1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Вычислить ~ е ~ Лх с точностью до 0,01 (численным интегрвровао ияем). (Ср. стр. 092.) 1 лх 3. Вычислить с ошибкой, меньшей чем О,1 (численным Р 1+к4 о интегрированием). ф 2. Применения теоремы о среднем значении и формулы Тэйлора 1. Исчисление ошибок. В совершенно ином направлении находятся применения к приближенным вычислениям теоремы о среднем значении, нли, более общо, формулы Тэйлора с остаточным членом, или, наконец, бесконечного ряда Тэйлора.
Рассмотрим сначала в качестве простого, но практически важного примера исчисление ошибок. Оно опирается на лежащее в основании всего дифференциального исчисления положение, что любую функцию г'(х), дифференцируемую достаточное число раз, можно заменить в окрестности какой-либо точки линейной функцией, причем порядок малости погрешности будет выше первого, или целым многочленом второй степени, причем порядок малости погрешности будет выше второго, и т. д.
Рассмотрим линейное приближение функции у = ~(х). Если у+Лу = г(х+-Лх)= =у(х+Л), то по формуле Тэйлора имеем Лу= 1'(х)-+ "2' Га, где й=х+бл (0(бч..1) — некоторое проиежуточное значение, которое нам точнее неизвестно. Если Ь=Лх — малая величина, то мы имеем право пренебречь вторым членом и получаем Лу' у' (х) й. Иными словаии: отношение разностей приближенно заменяют производной, а приращение функции приближенно заменяют ее линейной относительно л частью, т. е. дифференциалом функции.
Это почти очевидное соображение применяется на практике следующим образом. Пусть две физические величины х и у связаны между собой соотношением у=г (х). Возникает вопрос: какое влияние окажет неточность в измерении величины х на определение величины уг Если вместо «истинной» величины х из наблюдений получается неточная величина х -(- л, то соответствующее значение у будет отличаться от истинного значения у=1(х) на Лу = у(х+ л) — г (х), Следовательно, погрешность приближенно выражается предылущим соотношением. 410 ГЛ. Ч»1.
О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИОЛГНИЯ [1 Если хотят увеличить точность, то достаточно вместо линейной функции взять по формуле Тейлора аппроксимирующий многочлен второй или более высокой степени, и тогда получатся поправки более высокого порядка и соответствующие оценки погрешности. Как применяются эти соображения, лучше всего выяснится на нескольких примерах.
Пример 1. Т а иге и с-галь в ан о метр. Производя измерения тангенс-гальванометром, пользуются формулой у =с [па, причем а означает угол отклонения магнитной стрелки, с — постоянную, характеризующую прибор, а у=l — силу тока. Имеем с »ту = — »[а соз' а и приближенно Ьу я — ба. Точность измерения в процентах выразится с соз» а так: 100 бу 100 сба 200 у с соз» а [[1 а яп 2а Ясно, что относительная точность будет наибольшей, т.
е. ошибке в измерении угла на величину Ьа будет соответствовать наименьшая возможная относительная ошибкз при определении силы тока в том случае, когда а = п[4, т. е. когда угол отклонения равен 45'. Например, пусть на приборе возможны отсчеты в 1/2 градуса; тогда, 1 выражан углы в радианах, имеел» [Ла[< — ° 0,01745 ..., и относительная 2 1,745 погрешность, выраженная в процентах, равна .' 2 . Если для а получен, яп2а ' ~з например, отсчет в 80', то яп2а= — = — 1,73205, и относительная по- 2 2 1,745 грешность равна 2 ', т. е. приблизительно 2я».
в, / вы / Рнс. 108. Пример 2. Пусть в треугольнике АВС (рнс. 108) стороны б и с известны точно, в то время как угол а = х может быть измерен лишь с погрешностью, збсолютное знзчение которой [Ьх[ < 6. Спрашивается: в каких границах лежит ошибка измерения длины у = а = об»+с" — 2бс соз а третьей стороны) Имеем 1 Ьа я — бс яа а Ьа; а Ц 4 3. НРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О ОРЕДНЕМ И ФОРМУЛЫ ТЭИЛОРА 41Г следовательно, относительная погрешность, выражеикая в процентзх, равна 100 Ла 100 ° Ьс Ип оба.
Если возьмем в качестве численного примера а аэ Ь = 400 м, с=500 м и о=60', то получаем у= а=458,2576 м и ЮОООО ~З 458,2576 2 если ошибка в измерении угла не превосходит 10", т. е. Ла=!О" илн, 4848 10 З раднанов, то Ла щ 1,83 см, т. е, точность составляет около 0,004%. П р и и е р 3. В атом примере мы покажем, как применение изучаемого метода к физическим задачам часто экономит много труда. Из опыта известно, что если железный стержень имеет длнну 1э при температуре 0', то при температуре 1 его длина будет 1 = 1э(1 +пг), где а в постоянная, характеризующая материал, из которого сделан стержень. Зная, что маятниковые часы показывают верное время при температуре 1„ определить, нз сколько секунд в расчете на сутки они отстанут, если температура поднимется до 1,7 Длв периода колебания маятника существует формула /1 л Т(1)=2л у —, откуда аТ= =а!.
