1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 96
Текст из файла (страница 96)
В=.!. — 2 . ь=-,',— и —— Таким образом, мы получаем рял (3), сходимость которого при ~ х ~ < 1 вытекает из признака Даламбера. По доказанному выше функция, выражаемая этим рядом, должна быть тождественна с соз(рагсз!пх). Совершенно аналогичным путем получим с помощью того же дифференциального уравнения (е) при других начальных условиях: у(0)=0 и у'(0)=ц — разложение (4) для функции и!п(рагсз!пх). Упражнения 1. Доказать, что степенной ряд для У1 — х еще сходится при х=1.
й Доказать, что для всякого положительного числа а существует многочлен от х, представляющий г'Т вЂ” х з промежутке О < х < 1 с ошибкой, меньшей по абсолютной величине чем е. 3. Доказать, что для всякого положительного е существует многочлеи от й представляющий ! Г ! в промежутке — 1 < Г < 1 с ошибкой, меньшей чем с. 4. Доказать сходнмость следующих бесконечных произведений: СО О а) Ц(1+( — ) 1; б) Я(,+ , 'в) И((! — — ) прн ! ~ <1. л-1 л-т и 1 11 Ь. Методами, данными в тексте, доказать, что И(1+ — ) расходится.
и) и ! 6. С помощью тождества Х вЂ”.-я~~ —,=И,), где ра есть Л-е простое число, показать, что число простых чисел бесконечно. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ УП! 7. Доказать тождество (1+х')= — при !х!<1. П 1 1 — х л-е СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧП! СО жч а 177. Доказать, что если сходится ряд ~Ч3~ ота, то сходится и рид 7~ л ° А Ф-1 Л-1 !78. Пусть ао а,, аз, ..., оз, ... есть монотонно возрастающая после- 1 довательиость с положительными членами. При каком условии'ряд — + а1 + — + + ...
сходится! 1 1 а,а, а,а,аз 179". Если ряд ~д~ аь с убывающими положительными членами сходится, Л-1 то !нп (ла„) = О. Доказать зту теорему. а-ьоэ и 180. Показать, что ряд у з!п — расходится. л Л-1 181". Доказать, что если ряд ~ч~', аз сходится, а ЬР Ьз, Ьз, ... есть огра- а ) ннчениая монотонная числовая последовательность, то и ряд ~ азЬл схо- З-1 дится.
182'. Доказать, что если ряд ~ ал колеблется между конечнымн Границами, а последовательность Ь1, Ьз, ..., Ь», ... монотонна и стремится к нУлю, то Рад ~Ч ', алЬА сходитсЯ. 183. Исследовать, сходятся нли расходятся следующие ряды: г) —; д) тй к; е) Д„ Х ° ' Х ". ' Х з1ц ьО ч.ч ( — 1) соз ЬО . жч ( — 1) з1п ЬО !84, Найти суммы следующих рядов, полученных изменением порядка членов ряда 1 — 1/2+1/3 — 1/4+1/5 — 1/6+ ... для 1п2: 1 1 1 1 1 1 1 1 а) 1 к + — —.— — + 4 3 6 8 5 10 12 — + 1 1 1 1 1 б)1+ †+ †††-- — — +++ 3 5 2 4 6 ГЛ. РН!.
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ 185. При каких значениях и сходятся следующие ряды.' 1 1 1 1 1 2а 3 4а 5 ба 1 1 1 1 1 3а 2а 5а 7а 4а 186. Выяснить, сходятся или расходятся следующие ряды: 1 1 1 1 1 1 1 1 +2 3 4+5 6+7 8 9+ 1 2 1 1 2 1 1 2 б) 1+ — — — + — + — — — + — + — — — ++ — '... 2 3 4 5 6 7 8 9 187.
Показать, что: сходится; чьч 1 !88'. Методом сравнения с рядом ~ — доказать следующий признак .йл йа »-1 абсолютной сходимости !п( — ) 1 Вели при всех достаточно болыиих значениях л " > 1+ е 1пл !п( — ) (е > О), то ряд че', л» сходится абсолютно; если " < 1 — е (е > О) !ил ири всех достаточно больших л, то ряд ~', и» не может сходиться абсолютно. ! 1» 189. Покааать, что ряд У. 1! — — 7! сходится.
р») 1 190. Методом сравнения с рядом ~ — доказать следующий при» (!н»й)а знак сходимости: Ряд ~ )а»! скодится или расходится, смотря по тому, становится ли отношение '"(.!.Л !п !йл %ч А! а) ряд ~ —. сходится; лта (2») ! »-1 Х !и (й + 1) — !и А б) ряд в) ряд 1 ° 2 ° 3...(й »-1 если а(П вЂ” 1)» сходится, если а > 1, и расходится, СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧП! 495 при всех достаточно больших значениях л больше, чем 1 + е, или меньше, чем 1 — е (е> 0). 191. Из признака сходимости, данного в упр.
188, вывести признак сходимости Коши с корнем л-й степени. 192*. Доказать следующий признак сходимости, пользуясь сравнением рядов: 1) Если ряд ~я~~~ Ьа с положительными членами скодится и, начиная с некоторого номера, всегда ~ ли+1 ~ бк-ь1 то ряд ~ч~', аа абсолютно сходится. 2) Если ряд ~Ч~', Ь» (с положительными членами) расходится и начиная с некоторого номера, всегда то ряд ~Ч ', ал не может сходиться абсолютно.
