1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 93
Текст из файла (страница 93)
«-о абсолютно сходится и его сумма равна АВ. (Каждое выражение, заключенное в скобки, рассматривается как. один член.! Одновременно с данными рядами рассмотрим соответствующие им ряды из абсолютных величин их членов: ~ ! а» ! = А и ~~~~ ! Ь» ! = В. Введем обозначения для частичных сумм всех четырех рядов: А, = ~'.! а», »-а А.= Х !а»! В.=х !Ь»! .х~а а Ь» = аебо+ аеЬ» + аА+ поЬг+ аА.+аэбо+ ° ° ., (1) и ряд, составленный из абсолютных величин этого последнего ряда: Х ! а~ 1! Ь» ! = ! по !! Ьо !+ ! па!! Ь~ !+ ! пг !! Ьо !-+ ! пв ~! Ьа !-+ +!а,!!Ь, !+! аа!!Ье!+... (2) Членами ряда (1) являются произведения каждого из членов ряда А на каждый член ряда В.
Эти произведения расположены в таком порядке: на первом месте стоит аеЬе, затем произведения, в которых сумма индексов сомножителей равна 1, далее все произведения, для которых 1+Ь=2, затем с суммой 3 и т. д. Все произведения с данной суммой индексов, скажем 1 + Й = р: пеЬ»+пМ»- +л»Ь»- + . +п,-Л+п»Ьэ расставлены в порядке возрастания индексов при а. Для доказательства теоремы рассмотрим ряд, который получается. из ряда .~~ ~с», если' опустить в нем все скобки: »-о ГЛ.
ЧШ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ 476 Для наглядности выпишем в развернутом л л ных сУмм Ал = ~.", а1 и В, = ~ Ьл обоих 1-1 Ь-1 А В =пзЬо+а1Ьз+'ьзЬР+ ° +- азЬ1 -~- а1Ь1+- азЬ1+ . + азЬт+- а1Ьз+ взЬт+ . виде произведение частич- данных рядов: .. +ДРЬз+ + алЬ, + +аебл+а,Ьл+агЬл+... +нлЬ . Группы членов ряда с суммой индексов 1+Ь= 1, 2, 3, ... расположены по прямым, параллельным диагонали квадрата втой таблицы. Аналогичную формулу-таблицу можно написать для произведения А,В„ ряда абсолютных величин (2). Возьмем теперь частичную сумму 8 ряда абсолютных величин (2), и пусть последний член втой суммы (член с номером и) нахОдится в группе членов с суммой индексов 1+Ь=и, Из формулы-таблицы (точнее, из соответствующей таблицы для абсолютных величин) ясно, что аеЬ,+(А,В,— аеЬе)+(А,В,— А,В )+...+(А„„— А„,В„1)+...; его частичные суммы образуют последовательность азЬо А1В1 Аздя ° А,В, ° °" В <А„В„< АВ, и, стало быть, частичные суммы В ряда (2) абсолютных величин ограничены; следовательно, ряд (2) сходится и ряд (1) сходится абсолютно.
Для того чтобы найти сумму ряда (1), воспользуемся тем, что его члены можно расположить в любом порядке и какие угодно группы членов можно заключить в скобки (переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов и сочетательное свойство любых сходящихся рядов, стр. 434 — 437). Расположим члены ряда (1) не по диагоналям написанной выше таблицы, а следующим образом: оставим на первом месте член азЬз, в качестве второго члена напишем сумму (аеЬ1+а1Ь1+а1Ье), что вместе с азЬз дает частичную сумму (аз+а1))( Р', (Ьз+Ь,) = А,В,;, в качестве третьего члена напишем (азЬз+а1Ьз+ + аяЬз+ азЬ1+ азбе), что в сУмме с пеРвыми двУмЯ членами дает АзВт; затем объединим 7 членов вида а1ЬЕ в один (четвертый) член, что в сумме с предыдущими дает А,Вз, и т. д. Весь ряд примет следующий вид: ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ Нп! атт предел которой АВ и есть сумма как преобразованного ряда, так и ряда (1). Ряд ~~.", с« получается из абсолютно схолящегося ряда (1) заклю«-! чением' в скобки групп соседних членов, стало быть, он тоже абсолютно сходится и имеет ту же сумму АВ.
Наше утверждение доказано. 2. Умножение и деление степенных рядов. Главное применение эта теорема находит в теории степенных рядов. Из нее непосредственно следует, что произведение двух степенных рядов ~~Р~ а х» и ~ Ь«х" »-о »-о выражается в общей части интервала сходимости этих рядов в виде ОЭ степенного ряда ~~'„, с«х», коэффициенты которого даются формулой «-о с» — — аоЬ«+ а,Ь«,.+... +а»Ьо. Что касается деления степенных рядов, то частное двух данных выше рядов также можно представить в виде степенного ряда ~~'.~ Ч«х", если «-о только постоянный член Ьо делителя не равен нулю. (В противном случае такое выражение, вообще говоря, невозможно, потому что при х = О, благодаря обращению делителя в нуль, ряд не мог бы сходиться; между тем, с другой стороны, всякий ряд, расположенный по степеням х, должен сходиться при х = О.) Коэффициенты степенного ряда можно последовательно определить, если заметить, что непременно ~~'.~ Ч«х» ° .~Л„ Ь»х" = ~'„, а«х», »-о «-о «-о откуда вытекают следующие равенства: аз=Что, а! = ЧоЬ!+ ЧгЬо ао = Ч»Ьг + Ч Ь ! + ЧоЬо а»=ЧоЬ«+ЧгЬ«г+ +Ч»Ьо Из пеРвого УРавнениЯ полУчаем Чо, из втоРого УРавнениЯ находим Ч,, из тРетьего, пользУЯсь найденными значениами, находим Чо и т.
