1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 88
Текст из файла (страница 88)
/ / также гл. 1, й 8, и 2, стр. 5). / Пример 2. В предыдущих / двух примерак неравномер- / ность скодимости была связана / / с тем, что пй!гедельная фуннция / прерывна. егко, однако, построить и такую последова- ст тельность непрерывных фуик- .а. цвй, которая сходится к непрерывной же предельной фуни- Рис. 1!7. цви, но слолимость эта неравномерная. Возьмем интервал О < х ( 1 и определим прн и > 2 такую последова. тельность функцвй: /л (х) = хлк при О(х< —, 1 /2 ! г 1 2 Ул (х) = ! — — х) л при — (х ( —, л л' /л (х) = О прн — (х <1, 2 причем а есть положительное число, которое находится пока в нашем рас. поражении, но которое выбираем постоянным для всех функций нашей последовательности.
Геометрически наши функции изображаются в виде ломаной, состоящей иа двух прямолинейнык отрезнов, симметричных относительно прямой х=1/л и расположенныл над осью абсцисс от х=О до х= 2/н, и отрезка самой оси х от х = 2/л до х = 1 (рис, 117). Если а < 1, то высота построенного треугольника, которая вообще а-! равна л , с возрастанием л стремится к нулю; кривые равномерно стремятся к оси х, а функции равномерно стремятся к нулю. 29 Р.
Ктрллт 450 ГЛ, ЩН. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ Если а= 1, то зубец прн любом и будет иметь высоту, равную единице. Если а > 1, то высота зубца с возрастанием и будет неограниченно возрастать. [Между тем основание зубца стремится к нулю при п -ьоэ.[ Но, как бы мы нн выбрали а, последовательность функций ул(х) всегда будет стремиться к предельной функцип у (х) = О.
В самом деле, для любого положительного значения х нашего интервала прн достаточно большом значении и 2/л < х, так что точка х окажется вне основания треугольника и ул(х) = 0; при х = 0 все функции Ул (х) равны нулю, так что нх предел У (0) = 1йн ул(0) = 0; следовательно, при всех значениях х имеем 1йп ул(х) = О. Но при а )~ ! сходимость, безусловно, неравномерна, так как уже невозможно выбрать столь большое и, чтобы абсолютное значение разности [ у (х) †(х)1 = [ ул (х)[ было, скажем, меньше 1/2 одновременно ео всем интервале. П р и м е р 3.
Аналогичный характер обнаруживает и последовательность функций Ел («) = хпае В отличие от предыдущего примера каждая функция последовательности задана единым зналитическим вмражением (рнс. 118). И здесь, при любом положительном значении х, йшул(х)=0, так как при возрастании и порядок л.зло малостн показательной функции е "" выше порядка малости любой степени числа 1/и (стр. 222).
При х=О всегда у„(0) = О, и, таким образом, во всем интервале 0(х (а, где а — любое положительное число, У(х) = 1йп Ул(х) =О. л-+со л-У е х' х' х' е(х) «+1 [ ха+(1 [ «з)з+(1 [ хл)з+ хт При х=О каждая частичная сумма Ул(х) =х'+ ... + =О, л = ' " (1) л)л~ следовательно, и у (0) =О. При х+О мы имеем просто геометрический ряд Но и здесь при а ) 1 сходнмость последовательности к предельной функции неравномерна.
В самом деле, в точке х = 1/и [точка максимума для ст и з. Ф) нкции Ул (х)1 Ул(1/и) =па ~/е, Рис. Н8, и мы видим, что при а)~1 лю- бая кривая у = ул (х), каким бы большим ни выбрать п, будет содержать точки (именно точку х = 1,'и,' изменяющуюся вместе с п, и соседние точке), в которых уз (х) — г (х) = ел (х)н ) 1с2е. Пример 4. Понятии равномерной и неравномерной сходимости переносятся, разумеется, и на бесконечнме ряды. Ряд 8~ (х)+ел(х)+ .. называется равномерно сходящимся или же неравномерно сходящимся, смотря по характеру сходимости последовательности его частичных сумм ул(х). Очень простой пример неравномерно скодящегося ряда представляет ряд 21 2 4. РАВНОМЕРНАЯ И НЕРАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 451 1 с положительным знаменателем 1, < 1.
