1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Если в формуле (А,) (стр. 369) для остаточного члена примем (гг — «)' за р(т), то получим остаточный член в форме Лагранжа: Лпе! если же вместо этого положить р(т)=1, то получится выражение остаточного члена в форме Коши: Ли .1- 1 Ю„= — „~ (1 — 6) У (х+ Юл). В этих формулах Ь есть некоторое промежуточное число из интервала О ( д ( 1; установить это число точнее мы не можем. Это промежуточное значение, вообще говоря, конечно, различно в обеих формулах для остаточного члена и к тому же зависит от а, х и гс.
Первая форма остаточного члена дана Лагранжем, вторая — Коши, и по имени их авторов они и получили свои названия '). Подставив ') Эти и еще другие выражения для остаточного члена можко вывести и из теоремы о среднем значении дифференциального исчисления или из обобщенной теоремы о среднем значении (стр. 229). Нужно применить з интервале от 1 до х зту теорему к функции )сп(х) или обобщенную теорему к дроби )1п (х) (х 1)п1-1 ' причем следует рассматривать З как постоянную и воспользоваться формулами: Л, (3) О и й (х) — 1'~+О(х). При таком выводе формул для остаточного члена больше выделяется характер формулы Тэйлора как обобщения теоремы о среднем значении; кроме того, имеется то в теоретическом смысле важное преимущество, что достаточно предполагать только сукгестаоаанип, но ке непрерывность производной (я+1)-го порядка.
Однако при этом лишаемся точного выражения остаточного члена с помощью интеграла ГЛ, Ш. ФОРМУЛА ТЭИЛОРА в остаточный член в форме Лагранжа х=О и заменив /г на х, получим остаточный член в форме Лагранжа для разложения (В): эН )с„= + у' ' (Ох). Наибольший интерес представляет следующий вопрос стремится ли остаточный член )т„с возрастанием и к нулюг' если это так, то функция у (х+ И) тем точнее выражается соответствующей целой рациональной функцией от И, чем больше п.
В этом случае говорят. что функция разлагается в бесконечный ряд Тэйлора Иэ Из у(х —,И)=у'(х)+ — у (х)+ — у (х)+ — у (х) + ... или, в частности, если положим сперва х=О и затем заменим И через х, у (х) = г (О)+ — у'(О) + — у"(О) +- — у" (О)-+ ... В ближайшем параграфе мы познакомимся с примерами такого разложения. Однако сначала отметим вторую существенную точку зрения, вытекающую из рассмотрения формулы Тэйлора. Представим себе, что в первой формуле величина И становится все меньше по абсолютной величине и стремится к нулю; тогда (пользуемся терминологией гл. 111, й 9, стр.
222) порядок малости отдельных членов ряда различен; соответственно этому мы называем у (х) членом нулевого порядка, Иу'(х) членом первого порядка, †, Уи(х) членом второго порядка и т. д. Форма нашего остаточного члена показывает, что при развертывании до членов п-го порядка ми совершаем ошибку, порядок малости которой' при И вЂ” ьО равен п+1. На этом основаны многие важные применения формулы Тэйлора. Мы видим, что аппроксимирующий полинам тем лучше представляет функцию У(х+И), чем ближе находится точка х+И к точке х, и что в непосредственной окрестности точки х это приближение может быть улучшено путем увеличения числа и. Упражнения 1.
Функция у(х) имеет непрерывную производную в интервале а(х (З, а у" (х)>0 всюду в этом интервале. Пусть д — любая точка из этого интервала; доказать, что график функция у(х) в точке х = Ч, у = у($) нигде не лежит нике своей касательной. (Воспользоваться формулой Тэйлора с тремя членами.) 2. В выражении остаточного члена )гв в форме Лагранжа найти значение промежуточного числа 9 при разложении по степеням х функций 1 — и —. 1 — х 1+х' ~! 1 з. ппзложвнив элсмвнтппных экнкци!ч в яяд тэилогп з73 й 3. Приложения.
Разложение элементарных функций в ряд Тэйлора Мы воспользуемся общими результатами предыдущего параграфа. для того, чтобы приближенно выразить элементарные функции с помощью многочленов и разложить их в ряды Тэйлора. При этом мы, однако, ограничимся только такими функциями, лля которых коэффициенты разложения образуются по простым законам.
В гл. т!1!! мы выведем разложения з рял некоторых функций с помощью дру-. гих метолов. 1. Показательная функция. Иррациональность числа е. Простейшим примером является показательная функция 7(х) = е". Напишем ее разложение по степеням х. В этом случае все произволные тождественны с г(х), и все они принимают поэтому при х = О. значения, равные 1. По формуле Тэйлора (В) (стр. 369), пользуясь остаточным членом в форме Лагранжа, сразу получаем х х' х' х" , х"э' е =1+ — + — + — +... +- — -+ ев.". 1 2! 3! ' ' ' и! (и+1)! Если будем неограниченно увеличивать число и, то остаточный член будет стремиться к нулю, каково бы ни было взятое нами значение х.
