1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Представим себе, что вдоль дуги эволюты наложена гибкая нерастяжнмая нить, часть которой отделяется от этой дуги и направлена прямолинейно по / касательной к ней; если конец нити О лежит при этом на первоначальной ре кривой С, то при сматывании и раз.вертывании нити точка СГ описывает дугу исходной кривой С. Поэтому первоначальная кривая С называется С эвольвентой (ечо)чете — рааматывать, развертывать) эволюты Е. Это соотношение может быть р обращено, т.
е. можно исходить от произвольной кривой Е и построить ее эвольвенту С посредством описанного выше процесса развертываРис. 99. ния. Тогда, обратно, Е является эво- лютой С. Для доказательства предположим, что кривая Е, которая теперь считается заданной, представлена уравнениями $ = 9(о) н т) = т)(о), где $ и т) — текущие прямоугольные ноординаты, а параметром служит алина дуги о. Процесс развертывания происходит, как показано на рнс. 99.
Будем следить за переменным положением Я той точки нити, которая до развертывания совпадала с точкой А кривой Е, и пусть точке А соответствует значение о = а. Развернутая прямолинейная часть РСЕ нити касается кривой в точке Р (9, Ч), которой соответствует длина дуги о ~( а. Длина РЯ равна а — о. а направляющие косинусы касательной РО (вектора Рьг) суть $ и т), где теперь точка над буквой есть символ дифференцирования по о.
Отсюда для координат х и у точки Я получаются выражения: х=$+(а — о)$. у=г)+(а — о)т), ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч дзющие параметрические уравнения эвольвентм, описанной точкой (Е, причем параметром служит о. (Предположим теперь, что мы развертываем нить, наложенную на ту же кривую Е по другую сторону от точки А, и следим аа движением того конца ф нити, который до развертывания находился в той же точке А. развернутая часть РД, нити является касательной к линии Е в точке Р,, координаты которой будем обозначать $, Г).
Точке Р, соответствует длина дуги о ) а. Длина Р1(е1 равна о — а, а направляющие косинусы касательного вектора РГОь рзвны соответственно — $, — ц, так как он направлен в сторону убывания параметра о. Проектируя вектор РГОл на оси координат, получим: х — $ = — $(о — а) у — т) = — т) (о — а) и для геометрического места, описываемого точкой 0И получаются те ьке уравнения: х = $+(а — о) й, у = т~+(а — о) т~.
Но точка А — произвольная точка кривой Е. Отсюда яаю, что если разрезать намотанную на Е нить в любой ее точке А и развертывать оба конца нити, смыкающиеся в точке А, то получим для каждой точки кривой соответствующую ей эвольвенту, т. е. всякая кривая имеет бесчисленное множество эвольвент; Ниже будет показано, что каждая касательная РЯ или РД, к исходной кривой Е нормальна к эвольвенте С. Отсюда вытекает, что если в точке А кривая Е имеет (единственную) касательную, то обе ветви эвольвенты, смыкающиеся в А. нормальны к этой касательной, т. е.
касаются друг друга. Следовательно, каждая точка кривой Е является точкой заострения (точкой возврата) для соответствующей ей эвольвенты.] Дифференцируя уравнения эвольвенты по о, получаем: х = я — $+(а — о) е =(а — о)$, у= ц — Ч+(а — о) ц=(а — о)т). Принимая во внимание, что й$+ т)Г) = О. отсюда получаем ха+ уз~ = О, и это равенство показывает. что прямая Рьг является нормалью к эвольвенте С, Мы можем поэтому сказать: нормали кривой С являются касательными кривой Е. На основании обратной теоремы (стр.
352) из этого следует, что Е является эволютой линии С, так что всякая кривая является эволютой каждой иэ своих эвольвент. ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ "- =х — у ... +..., т(=у+х ... +»„ ху — ух ху — ух получаем следующие параметрические уравнения эволюты с тем же параметром й 5=1+3!пй т)= — 1+созй Введя новый парэметр т с помощью преобразования получаем. я — п=т — 3!нт, т!+2 = 1 — соя т! эти уравнения показывают, что эволюта циклоиды представляет собой опять циклоиду, конгруэнтную первоначальной и получающуюся из последней путем параллельного перемещения, как это видно на рис. 100. Рис. 100. Пример 2. Выведем параметрические уравнения эвольвеиты окруж.
ности й =- созг, т) = 3!и й именно той эвольвенты, которая проходит через точку А(1; О) окружности (рис. 101). Параметр Г ранен длине дуги окружности, отсчитываемой от точки А (1;О). Подставляя в общие уравнения эвольвенты (стр. 354 — 355) а=0 а =О, 5 = соз0 т) =3!пй ь = — 3!и й т) = соз й получим параметрические ураввения эвольвенты окружности; х=созс+(юпй у=з!и! — Гсозс. .4 П р и м е р 3. Найдем эволюту эллипса х = а соз й у =Ьз!пй По формулам стр. 327 получим параметрические уравнения эволюты: ха+ у2 а' — Ь' созз Г а, ху — ух = +-","' ху — ух а' — Ь' — 3!пЗ й Ь Рис.