Следовательно, его можно про- 1+ х' суммировать по элементарному правилу, и при хфО сумма рида х' у(х) = 1 = 1 +х'. 1 —— ] +ха Предельная функция У (х) имеет повсюду, кроме х = О, выражение у(х) = 1+х', а у(0) = 0; ей, таким образом, как бы искусственно в точке х =0 навязан разрыв. И здесь мы в каждом интервале, содержащем точку х=О, имеем дело с неравномерной скодимостью.
Разность У(х) — ул(х)=гл(х) при х=О равна нулю при любом и; между тем при всяком другом значении х зта Я' разность 1 ()— Если потребовать, чтобы зто выражение было, скажем, меньше 1/2, то при всяком выбранном значении х мы можем всегда етого достигнуть, выбирая достзточно большое значение для л. Однако при любом фиксированном значении л можно всегда указать такие близкие к нулю значения х = $, при которыя гл К) > 1/2; таким образом, невозможно равномерно достигнуть указанной степени приближения. Наглядно все это и здесь стзновится ясно при рассмотрении последовзтельности графиков функций У„(х) (рис.
119). Эти кри- х вые при достаточно большом значении л, Рис. 119. за исключением непосредственной окрестности точки х = О, все теснее примыкают к параболе у = 1 +хг; ио в окрестности точки х = 0 все эти кривые протягивают все более и более суживающиеся хоботообразные отростки к началу координат, и зтн отростки яри неограниченном возрастании и все более стягиваются к отрезку оси у, так что в качестве предельной кривой получаем параболу вместе с прямолинейным отрезком оси у от у = 0 до у = 1.
В качестве дальнейшего примера неравномерной скодимости приведем ряд ~ч~ кь(х), где еь(х) =1 и «А(х) =х — хь 1 при я ~1 в интервале А-О 0<х (1; частичные суммы етого ряда образуют рассмотренную выше, в примере 1, последовательность функций хз. 2. Критерий равномерной сдоднмости. Изложенные выше соображения обнаруживают, что рзвномерность скодимости в некотором интервале являешься особым свойством, которым обладает не всякая последовательность функций н не всякий бесконечный ряд функций. Формулируем еще раз понятие равномерной скодимости, сначала в общих чертах: гл. уп!.
ьвсконечныс Ряды 452 Сходяшийся ряд дь(х)+кг(х)+ ... называется равномерно сходящимся в некотором аамкнутом интервале, если можно вычислить его сумму у(х) с точностью до любого сколь угодно малого положительного числа е, пользуясь достаточно большим числом членов, одним и тем же для всего интервала; ниже зто определение будет уточнено. Мы предполагаем, что ряд я!(х)+дг(х)+ ... сходится в каждой точке указанного интервала а(х(д к предельной функции (его сумме) )'(х); обозначим через у'„(х) и-ю частичную сумму ряда: Ув(х)=К!(х)+ба(х)+ . +К„(х), а через Й„(х) — остаток ряда после его п первых членов: й„(х)=у(х) — у'„(х), Ряд я!(х)+дг(х).+ ... называется равномерно сходящимся в замкнутом интервале. если для любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа е можно указать такое число Ж, зависящее только от е, но не зависящее от х, что при всяком и ) М выполняется неравенсглво ] Й„(х) ]= =]У(х) Уг(х)](г сразу для всех точек х упомянутого интервала.
Говоря более образно, частичная сумма у,(х) аппроксимирует сумму ряда у'(х) с ошибкой, меньшей г по абсолютной величине, одновременно во всех точках интервала, если ~олько и выбрано достаточно большим. Сразу устанавливаем критерий Коши: ряд сходится равномерно в том и только в том случае, если ] У,„(х)— — г„(х)] может быть сделана меньше любого положительного числа е сразу во всем интервале а(х (д — стоит лишь выбрать индексы и и т больше некоторого числа М, не зависящего от х. Действительно, во-первых, если сходимость равномерна, то можно сделать ] г" (х) — г (х) ] и ] /„(х) — / (х) ] каждую порознь меньше, чем г~2, выбрав т и п больше, чем некоторое число Ж, не зависящее от х, и тогда ] у,„(х) — у„ (х)] = ][у' (х) — г"(х)] — (г"„(х) — у (х)]] ( е.
Во-вторых, если ]у'„,(х) — Г„(х)] ( е при всех значениях х, коль скоро т и и больше, чем М, то, выбрав какое-либо фиксированное вначение т ) М и заставляя и безгранично возрастать, получим ] Л„(х) — г"(х)] = !!ш'] у,„(х) — у'„(х)] ( е при всех значениях х, так что сходимость равномерна. Если нас интересует равномерная сходимость не ряда, а последовательности функций, то в данное выше определение придется внести лишь небольшое изменение. Последовательность функций з!(х), уг(х), ... называется равномерно сходящейся к предельной функции г(х) в интервале а(х(д, если ~у(х) — у'„(х)] 'можно сделать меньше любого числа е ) О, сразу во всем иктервале, выбрав и больше некоторого числа !У, не завислщего от х.