В самом деле, прежле всего !еэ"!<е!х!. Выберем теперь целое число т большее, чем 2! х!. Тогда при и)~ т имеем: !х!/и< 1(2, х"э! ! ~х~! !х! !х! ~х"'~ 1 (2х!ж 1 (и+1)! и! т+1 и+1 и! 2"+ " т! 2" следовательно, ! Й„! ( — е 12х !~ 1 Так как первые два множителя, стоящие в правой части, не зависят. от и, а множитель 1/2" с возрастанием и стремится к нулю, то, действительно, ߄— ьО при и — ьсо. Если будем рассматривать х не как фиксированное число, а далим ему возможность изменяться в интервале — а(х (а, где а — постоянное положительное число, то из предылущего рассуждения, если только выбрать т ) 2а, следует.
что ~)2„! < —, (2а)и в 1 Тем самым мы указали для абсолюююй величины остаточного члена верхнюю границу, общую для всех значений х в промежутке — а~(х~,а и стремящуюся к нулю при и — >со. Поэтому можнв ГЛ. Ш. ФОРМУЭ!А ТЭЙЛОРА для функции е" написать разложение в бесконечный ряд: х х' хт т е"=1+ — + — + — + ... =~ —.
В 2! 3! т 0 Последняя запись со знаком суммирования „~~~ есть просто сокращенное выражение для ряда. Это разложение в ряд имеет место для всех значений х. Вместе с тем мы снова подтвердили, что число е. рассмотренное в гл. 1 (стр. 62), совпадает с основанием натуральных логарифмов (гл. 1П, 3 6), Для вычислительных целей мы должны. конечно, пользоваться формулой Тэйлора с остаточным членом; например, при х = 1 эта формула дает 1 1 1 еэ е=)+1+2!+3!+ '' ' + ~+( ! !р ' (1) Если хотят вычислить е с точностью до 1/10000, то достаточно выбрать и настолько большим, чтобы остаточный.
член был меньше чем 1/10000; так как остаточный член меньше чем — ~ —;- ), то до((л л-1- 1)! статочно взять п=у. так как 8! ) 30000. Таким образом, находим приближенное значение е = 2,7182 погрешностью, не превышающей 0,0001. Ошибок, происшедшик от округления, мы не учитывали. Из формулы (1) легко вывести, что число е иррационалыю.
Действительно, если бы оно было, напротив, рационально, то было бы е=р/д, где р и и — целые числа. Выберем тогда л больше знаменателя д. В таком случае и!е=п! — должно быть целым числом. Р е л! п! е С другой стороны. п!е = 2п1+ — +... + — +, а так 2! ''' п! и+1' еэ как еэ ( е ( 3, то 0 ( — ( 1. Таким образом, целое число п!е и+1 л! должно равняться сумме целого числа 2п!+ —,+...
+1 с отличным от нуля числом, меньшим единицы, что невозможно. ') Мы здесь воспользовалнсь неравенством е ( 3, которое иепосрелственно вытекает из нашего ряда для е (ср. также стр. 62). В самом .яеле, 1 1 1 ! — < — прн всяком л > 2; поэтому е с 1+1+ —,+ — + °" = 1+ л! 2л 2 4 1 + — =3. 1 1 —— 2 21 % 3.
РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЭЙЛОРА 375 2. Разложение в ряд функций з(пх, созх, зйх, сйх. Для функций з(пх, созх, зИх, сйх получаем следующие выражения их производных '): У(х)= з)пх созх ЗИх ейх, 72(х) = соз х — з!п х сИ х зИ х. ул(х) = — я)п х — соз х ЗИ х сИ х, 7'"(х) = —.
сов х в)п х сИ х ЗИ х, 7!" (Х) = з!их созх зИ х сИ х, Для того чтобы получить коэффициенты разложения вида (В) (стр. 3697 по степеням х, надо в эти формулы подставить х=0. Следовательно, в аппроксимирующих потнномах для з)пх и ЗИх обращаются в нуль коэффициенты прн четных степенях х, а в аппроксимирующих полиномах для созх н сИх образнвются в нуль коэффициенты при нечетных степенях, так что в первом случае (2п+1)-й многочлен и (2п+2)-й многочлен тождественны между собой, а во втором случае — 2п-и и (2п+ 1)-й, Представим себе. что мы берем каждый раз высший многочлен; тогда, пользуясь остаточным членом в форме Лагранжа (стр.
372), получаем: хз хз х22+! з!п х = х — — + — — + ... +( — ' 1)л + 31 51 ' ' ' (2л+1)1 х'Л 22 +( — 1) (2л+3)! соз(бх). -хз х' х2Л соз х = 1 — — + — — + ° ° +( — 1) + 21 41 ' ' (2л)! л з-! Хзл+2 .+( — 1) (2 ! 2р сов(бХ), хз хз х2Л+ 1 хзлЕЗ вИ х =х+ 31 + м + ... + (2,+П) + (2л+3)1 сИ(бх), х' х' х22 х22+2 сИх=1+ — + — + ... + — + ' сИ(бх), 2! 41 ' ' ' (2л)1 (2л+ 2)! причем б в каждой из четырех формул означает, конечно, различные числа из интервала 0( б ( 1, которые зависят к тому же от х и п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
