1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 87

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 87)

Итак. мы рассмотрим теперь е общем виде ряд а 1 (л) + з 3 (л) + з 3 (л) + ' ' ' в которои й'„(х) представляет функцию, определенную в интервале а (х (Ь. Обозначим п-ю частичную сумму и!(х) +... +да(л) !г ГЛ. ШП. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ этого ряда через у„(х). Сумма у(х) нашего ряда есть не что иное, как предел Иа у,(х), если только этот предел существует. Следовательно, сумму бесконечного ряда функций можно рассматривать как предел последовательности функций у,(х), уг(х), Уз(х) ° Уэ(х) ... и, обРатно, для каждой такой последовательности функций у„(х) можно построить эквивалентный еи ряд, полагая д„(х) = у„(х) — уь а (х) (при и ) 1) и д, (х) = Л (х). Поэтому мы имеем право заменять рассмотрение бесконечных рядов рассмотрением последовательностей функций и обратно, смотря по тому, как нам удобнее. 2.

Предельные переходы для функций и для кривых. Теперь мы точно сформулируем, каков смысл утверждения, что функция у (х) представляет в определенном интервале предельную функцию для последовательности функций /,(х), уг(х), ..., у„(х). Вот это определение: последовательность функций Л(х), У,(х).. сходится к 'предельной функции У(х) в данном интервале, если в каждой точке х этого интервала значение У„(х) стремится к значению у'(х) в обычном смысле. В эйгом случае мы пишем Иа г„(х)= г(х) или г„(х)-ьг (х). На основании общего крител-ьсо рия сходимости Коши (см.

гл. 1, Э 6) сходимость последовательности функций можно также охарактеризовать, совершенно не зная заранее и даже не упоминая о предельной функции у'(х). Именно, наша последовательность функций сходится к некоторой предельной функции у(х) в том и только в том случае, если в каждой точке х нашего интервала величина !у'„(х) — У'„(х) ~ становится меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа е, как толрко мы возьмем числа т я п достаточно большими, т. е. ббльшими, чем некоторое число ДГ=Ж(е, х). Это число М(е, х), вообще говоря, зависит от е и от х и при неограниченном убывании е неограниченно возрастает.

С примерами такого рода пределов последовательностей функций мы встречались неоднократно. Напомним только определение степени х для иррационального значения а с помощью равенства х'= Иа х'ч, сс Фсс где г,, гг, ..., г„.... есть последовательность рациональных чисел, стремящихся к пределу а, или равенство вл= Иа (1+ )', Л.+сю где функциями у„(х) справа являются целые рациональные функции степени и. 2! а 3. пОследОВАтельности Функ![НИ и Ряды ФунКЦий лчу Изображение функций с помощью кривых, естественно, приводит к тому, что говорят также о предельной кривой длп лоследоаангельности кривых. Можно сказать, что графики предельных функций хи и е" являются предельными кривыми для последовательностей хта графиков функций ха и (1+ — ] .

Однако между предельным пере- л] холом для функций и лля кривых имеется тонкое различие, на которое до середины Х1Х столетия не обращали достаточного внимания. Но только ясное понимание этого различия позволяет нам избежать некоторых кажущихся парадоксов. Рассмотрим в начестве примера функции ув(х) =х" (и=1, 2, ...) в промежутке 0<х-С1. Все эти функции непрерывны, и существует предельная функцзя йш У„(х)=У(х). Однако зта предельная фуннция уже не является непрерывной. В самом деле, У(1) =1, так как при любом значениин значение ун(1) =1; между тем при всяком х, 0 <х < 1, как мы внделн (см. гл. 1, 6 5, из 6, стр. 51 — 52), у(х)=!пп уя (х) =О.

Следовательно, пре- л ьсо дельная функция у(х) предетавляет в нашем промежутке прерывную функцию, имеющую повсюду значение 0 н только при х = 1 значение 1. Эта прерывность функции стзновнтся наглядной, если рассмотрим графики Сз функций у = уз (х). Это непрерывные кривые (см. рис, 16 на стр. 52), которые йроходят через начало ноор- динат и через точку (1; 1) и которые тем ближе примыкают н оси х, чем больше л.

Этн кривые стремятся к предельной кривой С, ноторая вовсе не будет прерывной. Она состоит (рис. 115) из отрезка оси х от х=0 до х=-1 и перпендикулярного к нему отрезка прямой х= 1 от у=0 до у 1, Йтак, кривые сходятся к непрерывной предельной нрнвой, содержащей отрезок, перпендикулярный к оси х, функции же сходятся н нрерыеной предельной функции. Таним образом, мы видим, «2 что прерывность предельной функции геометрически выражается в том, что предельная кривая содержит отрезок, Рнс. 1!5. перпендикулярный к оси абсцисс. Такой отрезок непременно должен означать прерывность предельной функции, и, действительно, такой вертинальный отрезан всегда присутствует, когда предельнак функция прерывна.

