1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Каков порядок касания кривых х' + у' =ху и х' + у' = х в их общих точках? Построить эти кривые. 5. Каков порядок касания нризых х' + у' = у и х' = у в их общих точнах? 6. Кривая у = у (х) проходит через начало О и касается в втой точне оси х. Показать, что радиус кривизны этой кривой в точке О дается форх' мулой р = 1пп ».»с 2у' 7'. Окружность К касается данной нривой в точке Р и проходит через близкую точку О этой кривой. Показать, что при О-» Р окружность К становится в пределе окружностью нривнзиы кривой в точке Р.
8'. М есть точка пересечения двух нормалей данной кривой э смежных точках Р, О этой кривой. Показать, что при О -» Р точка М стремится к, центру кривизны кривои для точни Р. (1(ентр нривизны есть предельное положение точки пересечения смежных нормалей.) 9'. Поназать, что в тех точках кривой, где ее радиус кривизны имеет мансимум или минимум, порядок касания этой кривой со своей соприкасающейся окружностью ие меньше трех. 1О. Определить максимумы и минимумы функции у = е П» (см. стр. 386). ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ У! В 1. Пример функции, не разлагающейся в ряд Тэйлора Возможность разложения функции г" (С)=у(х+й) по формуле Тэйлора, по степеням и, с остаточным членом (и+ 1)-го порядка существенным образом зависит от существования у фуннции у (э) производных до (и+1)-го порядка во всем интервале от х до х+А, включая его концы. Поэтому, например, нельзя по формуле Тэйлора разло!кить по степеням х функцию !пх или функцию ~'х, производные которых обращаются в бесконечность при х = О.
Для того чтобы возможно было разложить функцию э окрестности некоторой точки $= х в бесконечный ряд Тэйлора, необходимо во всяком случае, чтобы в этой окрестности, в частности прн $=х, существовали производные любого порядка; но это необхолимое условие ни в коем случае не является достаточным. Функция, все !троизводные которой в некотором интервале существуют и непрерывны, может, несмотря на это, и не разлагаться в ряд Тэйлора, т.
е, остаточный член Йэ формулы Тэйлора может с возрастанием и не стремиться к нулю, как бы мала ни была область, в которой мы хотим иметь разложение в ряд. 25 р. н»рант ГЛ, Щ, ФОРМУЛА ТЭИЛОРА Простейший пример такого явления представляет функция у =У(х) =е 1~" при х+ 0 и У(0) =О, которую мы уже рассматривали в Дополнениях х главе П1, стр.
223. Эта функция и все ее производные непрерывны в любом интервале, даже в точке х=О, и мы видели, что в этой точке все производные равны нулю, т. е. У(Ю(0) =О. Следовательно, в формуле Тэйлора обращаются в нуль все коэффициенты аппроксимирующего полннома, какое бы число л мы ни взяли; иными словами, остаточныи член всегда равен самой функции н, следовательно, за исключением точки х = О, не стремится к нулю с возрастанием л, так как функция при всяком х ~ 0 имеет положительное значение. другая функция: у(х) = е Н~ при х < 0 и у(х) =0 при х) 0 — иллюстрирует возможность такого случая, когда ряд Тэйлора существует для положительных и отрицзтельных значений х (ои тождественно равен нулю), но представляет функцию лишь при положительных значениях аргумента х.
й 2. Общая теорема о разложимости в ряд Тэйлора функции, имеющей неотрицательные производные любого порядка. Биномиальный ряд Рассмотрим класс функций у(х), обладающик тем свойством, что в промежутке а (х (Ь все производные у (х) существуют н не(ь) отрицательны: У(~1(х))»О прн Ь= 1, 2..., Для функций у(х) этого класса остаточный член Й„формулы ТэйЛОРа СтРЕМИтСЯ К НУЛЮ ПРИ П вЂ” ьоо, КОЛЬ СКОРО Х ЛЕжИт В НитЕР- вале а ( х ( Ь, а Ь вЂ” в интервале х — Ь ( Ь ( Ь вЂ” х, и, следовательно, у (х+ и) разлагается при 'таких значениях х и Ь в бесконечный ряд Тэйлора (В) (стр. 369).
Докажем эту теорему. Для доказательства заметим, что из условия у'(х) )» 0 вытекает х ь О (,т (х) — $ (а) = ~ у'(г) И ( ~ у' (г) Н = $(Ь) — у (а) = М. л я По формуле Тэйлора для значений х и х+Ь, лежащих в промежутке от а до Ь, ( х ) .У(.+Ь) — У()=Г(х)Ь+ ... +- У' " Ь+Я. Допустим сначала, что Ь ) 0 или х ( х+Ь= $ ( Ь.
