1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Вывести интегральную форму остаточного члена )г„из формулы у(к+А) — у(х) = ~ у'(х+Г) ат, з развертывая интеграл в правой части по правилу интегрирования произ- ведения. ь 155. Из формулы гг„= — (А — Г) У +Н (х+1) лй развертывая пра„=,!' о вую часть по правилу интегрирования произведения, вывести Рл — — У (х+ А) — У (х) — ИУ (х) — — У (х) —... — — У~ ~ (х). л) 156'. Предположим, что для функции у(х) каким-то образом получен ряд У (х) = аз + а, х + агх' +... + а„х" + А'л (х), где а, аь а„..., а„— постоянные числа, функция А'„(х) непрерывно дифференцируема л раз, а —" -ь О при х-ьО. Показать, что аз =— )1л (х) у~ 1(0) хл л! при А = О, 1. 2, ..., л, т.
е. что рял является рялои Тэйлора для У (х). смешАнные упРАжнения к ГлАВе тч 401 167'. Найти первые три неисчезающих члена ряда Тэйлора для з!и'х в окрестности точки х = О, возвышая в квадрат ряд Тэйлора для з!пх. Обо- сновать вту процедуру. 158*. Найти первые три невсчезающик члена ряда Тейлора для !йх з!их в окрестности точки х = О, используя тождество !йх = .
Обосновать соэ х этот способ. 169*. Найти первые три неисчезающих члена ряда Тэйлора для У' созх в окрестности точки х = О, разлагая ряд Тэйлора для созх по формуле биномиального ряда. Обосновать этот способ. !60. Найти первые четыре неисчезающих члена ряда Тэйлора в окрест- ности точки к =О для следующих функций: а) хс!йх; в) вес х; д) ех; б); г) емв; е) !п з!их — !их. )' зшх, 2!2Х, г'х 161. Разложить функцию у(х) =агсз1пх в рзд Тэйлора в окрестности точки х = О, используя фориулу х А21 агсзш х = ~ У! — ! о (ср.
стр, 2Щ упр. 4). 162". Найти ряд Тэйлора для функции (агсшпх)2 (ср. стр. 230, упр, 4). 163. Найти ряд Тэйлора в окрестности точки х= О для каждой из следующ2ог функций: х х и ! 5!Пт а) агзй.г; б) ~ е 2(6 в) 32 — АА е е 164*. Оценить погрешность, которая будет допущена, если в рядах, выведенных в упр. 163, ограничиться первыми л членами. 166*. 2(ва протиноположных заряда +е н — е, сосредоточенные на небольшом расстоянии 2( друг от друга, образуют электрический диполь с моментом М = ес(. Показать, что потенциал а) в точке, находящейся на М 2(2 оси диполя, нз расстоянии» от его центра, равен — (1+2), где з эе —; »2 4»' ' б) в точке на перпендикуляре к оси диполя, проводящем через его центр, равен О; в) в точке с полярными координатами », 0 (полюс — в центре Мсоз0 диполя, полярная ось — по оси диполя) равен »' (1+2), где з ле 2!2 8»2 = — (бсоэ'0 — 3).
(Потенциал точечного заряда () в точке, находящейся от него на расстоянии», равен л/»; потенциал нескольких зарядов равен сумме потенциалов, порождаемых отдельными зарядами.) 1 тх 166'. Найти первые трн члена ряда Тейлора для функции (1+ — ) х) 1 по степеням —. х 26 Р. Ктвкят ГЛ. Ч1. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА !67. Вычислить следующие пределы а) !пп х [(1+ — ) — е~! б) йщ ( — х+ х'[(1-~- — ) — е~ ~; в)* !пих[(1+ — ) — е!п(1Т- — ) ~; г) йп1 (з1п ) 1!х' 166'. Показать, что соприкасающаяся окружность в точке, в которой радиус кривизны достигает максимума или мииимума, не пересекаетск с кривой. !69, Найти максимумы и минимумы следующих функций: 1 а) !хй б) хз!и —.
ГЛАВА ЧП О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ Предварительные замечания Читатель, который видит в анализе орудие для физических исследований или технических расчетов, стоит перед вопросом, можно ли вывести из теории практические средства для действительного выполнения вычислений. Но этот вопрос представляет, пожалуй, не меньший интерес и с точки зрения теоретика, интересующегося пе покорением природы, а познанием существующих в природе зависимостей. Систематическое изложение методов приближенного вычисления можно найти в специальных руководствах').
