1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 82
Текст из файла (страница 82)
д., пока не получилась изображающая точка нли отображение х„ в результате и-кратно итерированного, т. е. п раз повторенного, преобразования ур ...гр(х) или, символически, ф"(х). Если !<р'(9)) < 1, то «итерированные» отображения точки хе стремятся к притягивающей неподвижной точке з; если )ф'Д) ~ ) 1, эти последовательные отображения все более удаляются от отталкивающей неподвижной точки $; в случае «безразличной неподвижной точки». ) ф'Д) ~= 1, невозможно сделать на этот счет какого-либо общего утверждения.
Если $ является отталкивающей неподвижной точкой для преобразования у=ф(х), то та же точка $, очевидно, является притягивающей неподвижной точкой для обратного преобразования х=ф(у), так как ф'($) ° ф'Я)=1. Поэтому существует принципиальная возмозкность заменить расходящийся итерационный процесс сходящимся путем перехода к обратной функции. В качестве примера рассмотрим уравнение х = 1п х в промежутке п(2 ( х ( Зп~2. й1дх 1 Так как — = )~ 1, то процесс итерации расходится! йх соз' х нц если переписать предложенное уравнение в виде х = агой х+ п. а' то получится сходящийся процесс, так как — (агс1д х +и) = ах 1 = 1+ля < 1. [При переходе к обратной функции здесь получается не х = атство х, а х = агс1я х+ и, так как по определению — 'и/2 < агс(н х < л/2, а по условию и/2 < х < Зп/2,) 1!ля того чтобы привести уравнение ~'(х)=О к виду х=ф(х), лостаточно положитыр(х)=/(х)+х.
Если !~р'(х) (=(У'(х)+1!) 1 27« 420 Гл. ще О мГтодах пРиБлиженнОГО Вычисления 13 в окрестности корня с, то процесс итерации не будет сходиться. Тогда, как уже сказано выше, можно воспользоваться обратной функцией или же следующим приемом. Выбираем начальное приближение ха, вычисляем у'(хо) = А и, если А Был, пишем ф( )= — — г'(х)+-х.
1 Тогда уравнение г" (х)=0 запишется в виде х=ф(х), причем теперь ф' (х) = — — у'(х)+ 1 обращается в нуль при х = ха. а стало быть, А ) ф'(х) ) < д < 1 в некоторой окрестности точки ха. Если эта окрестность доходит до корня $, то итерационный процесс будет сходиться к этому корню. [Можно рекомендовать следующий более общий способ приведения уравнения г'(х) = — 0 к требуемому виду. Вводят вспомогательную функцию ф(х)— = ХГ"(х) + х с пока неопределенным коэффициентом Х + О.
Ясно, что уравнение у (х) = 0 равносвльно уравнению х =- ф (х). Неопределенный коэффициент Х можно теперь выбрать так, чтобы было!<р'(х)(=— ) Х г" (х) + 1 ! < и < 1 в некоторой окрестности корня С, и это обеспечит сходимость итерационного .процесса.[ Возвращаясь к методу Ньютона, мы можем теперь исследовать, насколько он пригоден для применения в какой-либо заданной точке. Уравнение Г'(х) = 0 равносильно уравнению х =ф(х) = х— у (х) у' (х) в предположении, что г'(х) чь О.
Применяя к последнему уравнению метод итерации, исходя из начального приближения ха, получим первое приближение х, = ха — —,, другими словаии, то же самое .г (хо) .г (х0) первое приближение, которое дает метод Ньютона, примененный к уравнению г(х)=0 при том же начальном значении хщ Отсюда видно, что применение формулы Ньютона улучшает приближение, если абсолютная величина производной от ф(х) меньше единицы: ! у(х) у" (х) ~ При выполнении этого условия последовательные приближения тем быстрее сходятся, чем меньше ), ~, т: е. чеи больше ( г" (х) ( [Г' (х))' и чем меньше ( У(х)) и ) У" (х) [, а следовательно, чем меньше абсолютная величина Г'(х) и кривизны. Можно также получить оценку точности метода Ньютона, если заметить, что из Г" (4)=0 вытекает, что производная ф'(Е) =О.
Применяя формулу Тэйлора, имеем $ — х, =ф(С) — ф(ха) — ф (х), где х лежит между С и ха. Следовательно, если погрешность начального значения хр мала, то этот метод сходится гораздо быстрее, чем 4 3. численное Решение уРАВнении 421 4! меньше десяти во всем исходном промежутке, то начальное приближение хе, имеющее погрешность до 0,001, дает первое приближение х, с погрешностью, меньшей чем (0,001) ° 10: 2=0,000005. 4. Примеры. В качестве примера рассмотрим то же уравнение У(х) = х' — 2х — 5= 0, которое мы раньше решали методом корд.
При х, = 2 имеем У(хз) = — 1, а при х, =2,1 — значение У(х,) =0,061. Применяя метод Ньютона к значе- в обеих точкак ~ , < 1, но в точке х, она значительно [у'(х)[' получим ниюх, [ меньше|, х, = х| —, = 2,1 — ' = 2,1 — 0,005431 = 2,094569. у (х1) 0,06! У'(х>) ' 3(2 1)э — 2 Для оценки погрешности приближения х, из выражения (а) находим, что [9" (х)[<2 вблизи точки х=2. Кроме того, ошибка начального приближения х,=2,1, несомненно, меньше чем 17160, так как корда, соединяющая точки х, = 2, уэ = — 1 и х, = 2,1, у, = 0,061, пересекает ось абсцисс на расстоянии, меньшем 1/160, от точки х, = 2,1, кривая же лежит под хордой н пересекает ось х еще ближе к х, = 2,1.