Тогда в сумме, стоящей в правой части, нет отрнцательнык членов; поэтому каждый отдельный член не превосходит выражения в левой части, а тем более не превышает числа М, откуда уЧЮ (х) М М л! ( ЬЯ = (х х)ч. ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч! Значение $= х+ Ь мы имеем право выбрать сколь угодно близким к К так что получается оценка у("! (х) М л! (З вЂ” х)А ' Эту оценку мы внесем в остаточный член, взятый в форме Коши, для чего придется подставить вместо х промежуточное значение х = х+ ОЬ. По формуле Коши О <)с„= (1,О) Ь" Ул+ )( +ОЬ)=Ь" '( +1) ~ (~)(1 — О)";- «= л! (в+1) ! следовательно, О <Я„<Ь""'( -+1) „„'"',„,.
(1 О)". з — х Ограничим значение Ь интервалом О ~( Ь < —, где р — какое-либо 1+Р ' постоянное положительное (но сколь угодно малое) число. Из неравенства Ь вЂ” х)~Ь(1+р) вытекает О (1„<МИ(л+1И1 — В)" „ или о<я.<мй(л+1)11 О ) . 1 — Е Так как д= + < 1, то д" (в+1) стремится к нулю при «-«со 1 — О+в (см. стр. 54), а следовательно, гс„— «О при л-«оо, если 0 <И<И вЂ” х. Тем самым доказана разложимость у(х+Ь) в бесконечный ряд Тэй лора при Ь)~0. При Ь < 0 сходимость )т„ -«О аоказывается с помощью записи остаточного члена в форме Лагранжа: ~)т„1= „+ !Ь('~~У("~')(х — 0 Ь!), где подставлено Ь= — )Ь), а Π— опять число, лежащее между 0 и 1.
Из условия 1'~~ )(х))~ 0 вытекает, что УЧ~ ь )(х) является воз- растающей функцией; пользуясь этим, а также данной выше оценкой для ~ ( ), имеем л! Ф"' ( — 8~~/~ А '>() м С .~.1)< «4.~Н « — )' < ~Л„~<м~,~"~ ) Отсюда видно, что )с,— «О, коль скоро ~ Ь ~ — Ь <И вЂ” х, ГЛ. Ш. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА 388 Может случиться, что' точка х лежит ближе к а, чем к М Так как, по доказанному выше, разложение 7 (х+ л) в ряд Тэйлора справедливо в интервале х — Ь < 8 < в — х, серединой которого является точка х, то ряд для 7(х+7г) представляет продолжение функции Г" (х), определенной первоначально в интервале а <х (8, на интервал 2а — 1) = а — (д — а) < х < а. Заметим еще следующее.
Полученные результаты остаютсн в силе, если в условии теоремы предполагать, что производные любого порядка гнл(х) )~ 0 только начиная с й ) ЛГ, а при л < Х знак 7" (х) может быть любой. 1(ля доказательства достаточно заменить функцию г (х) вспомогательной функцией д(х)=у'(х) — уЯ)+($ — х)7'(х)+ ... -+, 7" (х), где С вЂ” любое число, выбранное в интервале от а до д. Тогда при х=$ а при л ) Гу производные й'~ ~(8) = у~ ~($).
Поэтому полученные результаты справедливы для функции н(х), а следовательно, и для г'(х). На стр. 377 мы отложили исследование остаточного члена в разложении по формуле Тэйлора бинома 7(х) = (1 + х) . Искомый результат является почти непосредственным следствием только что показанной теоремы. Мы введем только маленькое изменение обозначения, а именно: вместо функции (1 + х) рассмотрим функцию ф(х) =(1 — х), которая имеет производные любого порядка <р' '(х) =( — 1)А а(а — !)(а — 2)... (а — л+ 1)(1 — х)" ".
Так как знак произведения а(а — 1) ... (а — )э+1) начинает чередоваться С того момента, как а — Й делается впервые отрицательным, то с этого номера !благодаря наличию множителя ( — 1)А) все дальнейшие производные ср!Ю(х) имеют одинаковый знак, если ограничить х сверху условием х < 1. Поэтому либо функция ф(х), либо функция — ф(х) принадлежит к рассмотренному выше классу функций. Здесь Ь = 1, в качестве же а можно взять любое число а < — 1.