д. Для того чтобы строго обосновать возможность выражения частного ГЛ. ЧШ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ двух степенных рядов в виде' третьего степенного ряда, требуется еще исследовать, сходится ли полученный формально степенной ряд ~ч", д«х« н в каком промежутке он сходится. Это общее иссле«-о дование, результаты которого дальше не используются, мы опустим и только сообщим факт, что ряд действительно сходится, если только х изменяется в достаточно малом интервале, в котором делитель не обращается в нуль, и как делимое, так и делитель являются сходящимися рядами. 3. Числа Бернулли и их производящая функция. Простейший пример деления на степенной ряд представляет важная сама по себе х задача о разложении функции — в степенной ряд вида е» вЂ” 1 х «-о 1Коэффнциенты искомого ряда обозначены не просто через В«, а через в, —, так как при таком обозначении их вычисление получается «1 ' проще и изящнее.) Имеем равенство справедливое при достаточно малом (х!.
и для определения коэффи- циентов В„получаются последовательно уравнения: В =1, — В+ — ° — =О, в, 2! а 1! 1! и вообще при всяком А)~ 1 тсобираем коэффициенты при х«) В, 1 В 1 В 1«+1)~ о «~ 11 1«1)~ В+ — — + — + ...-+ — — =О. Помножив это уравнение на (п+1)1, получим ( + )В,+( )В,+( )Ва+...+( )В,=О.
Это — рекурренглная формула, дающая возможность вычислить В« когда все предшествующие коэффициенты уже вычислены. л Коэффициенты В называются числами Бернулли, а функция разложение которой в степенной ряд имеет своими коэффициентами эти числа, называется производящей функцией чисел Бернулли. Числа Бернулли рациональны, так как закон их образования содержит только рациональные действия. ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ ЬЧП 479 Подставляя в рекуррентную формулу последовательно й= 1, 2, 3, 4, ... н Ве=1, получим: 1+2В,=О, 1+ЗВ,+ЗВ,=О, 1+ 4В, +6В,+. 4Вз = О, 1+ ЗВ~+ !ОВ + 10Вз+ЗВч — — О, Из этих уравнений находим первые десять чисел Бернулли: Ве = 1, В, = — 1/2, В2 = 1/6, Вз = О, В» = — 1/ЗО, Вз = О, Вз — — 1/42, В2 = О, Вз = — 1/30.
В» = О, Вю = 5/66 .. Естественно, возникает предположение, что все числа Бернулли с нечетным индексом, кроме В, = — 1/2, равны нулю. Докажем, что это действительно так. Для этого в определяющем равенстве =1+В,х+ )~~ — ", х» » 2 1 перенесем член В,х = — — х в левую сторону: — + — =1+ т — х. х х %т В» * е« вЂ” 1 2»! » 2 .цию, стоящую слева, можно преобразовать так: х х х е«+1 х е«72+» «72 х х — + — — — — ~!и —, »« — 1 2 2 е« вЂ” 1 2 е«72 — е «~2 2 2 а это — функция четная. Следовательно (см.
упр. 33, стр. 471), ее разложение в ряд по степеням х может содержать лишь четные степени х, откуда и вытекает, что все числа Бернулли с нечетным индексом, кроме В,, равны нулю. Вместе с тем в процессе доказах х тельства получено разложение функции — с!й — в степенной ряд: 2 2 «-о В Дополнениях к гл. 1Х, $ 1, и'2, будет показано, что это разлох жение, а также разложение в ряд функции ! имеют место в промежутке — 2п<х < 2П. Гл. чш. БескОнечные Ряды 4.
Степенные ряды для гиперболического н трнгонометрмческого тангенса. До сик пор не были даны разложения в степенной ряд для некоторых элементарных функций, например для 1Их н 1д х. Дело в том. что закон следования коэффициентов этих рядов совсем не простой, Теперь мы уже можем выразить эти коэффнцненты через числа Бернулли. Начнем с того, что подставим х = 2а в ряд х х для — сй —.
Тогда получится разложение 2 2' жч 22»В ес1ИЕ=»г '» Яг» (2»)! «-е справедливое, очевидно, при ) х ~ < и. Подставляя в эту формулу а =1х, так что зей Е=1хей|х=хс1дх, получим О2 хс1йх=~( — 1)» — '» хг", ) х) <и. (2»)1 »-г Нз ряда для гс1ИЕ можно вывести степенной ряд для 1Иг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
