1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 75
Текст из файла (страница 75)
х-хо у соз' х1 ') Это видоизменение нашего правила в второй способ его вывода имеют то преимущество, что ие приходится пользоваться еуи(еешеоеанаехе производной в самой точке х = а; кроме того, таким путем охватывается также случай, когда функция е(х) определена только при х ) а, так что предельный переход х -ь а илн Л -»О приходятся совершать только с одной стороны. 4 5, пРилОжения к геометРии 381 Заметим еще, что и некоторые лругие, так называемые неопределенные формы приводятся к нашему случаю. Например, предел 1 1 выражения — — — ири х -ь О, как прелел разности двух выраже- В!ПХ Х ний, обращающихся одновременно в бесконечность, представляет «неопределенность» вида со — со. С помощью преобразования 1 1 х — и!Ох МПХ Х Х 5!ПХ мы получаем выражение, прелел которого при х — »О можно найти с помощью нашего правила: х — 5!пх .
1 — созх 5!и х 1нп . = !Ип = !Ип =О. хюпх . Охсозх+5!пх» О2созх — хв!Ох Упражнения Вычислить пределы функций в упражнениях 1 — 12. хл ал ( 2 1 1. !!ю 7. !нп ( х — а х — в!их / 1 1 1 2. 1нп 8. 1пп ( —, „.+О х' ».+о 1 з!и'х хв 1' 24 — 12х' + х' — 24 сов х в 9. !пп х"л». »-во (5!и х) »+О е» вЂ” е-» 4.
1пп 1О. 1!гя (1+х)!'". »+о »-+о 5. !!т В!СО!и х 1!. 1нп е'» — 1 ,.+о х ».+о !и (1+2х) ' 6. !!пв !д'5х 12. 1пп х! х г!! х ' » .+ О У»(1 — хо) — 1 ~ О 13. Доказать, что функция, определенная равенствами у = (хв)» при хчьО я у(0) = 1, непрерывна пря х=О. ф б. Приложения к геометрии формула Тэйлора дает возможность более точно изучить ход изменения функции у"(х) в окрестности значения х = а или поведение заданной кривой в окрестности какой-либо ее точки, так как она представляет приращение функции при переходе к соселней точке в виде суммы величин первого, второго, третьего порядка и т.д.
1. Касание кривых. Воспользуемся этим метолом для того, чтобы исследовать понятие касания двух кривых. Если две кривые у = У(х) и у=у(х) имеют не только общую точку, скажем х=а. но и общую касательную в этой точке, то говорят, что они в этой точке касаются друг друга или имеют в этой точке касание первого порядка. В разложениях Тэйлора для у(а+ й) и д(а+л) совпадают тогда члены нулевого и первого порядка относительно й.
Если ГЛ. У!. ФОРМУЛА ТЗЯЛОРА 1з в точке х = а равны друг другу также и вторые производные от у'(х) и я(х), то говорят, что кривые имеют касание второго порядка. В разложениях по формуле Тэйлора совпадают тогда и члены второго порядка по /г, и если предположить, что обе функции имеют непрерывные производные по крайней мере до третьего порядка, та разность 1/(х) =г" (х) — я(х) можно будет представить в виде /!з /!з Т)(а+1!)=/(а+я) — б(а+я)= —,! ~" (и+01!)= —,! Р(й).
причем выражение Р(й) при й-»0 стремится к у"'(а) — я»(а). Следовательно, разность В (а + й) есть бесконечно малая не ниже третьего порядка относительно й. Это рассуждение можно продолзкить и рассмотреть общий случай. когда в формулах Тэйлора для /'(а+ й) н б(а-+Ь) совпадают члены до порядка п включительно: /(а) =К(а), /'(а)=К'(а), /" (а)= = с/'(а), ..., у<»>(а)=б1»1(а). Предполагаем при этом, что и производные (и-+ 1)-го порядка еще непрерывны.
Если выполнены эти условия, то говорят. что кривые имеют в точке х = а касание и-го порядка. В этом случае разность обеих функций будет иметь следующий вид: 6»»1 У(а+/г) — «(а-4-й)=, Г"(й), где Г (/з) = 1/~~~ ! (а+ Ой) при й -+ 0 стремится к пределу /'~» (а)— — д'"+ !(а), так как 0<0(1. Из этих формул видно, что при х †. а разность / (х) — д'(х) будет в окрестности точки касания величиной (и+ 1)-го порядка ма- Л' 'ласти относительно й. У : /» / Многочлены Тэйлора геомез// :/ трически определяются просто тем. ! / / что они представляют параболы и-го порядка, которые с графиком данной функции имеют касание наивысшего возможного порядка. Поэтому их иногда назыр=л" вают соприкасающимися пара- // Л' / балами.
На рис, 104 изображены первые три соприкасающиеся параболы для кривой у =е в точке Рис. !04. Если две кривые у=/(х) и у = д'(х) имеют касание и-го порядка, то наше определение не исключает возможности того, чтсз касание будет и более высокого порядка, т. е. может случиться, что и уз»~'! (а)=дщ+'1(а). Если этого нет, т. е. если уч"+ 1(а)+ б!»' !(а). $ Ь. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ то говорят, что налицо касание точно и-го порядка или что порядок касания е точности равен п. Из наших формул, а также из рис. 104 можно вывести интересный факт. который начинающие часто упускают из виду.