199. Вывести признак сходимости Даламбера путем сравнения с геометрическим радам. чеч 1 194'. Путем сравнения с рядом у — доказать признак сходимости лУ4 Ак А-1 Раабе: Ряд ~я~~ !аа! сходится, если выражение "1(!:;~ -') становится больше, чем 1+в, и расходится, если зто выражение становится меньше, чем 1 — е (е > О), при всех лостаточно больших л. 195. Методом сравнения с рядом 1 1 доказать следующий ирна (!и л)а знак сходимости: Ряд ~'~, !аа! сходится, если выражение становится больше, чем 1+е, и расходится, если вто выражение становится меньше, чем 1 — е (е > 0), при всех достаточно больших и. 196. Доказать признак сходимости Гаусса: Если ~ — '" ~= +-'+ '„"„ где ! Ьк ( ограничен и е > О, то ряд т' ) ал ! сходится, если р > 1, и расходится, если р <1.
197. Исследовать на сходимость или расходимость следующие ряды: а+ а(а+1) а(а-(-1) (а+2) -'т Р ()(()+1) 9(9+1) а+2) + "' а 9 а(а+1) ()(9+1) а(а+!)(а+2).()(8+!)(9+2) 1 у 1 2 ° у (у+ 1) 1 2 3. у (у+ 1) (у+ 2) Гл. чги. весконвчиив Ряды %ч 1 198. а) Показать, что ряд ~„— „„сходится равномерно при х> 1+а Ф-1 (з > 0).
'ьч !и» б) Показать, что ряд производных — т — сходится равномерно при »-1 х > 1+а (е > О). %ч соз»х 199'. Показать, что ряд ~ — (а > 0) сходится равномерно на отака»а »-1 резке е <х <2н — е. ЖЮ. Ряд .+++ ( + )+8(.+ )+ " сходится равномерно на отрезке с < х < АГ. 2()1. Йайти области сходимости следующих рядов: 202'.
Доказать, что если ряд У. †" сходится при х = хо, то он сходится .ы н" при всяком х > х если он расходитсн при х =х, то он расходится при всяком х < х,. Таким образом, существует такой «рубеж сходнмости» с, что при всяком значении х > с ряд сходится, а при всяком значении х < с ряд расходится. Ъч а» %ч а»!и» 203. Если ряд г — сходится при х=х, то ряд — 1 ,нм «к — о Ла , полученный из него почленным дифференцированием, сходится при всяком х>хо 204. Если а» > 0 н ряд ~ а» сходится, то !!гн ~р~ а»х» = ~ а». к-»1-о 205.
Если а» > О и ряд »', а» расходится, то Ищ ~ а»х» = оз. «.+ !ео 206", Доказать теорему Абеля: Если ряд ~~ а»х» сходится при х = Х, то он сходится равномерно на отрезке 0 < х < Х. 207*. Если ряд ~и~~ а»Х" сходится, то !йп ~~э', а»х» = ~ч~', а»Х». .+х — о 208. Найти рациональные функции, представленные следующими радами Тэйлора: а) х+к' — х' — х'+хо+ха — — ++ ...; б) 1 + 2х — 4х» — бх' + 7к» + 8к' — — + + ...
209. Показать, что: 1 2 3 а) — + — + —,+ ... =1; 2! 3! 4! 1131357! 2+2 ° 4 6+2 ° 4 6 8 10+"'' 2 СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ УН! 210. Пусть а =ге!О =г(соя О+!а!пО). Исходя из разложения 1 =.=Х" З О показать, что — О =УгасозАО 1 — 2» соз О+г' .Йе1 «-О гз!ОО 1 — 2г соз О+ гз З О ГЛАВА 1Х РЯДЫ ФУРЬЕ Наряду со степенными рядами особенно важную роль как в чисто математических дисциплинах, так и в приложениях играет другой класс бесконечных рядов, а именно так называемые ряды Фурье, членами которых являются тригонометрические функции, а сумма ряда представляет периодическую функцию, 5 1.
Периодические функции 1. Общие замечания. Во многих приложениях мы встречаемся с периодическими функциями времени, т. е. такими функциями, ход изменения которых закономерно повторяется через определенные промежутки времени. У большинства машин периодические явления обусловливакггся ритмом вращения махового колеса; примером может служить переменный ток от динамо-машины. Периодические функции встречаются во всех колебательных процессах. Периодическая функция с периодом 21 характеризуется следующим равенством, имеющим место при всех значениях х: У(х+21) =у (х); число 21(1чь 0) называется периодом функции. Для представления периодических функций часто бывает удобно изображать независимую переменную х не в виде точки на числовой прямой, а в виде точки на окружности. Если функция У(х) имеет, скажем, период 2п, т. е.
если для каждого значения х имеет место равенство У (х + 2п) = У (х), и если рассматривать х как центральный угол в круге радиуса 1, отсчитываемый от некоторого начального неподвижного радиуса, то периодичность функции у(х) выражается просто в том, что каждой точке окружности соответствует одно и только одно значение функции (напрнмер, в машине явление однозначно определяется положением махового колеса).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
