — О) +у(х+ О)] = у (х). з!и х Формула (') дает возможность вычислить интеграл Дирихле ~ — Лх, х сходнмость которого была доказана на стр, 292 — 293. Положив в (') х = 0 и л юп— 2 Г з1п лг у(1)= —, получим 1ип ] — Ж= ну(+О).
Сделаем замену пере.] г о ли Г з!пи менсой ЛГ= и, Лг =-~-; тогда имеем Ию ] Ли=ну(+О), но здесь о СО з!и— 2 1 Гз!пи 'и У(+О) =У(0) = Ию = —. Следовательно, ~ — Ии = —. г+о т 2' ',) и 2' о 2. Неравенство Бесселя. Коэффициенты Фурье любой функции, кусочно. непрерывной в интервале — и (х (и, удовлетворяют следующему фундаментальному неравенству, называемому неравенством Бесселя: при всех значениях п и л 2 ~+~(4+0~)(-„' ~]Г(.)]'И .
а-1 — л Подчеркнззем, что здесь предположено только, что Г(х) кусочно непрерывна, и вовсе не требуется, чтобы Г(х) была кусочно гладкой. Доказательство неравенства Бесселя полу. чается из очевидного факта, что выражение л ] Г (х) — о л (х)]з г(х л з — — — ч.ь,~ А )] ~ ьо (А) -л ь а-! ГЛ. 1Х, РЯДЫ ФУРЬЕ 528 Для этого надо только раскрыть квадратные скобки под знаком интеграла и воспользоваться соотношениями ортогональности и формулами для коэффициентов Фурье. [Выполним эти вычисления: [У (х) — Ял (х)]1 «х = = )' [Г(х)]'«х — 2 ] У(х)5л(х)«х+ ] [8л(х)]'«х.
(В) Второй и третий интегралы в правой части можно выразить через коэффи- циенты а„и Ьл. Имеем: у(х) зл(х)«х= — ~ у(х) «х+ л и -';Х [" )га > ° ° с Л-~. ] Л ~л-.л ~- Д-1 [. л ал = ~' па,+и ~]~~ '[а„+Ь„), Д-1 и 12 "г [8л(х)]~ «х= ~ — ~+ ьч (ад совах+ад 21пах) ах= 2 л л Д-1 2 л л "о Г 4 ~ «х+ ~ ~ (а„соззах+Ьтдз1пз Ьх) «х. Интегралы от попарных произведений, полученные и развертывании квадрата суммы, обращаются в нуль в силу соотношений ортогональностн (стр. 247), и мы их не выписали. Оставшиеся интегралы соззах ах = ), '21плдх«х= яд Поэтому л л [~л (хН «с 2 + и Л~~~~ 1ал +Ьд) -л Д 1 Подставив полученные результаты в (В), имеем л [у (х) — Бл (х)]' «х = ~ [у (х)]' «х — — — и )~~~ [ад+Ьд). пае В силу (А) ьто выражение неотрвцательво, а отсвда сразу вытекает неравенство Бесселя.] 3.
Более подробное иселедованне характера сходнмости ряда Фурье. В окрестности тех точек, в которых функция у (х) имеет разрыв, ее ряд Фурье сходится неравномерно; действительно, согласно гл. ЧШ, Э 4, и' 3, равномерно сходящийся ряд непрерывных функций обладает непрерывной суммой. Однако существует следующая теорема: Если кусочно гладкая периодическая функция не имеет разрывов, то ее ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно. Если же кусочно гладкая функция имеет нонечные разрывы, то сходимость ее 'ряда Фурье равномерна во всяком замкнутом интервале, не содержащем точек разрыва функции.
Для доказательства этой теоремы мы воспользуемся неравенством Бесселя и, кроме того, еще одним простым алгебраическим неравен- ством 2(~ +к)' которое получается сразу иэ очевидного неравенства ([ р ] — [ у])г )~ О, А отсюда вытекает, что ~ аь [= —,[йаь[ ~ — 2'[ — „, +(йаь~~ 1 1 1 [д,] <ф~ —,', +(йд,)'1. (а) и аналогично Приступая теперь к доказательству теоремы, предположим сначала, что кусочно гладкая функция у (х) непрерывна. Ее производная л'(х) =у'(х) является кусочно непрерывной функцией, а коэффициенты Фурье для втой функции а'(х), сь (при косинусах) и бь (при синусах), выражаются так: сь = — [ д' (х) дх = — ~ Ут (х) бх = — [ Г (и) — ~ ( — и)] = О в силу непрерывности продолженной периодической функции у (х), имеющей период 2п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