Эта предельная кривая не является графиком предельной функции, н вообще криван, содержащая вертикальный отрезок прямой, не может быть графиком однозначной функции у У (х). потому что для того значения х,,которое соответствует вертикальному отрезну, кривая дает беснонечное множество значений у, а функпня — только одно. Стало быть, предел последовательности графиков функций ун(х) не то «ке самое, что графин предельной фуннции у(х).

То, что мы говорили о последовательностях функций, относитса, ра- зумеется, н к бесконечным рядам функций (см. и'1). ГЛ. ЬЧН. ВЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ 448 $ 4. Равномерная н неравномермая сходимость 1. Общие соображения и примеры. Различие между понятиями сходимости последовательности функций и последовательности кривых приводит к явлению, которое необходимо уяснить себе при изучении сходимости. Это в явление неравномерной сходимости последовательностей функций или бесконечных рядов функций, Так как этот пункт обычно доставляет начинающим затруднения, то мы остановимся на нем несколько подробнее.

Что функция у(х) является пределом последовательности функций )',(х) в интервале а ( х ( д, согласно определению означает лишь, что соотношение Г(х) = !!ш г„(х) имеет место в каждой точке х интервала. С наивной точки зрения можно было ожидать, что нз этого понятия сходимости автоматически вытекает следующий факт: если задана произвольная степень р ,, „точности, например с= 1(!000 и.чи е = — 1/100, то,начиная с не, Р=,~ТХ1 которого индекса М, все функции у„(х) для всех значений х ! интервала заключаются между у(х)+е и у(х) — е, так что а д Х их ~рафики у =-- ! „(х) целиком находятся впугри полосы, изоРис.

! !6. бражецной на рис. 116; иными словами, по данному е ) 0 можно найти такое число Ж= /Ч(е), которое, вообгце говоря, с убыванием е возрастает, что при и ) М всегда ! г'(х) — г,(х) ) ( е, какое бы мы ни взяли аначение х иа нашего ингервала. Это требование можно выразить и так: !уи(х) — ум(х) ) ( 2е, если одновременно и Ж и т ) М. Если степень точности приближения, предписанная наперед заданным числом е, может быть обеспечена повсюду в интервале одновременно, т. е.

путем выбора одного и того же числа й!(е), не зависящего от х, то говорят, что сходимость равномерна. Оказывается, однако, и это на первый взгляд кажегся поразительным, что предположение, будто всякая сходимость непременно должна быть равномерной, совершенно не соответствует действительности. Короче говоря, сходимость последовательности может быгь и неравномерной. Пример 1. Неравномерная сходнмость обнаруживается уже в рассмотренной нами выше последовательности функций у„(х) = х"; онн сходятся в интервале О " х " 1 к предельной функции у (х) = О при О <х < 1, у (1) = 1. В любой точке интервала имеет место сходимостги имение, если задать наперед сколь угодно малое положительное число е и выбрать любое определенное значение х = Е, то стоит тольао взять и достаточно большим, чтобы достигалось неравенство !В" — у ($)! < а. Ц $ ь РАВнОмеРнАя и неРАВнОмеРнАя сходимость 449 Но это приближение к прелелу неравномерно; в самом деле, если возьмем, например, с=1/2, то, как бы велико ни было число н, мы всегда можем найти такие значения х=ц чь 1 вблизи точки х=1, для которых (цл — /(Ч) ~ = цл >— 2' л /1 а именно те значения х=ц, для которыя 1 > ц > ~/ — .

Следовательно, 2 невозможно выбрать число и настольно большим, чтобы во всем интервале разность между /л (х) и /(х) была по абсол1отной величине меньше 1/2. Это обстоятельство становится понятным, если обратиися к графикам этна функций (рис. 115, стр. 447) и обратим внимание на то, что кривые у=/л(х) вблизи точки х = 1, у =1 становятся все более крутыми, но что нрутой подьем с возрастанием и ограничивается все меньшей и меньшей окрестностью этой точки и что, наконец,эти графики стремятся р к указанной ранее предельной ломаной. Аналогично ведут себя функции — — 3, 1 Ул (х) = ! + 'лу вблизи точек х = 1 и х = — 1, в чем нетрудно убедиться !см.

Характеристики

Список файлов книги