Мы желаем получить разложение функции в окрестности точки х = О, так что ф(х+ л) =ф(й) =(1 — л) и, по доказанной выше теореме, 1с„— ьО при и-ьоо в интервале х — 8 < 7г <Ь вЂ” х, т. е. в интервале — 1 < 7г < 1, ибо здесь х=О н 8=1. Так как ф<ю(О)= =( — 1) а(а — 1)... (а — к+1), то ср(!!)='(! — Л) разлагается ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч! в промежутке — 1 ( И ( 1 в бесконечный ряд Положим теперь И= — х, так что х= — И.
Когда И принадлежит интервалу — 1 ( И (1, то и х = — И лежит в том же интервале — 1 ( х ( 1. Следовательно, формула 11+х)'=1+ ~ ( ) хг г-1 доказана для — 1 ( х ( 1. В 3. Приближение произвольных непрерывных функций миогочлеиамн и тригонометрическими суммами 1. Теорема Вейерштрисса. В $ 1 было показзно, что представление функции у(х) в виде ряда Тэйлора не всегда возможно даже в том случае, когда эта функция имеет производные любого порядка.
Однако, как показал Вейерштрасс, любую непрерывную функцию, о производных которой нет нужды делать какие-либо предположения, всегда возможно приближенно представить с какой угодно точностью многочленами. Повышение точности, естественно, требует, как и по формуле Тэйлора, повышения степени аппраксимирую>пего многочлена. Но и в этом отношении есть существенное различие между обоими методами. Улучшение приближения с помощью много- членов Тэйлора достигается одним только прибавлением членов более высокой степени к уже найденному многочлену Тэйлора более низкой степени. В противоположность этому, при желании улучшить приближение произвольной непрерывной функции по Вейерштрассу всегда необходимо заново определить весь аппроксимирующий многочлен. Отметим еще, что метод Тэйлора дает явные формулы, часто удобные для практического применения, между тем как излагаемая ниже теорема Вейерштрасса содержит только утверждение о существовании приближения ').
Эта т е о р е м а гласит: дана функция у(х), непрерывная е замкнутом интервале а(х (Ь, Тогда для любой заранее заданной граница точности е) 0 существует такой многочлен РГх), что ) у(х) — Р1х)~ ( е ') Последнюю фразу автора следует отнести не к самой теореме Вейерштрасса, а лишь х излагаемому ннже ее доказательству. Между тем существуют конструктивные доказательства этой теоремы; например, доказательство, данное академиком С.
Н. Бернштейном, исходит из явного построения аппроксимирующих многочленов !так называемых многочленов Бернштейна). См. Н. И. А х н е з е р, Лекции по теории аппроксимации, гл. 1, и' 20; В. Немыпкий, М. Слудскгя, А. Черкасов,, Курс математического анализа, т. 11, стр. 76, 1944. !Прим. перев.) Гл. ш. ФОРмулА тэилОРА во всем интервале а <х~(Е Степень этого многочлена, вообще говоря, неограниченно растет при е -« О, Мы докажем теорему Вейерштрасса методом Лебега, который приводит ее к частному случаю функции ) х ~. 2. Приближение функции !х ~. Это приближение можно полу- чить почти непосредственно на основе разложения по формуле Тэи- лора функции д (И) = 1 — у' 1 — И.
Используя биномиальный ряд для )/1 — И=(! — И)И, имеем СО 1Ч К(И) = ! — ~~ — И = ~ч", р,И'= ~ч; р,И'+ К (И), Ь-1 А=! )' 1') где коэффициенты ра=( — 1) ! И ! положительны. А1-1 2 ! Мы знаем, что у биномиального ряда !с„(И) — «О при и — »со в интервале — 1 < И 1. Мы сейчас покажем, что й„(И) — «О и в конечной точке этого интервала И = 1; точнее: для всякого заранее заданного сколь угодно малого числа е > 0 существует такое число М1 =И!1(е), что при 0< И < 1 и М)~Лг1 ! Й„(И) ! = Й„(И) < е, и, следовательно, функция 1 — у' 1 — И разлагается в бесконечный ряд. (Пояснение: при И > 0 й, (И) > О.! Для доказательства заметим, что функция л (И) непрерывна и монотонно возрастает при 0~(И~(1 и и(1)=1. Так как коэффициенты р„положительны, то при конечном Л! и 0-<И < 1 с1У(И)= ~л',1 рАИ < К(И) < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