Здесь мы можем рассмотреть только несколько особенно важных пунктов, связанных более или менее тесно с предшествующим изложением. При этом необходимо подчеркнуть, что всякое приближенное вычисление имеет определенный смысл лишь в том случае, когда оно дополняется оценкой сделанной при этом ошибки, т. е. определенными сведениями о степени точности полученного результата. $ 1.
Численное интегрирование Мы виделн, что даже сравнительно простые функции не могут быть проинтегрированы с помощью элементарных функций и что интегральное исчисление не может стремиться к этой принципиально недостижимой цели. С другой стороны, определенный интеграл от непрерывной функции действительно существует; возникает поэтому задача — найти методы для его приближенного вычисления. Мы изложим здесь самые простые и очевидные из этих методов, опираясь на геометрическую наглядность, а затем рассмотрим вопрос об оценке погрешности.
ь Речь идет о вычислении интеграла Г=) у(л)Фх, где а(Ь. а Представим себе. что промежуток интегрирования разделен на и ') и п и д е-К 6 и 19, Чог! езипйеп аЬег пзшег1зсЬез йесЬпеп, Вегпп, 1924; У и т т е к е р к Р о б и н с о н, Математическая обработка результатов наблюдений, пер. с англ., Л.— М., 19ЗЗ. [Крылов А, Н., Лекции о приближенных вычислениях, нзд. 6, Гостехиздат, 1964; Г утер Р. С., 0 ачинский В.
В., Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта, Фнзматгиз, 1962.1 404 гл. ып. о методах пгивлижвнного вычислания и б — а равных частей длины й =, и обозначим точки деления через хз — — а, х, = а + й; ..., х„ = К значения функции в этих точках— через (з, (н ..., (», а значения функции в серединах частичных промежутков — через (, Наш интеграл мы рассматриваем как площадь криволинейной трапецин и разбиваеи ее обычным путем на полосы ширины (г. Теперь все сводится к тому, чтобы приближенно найти площадь каждой такой полосы, т.
е. приближенно вычислить интегралы к»»а ( (х) т'х. 1. Формула прямоугольников. Самый простой, но и самый грубый метод приближенного вычисления интеграла непосредственно связан с его определением; мы заменяем площаль полосы („ площадью прямоугольника („Ь и получаем тогда для интеграла ( приближенное выражение') (=йУе+Л+ +У.-г) 2. Формула трапеций н формула касательных.
Лучшее приближение при той же затрате труда на вычисления получим, если Рнс. 106. замении площадь полосы не площадью прямоугольника, а площадью трапеции, изображенной на рис. 106 и равной — ((„+(+,)й. Для 1 всего интеграла получаем в таком случае приближенное выражение (Формула трапеций) (-й((,-4-Л+...-+.(. ~)+ 2 (Л+У«) Ь ') Знак ш означает здесь н в дальнейшем чприблнженно равно». $ Ь ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ так как при сложении площадей трапеций каждое из значений функции, кроме первого и последнего, встречается дважды. йще несколько лучшее приближение получается, вообще говоря, если заменить полосу 1, не трапецией, ограниченной хордой АВ, а трапецией, ограниченной сверху касательной к кривой в точке с абсциссой х, + Ь/2. Площадь этой трапеции равна Ц.ч нт, н для всего интеграла получаем приближенное выражение 1=Ь(У„+У„+ „+Уа.
0,) формулу касательных. 3. Формула Симпсона. Значительно более точные численные результаты получаются, если пользоваться более точной интерполяцией функции 7'(х) в каждой полосе многочленами степени выше первой, Самый простой из этих методов исходит из интерполяции трехчленами второй степени н приводит н формуле Симпсона. Эта формула основана на том, что площадь 1т+ 1 т! двойной полосы между абсциссами х = х„ и х = й х„ = хт + 2Ь = хг~в заиеняют площадью, ограниченной сверху не прямой линией, а дугой параболы, проходящей через три точки кривой с абсциссами х, хт,,=хт+Ь и х,а — — х +2Ь (рис, 107). Уравнение этой параболы, согласно интерполяционной формуле Ньютона (стр. 397), имеет вид Ряс. !07 у = 1 + (х — х,) та '„У' + т т (х — х ) (х — х — Ь) 1,ьг — 21т+1+1т Интегрируя этот многочлен второй степени в пределах от х до хт+2Ь, получаем, после небольшого вычисления, для площади, находящейся под дугой параболы, выражение х +та 86 — — 2Ь уих=2Ь7 -+2Ь(1 1 — У„).+ (У „2 — 2увн+У„)= Ь = 8 (1„+ 41тт!+1т+т).