Если точный порядок' касания двух кривых четный, т. е. если четное число и проиаводных обеих функций совпадает, а (и-+1)-е производные уже различны, то разность 7(а+й) — у(а-+д) имеет различные знаки при положительных и отрицательных значениях й, достаточно малых по абсолютной величине. Обе кривые будут в точке х =а не только касаться, но и пересекаться. Это происходит, например, при касании второго порядка, когда производные третьего порядка уже не равны между собой.
Если же точный порядок касания нечетный, например при обыкновенном касании первого порядка, то разность 7(а+74)— — д(а+П) имеет один и тот же знак при положительных и отрицательных значениях й, достаточно малых по абсолютной величине. Следовательно, в этом случае обе кривые не пересекают друг друга в их точке касания. Простейшим примером может служить касание кривой со своей касательной. Касательная пересекает кривую з точке касания в том случае, если точный порядок касания четный, наприМЕр В ОбЫКНОВЕННОй ТОЧКЕ ПЕрЕГИба, ГдЕ у КрИВОй Ги(а)= О, а 7'"'(а) + О, а у касательной й"(а) = йт (а) = О. Если же порядок касания нечетный, то касательная не пересекает кривой, как, например, в обыкновенной точке касания.
где первые производные совпадают у кривой и у ее касательной, а вторая производная у кривой 7"(а) чь О, а у касатетьной аи(а) = О. )1ругой пример второго случая представляет кривая у = х4 в начале координат. (Касательной является ось х, не пересекающая кривой; касание точно третьего порядка.) 2. Окружность кривизны как соприкасающаяся окружность. С этой точки зрения понятие кривизны кривой у=7'(х) получает новое наглядное 'значение. Рассмотрим определенную точку кривой с координатами х = а, у = Ь; через эту точку проходит бесчисленное множество окружностей, касающихся кривой в этой точке. Центры этих окружностей лежат на нормали к кривой, и каждой точке этой нормали как центру соответствует одна такая окружность, имеющая с кривой касание первого порядка.
Можно ожидать, что при надлежащем выборе центра окружности получится касание еторого порядка между окружностью н кривой. Действительно, в гл. 47, стр. 327, мы видели, что для окружности кривизны в точке х = а, уравнение которой у = а(х), не только К(а)=1(а) и Кг(а)=7'(а), но, кроме того, и д" (а)=уе(а). Окружность, ильеюигая с кривой е данной ее точке касание второго порядка, называется соприкасающейся окружностью е этой точке. Следовательно, окружность кривизны является одновременно и еоприкасаюиьейся окружностью в соответствующей тачке. В пре- 384 Гл, ш.
ФОРЪ\улл тэйлонл дельном случае, когда рассматриваемая точка есть точка перегиба кривой нли вообще точка, в которой кривизна равна нулю. а радиус кривизны бесконечен, окружность кривизны вырождается в касательную. Из скааанного выше, в п' 1, ясно, что окружность кривизны, как правило, не только касается кривой, но и пересекает ее в точке касания (рис. 105). Кривая и ее окружность кривизны не пересекают друг друга в том и только в том У случае, если точный порядок их касания больше двух и является нечетным числом. У= гг'зУ 3.
Применение к теории максимумов и минимумов. Мы видели в гл. Ш, стр. 190, что функция у (х) достигает " точке х = а, в которой Ут(а) = О, максимума, если у»(а) отрицательна, и мини- Р мума. если '1" (а) положительна. Стало быть, эти условия являются Ряс. !05. достаточными условиями существования максимума или минимума. Но они отнюдь не являются необходимыми условиями (и не исчерпывают вопроса), так как в том случае, когда Ул(а) = О, остается еще открытой каждая из трех возможностей: наличие в рассматриваемой точке максимума, наличие минимума или отсутствие того и другого. Примеры этих трех возможностей дают функции у = — х4, у = х4 и у = хз в точке х = О.
Формула Тэйлора дает возможность более общей формулировки достаточных условиИ экстремума. Разлагаем функцию у(а + л) по степеням лп тогда решение вопроса сводится к тому, содержит ли первый неисчезающий член разложения степень й" с четным или нечетным показателем п, В случае четного и налицо экстремум, причем /(а) есть максимум или минимум функции у(х), смотря по тому, является ли коэффициент при и" отрицательным или положительным числом. В случае нечетного и значение у(а) не является ни максимумом, ни минимумом, а график функции имеет при х =а точку перегиба с горизонтальной касательной.
Читатель может сам уточнить эти мысли рассмотрением остаточного члена. Заметим кстати, что данное ранее (стр. 190) необходимое н достаточное условие является более общим и удобнее для пользования, а именно: если первая производная У'(х) обращается в нуль лишь в конечном числе точек, то для существования максимума илн минимума функции у (х) в одной из этих точек необходимо и достаточно, чтобы первая производная г'(х) меняла свой знак при переходе через эту точку.
(При этом допускается существование такой окрестности «подозрительной» точки Й, что с каждой стороны от й производная у'(х) сохраняет неизменный знак.) дополнвния к глава ч! Упражнении 2 1. Канов порядок касания кривых у = е" и у = 1+х+ — э!п'х в точке 2 х=б? 2. Каков порядон касания кривых у = э!и' х и у = !й" х в точке х= о? 3. Определить постоянные а, Ь, с, Л таним образом, чтобы кривые у=ет» и у = асозх+Ьжпх+с сов 2х+Лз!п2х имели в точке х=о касание третьего нарядна. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