Я1 э 4. РАВНОМЕРНАЯ И НЕРАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 453 И далее. как и выше, критерий сходимости Коши: необходимым и достаточным условием равномерной сходимости последовательности у'„(х) е интервале а (х (Ь является возможность сделать 1у" (х) — ул(х) ( ( е сразу для всего замкнутого интервала только лишь тем, что индексы т и и будут взяты больше некоторого числа 1ч', зависящего от е, но не зависящего от х, Мы вскоре увидим, что именно зто свойство равномерной сходимости делает бесконечные ряды и последовательности удобным и полезным орудием анализа. К счастью, в предельных процессах, обычно встречающихся в анализе и его приложениях, неравномерная сходимость является чем-то вроде исключительного явления, которое редко выаывает затруднения при пользовании методами анализа.
Обычно равномерность сходимости ряда доказывается с помощью следующего критерии: если члены ряда ~ д» (х) удовлетворяют »-1 условиям ! д» (х) ~ ( а„, где ໠— положительные постоянные, образующие сходящийся ряд ~ аь, то ряд ~~ К (х) сходится равно- Ь-1 »-1 мерно (ааметим кстати, и абсолютно). В самом деле. ! ~~~~ я» (х) ( ~ ~ К» (х) ~ ( ~ а»; » л »-л » л отсюда непосредственно вытекает наше утверждение, так как, согласно критерию сходимости Коши. последнюю сумму можно сделать сколь угодно малой, а зто выражает необходимое и достаточное условие равномерной сходимости, Примером может служить геометрический ряд 1+ х + х'+ ..., если ограинчитьса кнтервалом ) х ~ (о, где о — произвольное положительное число, меньшее единицы.
В этом случае члены ряда по абсолютной величине не превышают членов сходящегося геометрического ряда ~ о». Дальнейший пример представляет »тригонометрический ряд» С, ып (х — Ь!) Сь з1п (х — Ь!) С! з!и (х — Ь!) 1' 2» Ь» в котором 1 С»1с С, где С вЂ” положительная постоянная, не зависящая от л. Сл з!и (х — Ьл) С В данном случае йл(х)= ", ", так что ~дл(х)~( —; отсюда, %ч С в силу сходнмостн ряда г —, следует равномерная н абсолютная сходц.уг и' л 1 масть нашего тригонометрического ряда з любом интервале. Гл. чн>.
Бесконечные Ряды 3. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Значение равномерной сходимостн бесконечных рядов заключается прежде всего в том, что равномерно сходящийся ряд во многих отношениях ведет себя совершенно таким же образом, как сумма конечного числа функций. Так, например, сумма конечного числа непрерывных функций непрерывна, и, соответственно, справедлива теорема: равномерно сходящийся в замкнутом интервале ряд, члены которого являются непрерывными функ- Киями, представляет функцию, непрерывную в этом интервале [т.
е, имеет в этом интервале непрерывную сумму]. Доказательство очень простое. Представляем ряд > (х) =к>(х)+ +й>(х)+ ... как сумму п-й частичной суммы >„(х) и «остатка» )те(х). При этом У„(х)=д>(х)-+ ... +д„(х). Если задано произвольно малое положительное число е, то, в силу равномерной сходимости ряда, можно выбрать число и настолько большим, чтобы остаток по абсолютной величине был меньше е>4 во всем интервале, и потому непременно будет иметь место неравенство ! й„(х + й) — й„(х) ) < е(2, где х и х-+/г — произвольные значения из нашего интервала. Частичная сумма Г"„(х) состоит нз конечного числа непрерывных слагаемых и поэтому непрерывна; следовательно, для всякой точки х интервала можно выбрать столь малое положительное Ь, что ! У» (х + й) — >г„(х) ! < е>>2, если ! й ~ ( Ь н значения х и х+й лежат в нашем интервале; тогда / у (х + й) — г' (х) ! =- ~ г«(х + й) — ф„(х) + й>„(х + й) — >с„(х) !- ( ! > „(х + й) — > „(х) / + / >с, (х + й) — )те (х) / < е, а это соотношение и выражает непрерывность функции г'(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