Оно дает искомое приближение площади 1,+1,+, нашей двойной полосы. 406 ГЛ. ЧН, О МЕТОДАХ ПРИбЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ [4 Если выбрать л=2гл четное, то сложением площадей всех лз .двойных полос получим' формулу Симпсона для приближенного вычисления интеграла: в [Л+вз+ ' ' ' +[244-1)+ 3 !22+24+ ' ' '+ .[2вв-2)+ 4И 2И + 3 ~З+.~звв)' [ 4[х 4. Примеры. Применим зти методы к вычислению [п2= ~ —, Разбих ' ! т. е. берем И =0,1. заем интервал от 1 до 2 иа десять равных частей, .Сперва по формуле трапеций получаем: х! = 1,1 У! = 0,90909 х, = 1,2 Ув — — 0,83333 хв = 1,3 У, = 0,76923 хв = 1.4 У, = 0,71429 хвв = 20 х,=!,5 Л=0,66667 хв=1,6 Ув=-0625 х! = 1,7 У! = 0 58824 хв = 1,8 У, = 0,55556 хв = 1 9 Ув = 0,52632 сумма 6,18773 Это значение больше истинного, как и следовало кривая обращена к осн х своею выпуклостью.
По формуле касательных имееви — =0,5 1 2 в 1 — у!в = 0.25 2 6,93773 ° 0,1 [п2 Рв 0,69377 ожидать, так как И = 1,05 Уу — — 0,95238 У, = 0,86957 У, =Об И=1,15 И = 1,25 И = 1,35 у„=074074 6,92836 ° 0,1 1и 2 0,69284 1 х +— 2 1 х +— 1 2 1 х +— 2 2 1 з+ 2 1 х+— 4 2 1 х+— з 2 1 х+— з 2 1 х +— 2 1 х+— з 2 1 х+- 9 И =1,45 И = 1,55 И = 1,65 И = 1,75 И = 1,85 И = 1,95 2 в[ —— 0,68966 = 0,64516 у„, = 0,60606 у„ч = 0,57143 У в[ —— 0,54054 у„= 0,51282 $1. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 407 Так как кривая обращена выпуклостью к осн абсцисс, зто значение меньше истинного.
Наиболее точный результат при том же числе делений получаем с помощью формулы Симпсона; х! —— 1,1 у! =0,90909 х, = 1,2 х =1,3 Л=0,76923 х,=1,4 х, = 1,5 Уз = 0,66667 х, =- 1,6 х, = 1,7 ут = 0,58824 хз = 1,8 хз = 1,9 Уз = 0,52632 сумма 2,72818 ° 2 сумма 3,45955 ° 4 13,83820 Уз = 0,83333 У, = 0,71429 Уз = 0,625 /з = 055556 5,45636 13,83820 У, =1,'0 У!а=05 хз — — 1,0 х!з= 20 20,79456.— 1 30 !п2 = 0,69315 И действительно, ! п 2 = 0,6931 47 ..
5. Оценка погрешности. Во всех наших формулах легко дать оценку погрешности, если известен общий ход изменения производных от фУнкции 7 (х). ПУсть М,, Мз, М,, ... — веРхние гРани абсолютных значений производных первого, второго порядка и т. д., т. е. мы предполагаем, что !7"' (х)!< М„во всем интервале интегрирования. Тогда формулы для оценки погрешности в т-м частичном промежутке выражаются следующим обрааом. Для формулы прямоугольников имеем л-1 17; — ЬУ„!< — М1ЬТ или 1 — Ь ~ 7"„< — МГЛЬ'= — М,(Ь вЂ” а)Ь.
т-е для формулы касательных з-1 )!.-!1„! ! с !! ... )! ! ~1„„„с-,г!!.—.!!', т-о для формулы трапеций ~7,— ф(У,+У„„,)( <фЬ; для формулы Симпсона )~,-+у,ч — 3 (Ут+4У,+!+У„) ~ < — 'Ь'. Из последних двух оценок тоже можно вывести оценки для всегсь интеграла У. Мы видим, что формула Симпсона дает погрешность значительно более высокого порядка малости относительно Ь, нежели другие формулы, и поэтому ее следует предпочитать другим формулам, если только М„не слишком велико, и $ а, пРименения теОРемы О сРеднем и ФОРмулы тэплОРА 409 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