Поэтому погрешкость ') прибли- 1 2 1 жения х, меньше чем — ° —,= <0,00004. Если зта степень точности недостаточна, то можно повторить процесс, вычислив У(хэ) и У'(хД для х, =2,094569, н получить следующее приблн- 1 жение хэ с ошибкой, меньшей чем, < 0,000000002. В качестве второго примера решим по методу Ньютона уравнение у(х)=х!Ех — 2=0.
Имеем у(3)= — 06 и у(4)=+04; берем поэтому начальное приближение ха = 3,5. Пользуясь десятизначнымк таблицами логарифмов, получаем последовательные приближения: хо =3,5 х, =3,598, хт = 3,5972849, хэ = 3 5972850235 ') Погрешность значения х, можно оценить, и не прибегая к хорде, слелующим образом. Ошибка начального приближения х, во всяком случае 1 меньше чем — (2,1 — 2) = 0,05; поэтому погрешность приближения х, меньше чем 0,05'= 0,0025. Следовательно, корень 5 отличается от х, = 2,1 меньше чем на (2,1 — 2,0945)+0,0025=0,008. Это значит, что ошибка начального значения х, была не только меньше чем 0,05, но и меньше чем 0,008, так что х, имеет погрешность, меньшую чем 0,008' =0,000064. метод итерации, примененный непосредственно к уравнению у(х) =0 [т.
е. к уравнению х=у(х)+х[. Например, если [У' (х) ) ' У" (х) + У' (х) У (х) Уш (х) — 2У (х) [У (х) ) ' ~Рк (х) (у~ (х) ) з (а) 422 гл. чи. о методах пниьлиженного вычисления Упражнения 1. Пользуясь методом Ньютона, найти положительный корень уравнения ха+ бх — 8=0 с четырьмя знаками после запятой. 2. Вычислить корень уравнения х = !я х, лежащий между п и 2п, с четырьмя знаками после запятой. Доказать, что зта точность обеспечена. 3. Пользуясь методом Ньютона, найти значение х, для которого к вз 1+и' 2 ' з 4.
Найти корни уравнения х= 2з!пх с двумя знаками после запятой. б. Определить положительные корни уравнения хз — х — 0,2 = 0 методом итерации, 6. Определить наименьший положительный корень уравнения ха — Зха + + 10х — 10 = 0 методом итерации. 7. Найти корни уравнения х' — 7х' +бх +20 = 0 с четырьмя знаками восле запятой. ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ УП Формула Стнрлинга В очень многих приложениях, особенно в статистике и теории вероятностей, встречается необходимость в приближенном представлении выражения л! с помощью элементарной функции от п. Такое выражение дает формула Стирлинга.
При и — ьоо л! -ь 1 У 2пл за-л или, точнее, 1 1 'у'2нл 'е "(а! С у'2пл зе "(1+ — 1!. 4л!' Другими словами, так как 1+ 1/4п стремится к единице при и — ю, то выражение рг2ип'+т~а-" дает приближенное значение п! с малой относительной погрешностью, тем меньшей, чем больше и. Это принято выражать, следующей фразой: и! асимлтотически равно 1/2ни"+'Ле-".
Вместе с тем множитель 1+1/4л дает оценку степени точности приближения. На эту формулу наводит вычисление площади Я криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = 1пх, осью абсцисс и ординатами х = 1 и х = и -(рис. 112). Интегрированием получаем точное значение этой площади (см. стр. 249): л 8„= ~ 1п х г(х = х (1 и х — 1) ~," = п 1и л — и + 1. 1 дополнение к главе чп 423 Если же вычислить интеграл приближенно по формуле трапеций, проведя ординаты х = 1, х = 2, ..., х = и, то получим приближенное значение Т„ этой плошади: Т„= 1и 2+ !и 3 + ... + !и (и — 1)-+ — 1и п = 1п и ! — — !п и. 1 1 Естественно предположить, что Ю„и Т„имеют одинаковый порадок роста, откуда будет вытекать, что !п и! и выражение (и + 1/2) !и и — и являются величинами одного и того же порядка, а стало быть, Ф лчеь А~г г Рнс.
112а. Рис. 112. и! того же порядка, что и'+не-", а это и есть существенное утверждение формулы Стирлинга. йля того чтобы это наводящее рассуждение превратить в точное доказательство, мы сначала покажем, что разность а„=DŽ— Т„ограничена, откуда и будет немедленно вытекать, что Т„=Я„(1 — — "~ и I того же порядка, что и 8„. Разность аае,— аа есть площадь фигуры между кривой и ее хордой в полосе й~(х <а+1. Так как кривая обращена вогнутостью к оси абсцисс и лежит выше хорды. то аа+, — а» > О и аа > О и монотонно возрастает, С другой стороны, разность аа+,— аа, очевидно, меньше, чем (ср, рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