!О!. Исключая обычным способом параметр й получим уравнение зволюты эллипса в обычной (не параметрической) форме: (лй)213 + (531)тгз ( 22 32)згз П р и м е р 1. Найдем эволюту циклоиды х = à — 3!и 0. у = 1 — сов т (рис. 100). По формулам (см. стр. 325 — 327): дополниння к ГлАВе ч Эта кривая называется [обобщенной) астроидой. Ее форма показана на рис 102. На нем видно, что центры кривизны вершин эллипса являются Рнс.
102. точками возврата астронды; это легко проверить по параметрнчееким уравнениям этой кривой. Упражнения !. Показать, что эволютой эпнцнклоиды (упр. 2, етр. 310) служит другая эпнциклоида, подобная данной, и что она может быть получена из данной при помощи поворота н сжатия. 2. Показать, что зволюта гипоцнклоиды (упр. 4, стр. 311) есть тоже гнпоциклоида, подобная данной, и что она может быть получена нз данной путем поворота и растяжения. ф 2. Площади фигур, ограниченных замкнутыми кривыми Мы видели в й 2, стр.
315, что площадь, ограниченная замкнутой кривой х = х(г), у = у(() ((е~(Г ~( Г,), которая нигде себя не пересекает (так называемой простой замкнутой кривой), дается интегралом н — ) у(1) х(г)п'г, причем полученное значение положительно нли отрицательно, смотря по тому, является ли направление обхода границы положительным или отрицательным. Мы теперь распространим этот результат на более общий кдасс кривых. Предположим, что заикнутая кривая С, заданная уравнениями х = х (1), у = у(1), сама себя пересекает в конечном числе точек, выделяя на плоскости конечное число областей Йн Йз, ...
ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ Предположим еще, что производные от координат непрерывны, за исключением, быть может, конечного числа разрывов первого рода, и что ха+уз чь О, за исключением, быть может, конечного числа значений 1, которые могут соответствовать угловым точкам. И, наконец, пусть кривая имеет конечное число опорных прямых (стр. 314 и 3!6). Каждой области Й,.
присвоим. индекс рн определяемый следующим образом. В каждой области Й; выберем точку й, не лежащую ни на какой опорной прямой, и построим полупрямую, выходящую из точки Я вертикально вверх, т. е. по направлению положительной оси у. Сосчитаем, сколько раз кривая С пересекает эту полупрямую справа налево и сколько раз слева направо, и затем вычтем иа первого числа второе; эта разность и есть ин- У деке (гп Например, вну- тренняя область кривой, лз р изображенной на рис. 88 $ (стр, 312), имеет индекс (г =-+ 1, а на рис.
103 области Йи Йз ° Йз л имеют индексы р, = — 1 Рис. 103. ря =+1, Нз — — +2, Рч= — 2 рз= — 1. Этот индекс (ь характеризует область Й~ и не зависит от выбора точки (') в ЙР Докажем это следующим образом. Выберем в области Й, другую точку Я', тоже не лежащую на опорной прямой, и соединим точки Я и (2' ломаной линией, лежащей полностью в области ЙР Будем двигаться вдоль этой ломаной от !",! к (2', тогда для вертикальной полупрямой, выходящей из каждой точки этой линии, разность числа точек пересечения справа налево и числа точек пересечения слева направо постоянна.
Действительно, между опорными прямыми число пересечений каждого типа не изменяется, а всякий раз, как ломаная пересекает какую-либо опорную прямую, число пересечений каждого типа либо возрастает на единицу, либо убывает на единицу; и в том и в другом случае равность не изменяется. В том случае, когда опорная прямая встречает кривую в нескольких различных точках А, В, ..., Н, ее можно рассматривать как несколько равных опорных прямых РА, РВ, ..., РН, где Р— точка оси х, лежащая на одной вертикали со всеми точками А, В...,, Н, и применить наше рассуждение к каждой из этих прямых.
Итак, индекс (ь сохраняет свое значение независимо от того, наной' точкой, (2 или (2', мы пользуемся для его определения. В частности, если наша замкнутая кривая сама себя не пересекает, то внутренние точки кривой составляют одну область Й, индекс которой равен + 1 или †.1, смотря по тому, каково направление , обхода границы — положительное или отрицательное. Для того чтобы в этом убедиться, проведем какую-либо вертикаль (но не опорную прямую).
пересекающую нашу кривую; на втой вертикали найдем дополнвння к гллве у высшую точку пересечения Р с кривой и внутри области )с выберем точку Я ниже Р и столь блиако к ней, что между Р н 1е не будет точек пересечения с кривой. Тогда выше се' кривая пересекает вертикаль один раз; если обход кривой совершается в положительном направлении, то пересечение будет справа налево и 1ь = + 1; в противном случае )ь = — 1. Как мы уже видели, то же самое значение 1ь сохраняется для всякой другой точки области Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