й )' 14' Поэтому, если приращение длины маятника равно Л1, то соответствующее приращение периода колебания будет где 1, = 1э(1 + пг,) и Л1 = п(э(1, — 1,). Это ЛТ есть отставание за время одного колебания. Отставание за секунду будет лт)т Рл л1/215 следовательно, Л1 за сутки часы отстанут на 43 200 — сис. Наш метод приближения сэкономил здесь ряд умножений и два извле- чения квадратного корня. К тому же в более длинном прямом вычислении пришлось бы в конце из значения Т (1з) вычесть почти равное ему значе- ние Т (1,), и очень малан ошибка вычисления вызвала бы сравнительно большую относительную ошибку результата. (Именно такого рода обстоя- тельство делает вычисления прикладной оптики столь трудоемкими.) Как здесь, тзк и в большинстве случаев, когда рассматриваемая функция содержит несколько множителей или степени с дробными показателями, можно еще более упростить вычисления, если перед дифференцированием вззть предварительно логарифмы обеих сторон того равенства, которое со-.
бираются дифференцировать. Так, в рассматривземом примере имеем 1 1 !в Т = !и (2л) — —,! и Е+ — !п1, 2 2 отсюда дифференцированием получаем аТ г11 Т 21' 412 гл. чп. О методлх пРиближеннОГО Вычисления 13 После приближенной замены йг на 51 н гГТ на ЬТ н подстзновки значения 1 = 1, зто даст прежний результат ЕТ 51 Т 21, 2. Вычисление л. Ряд Лейбница и/4 = 1 — 1/3+ 1/5 — !/7+ ..., который мы вь1вели 1гл. ч1, 8 1, п'2, стр. Збб) из разложения в ряд лля арктангенса, неудобен для вычисления и вследствие медленного убывания членов ряда.
Однако можно получить сравнительно точный и не требующий большого труда способ вычисления и с помощью следующего приема. Из теоремы сложения для тангенса 1н1а-!-5)= гни+185 путем перехода к обратным функциям а = агс1Е и, 1 — !Яагер р = агстно получаем формулу агой и+.
агс1е о = агой и+о и+о Если выбрать и и о так, что = 1, то справа получается 1 — ио значение и/4. Пусть при этом числа и и о небольшие; тогда легко вычислить и левую часть равенства с помощью известного нам разложения арктангенса в ряд. Если, например, как это делал Эйлер. положить и=!/2, о=1/3, то получится и 1 1 — = агсги — + агс!и —. 4 2 3' 1 1 — +— 3 7 1 Палее можно использовать равенство 1 2' = —, которое дает 1 —— 21 агой — = агс18 — +- агс1н —; 1 1 1. 2 3 7' следовательно, и 1 1 — = 2 агсге — + агсгн — . 4 3 7' С помощью этой формулы Вега вычислил 140 знаков числа и, 1 1 + 5 8 1 Пользуясь равенством — = —, мы далее получаем 1 3' 1 —— 40 1 1 1.
агс1н — = агс1н — + агс1Š—; 3 5 8' следовательно, и 1 1 1 — = 2 агс!и — + агс!н — + 2 агс1н —. 4 5 7 8' 3! 4 е ПРименения теОРГмы О ОРеднем и ФОРмулы тэнлОРА 413 которая получается с помощью рассужаений, аналогичных предыдущим. [Последнюю формулу легче всего получить следующим путем. 1 1 Исходим иэ угла а=агс!д —, так что тпа = —. Вычисляем 5' 5 2!Еа 5 120 ! и !и 2а= = —, затем !е4а= —.
Далее, 1д! — — 4а! = 1 — Гйаа 12 ' 119 ' и 1 1-[-ге 4а 239 ' — — Следовательно, — — 4а = — агс!е — и 4 239 и 1 1 1 — = 4а — агс!и — = 4 агс!и — — агс1е —. Разлагая в ряд, получим 4 239 5 239 ' 3. Вычисление логарифмов. Для вычисления логарифмов целесообразно преобразовать логарифмический ряд 1 1+х х' х' 2 1 — +3+5+ для значений О ( х ( 1, путем подстановки 1+ х,о~ 1 — х рэ — 1' 1 2р' — 1 в ряд !и р = — !и (р — 1) [- — !и (р+ 1)+ — + .+ ..., 1 1 1 1 2 2 2ра 1 3 12рт 1)з причем 2рэ — 1) 1 или рэ) 1. Берем р)О. так что р) 1. Эта формула дает возиожность в том случае, когда р — натуральное число, а число р+ 1 составное, выразить логарифм числа р через логарифмы меньших чисел и ряд, Члены которого очень быстро убывают; этот ряд можно, следовательно, вычислить с достаточной точностью, взяв сумму только небольшого числа первых членов.
Таким образом, с помощью этого ряда можно последовательно вычислить логарифмы всех простых чисел и затем найти логарифм любого числа, если только предвзрительно вычислено значение !и 2. Что касается степени точности вычисления !и р с помощью этого ряда, то ее легко определить, не прибегая к общей формуле остаточного члена. Если при суммировании остановиться на члене ! и (2ра — 1)" ' Это выражение исключительно удобно для вычисления и с по- хЗ ха мощью ряда агс!дх=х — — + — — +...; в самом деле, подставляя 3 5 вместо х значения 1/5, 1/7 или 1!8, мы достигаем, взяв только несколько членов суммы, большой точности, так как члены ряда очень быстро убывают. Но можно, если угодно, еше значительно увеличить точность, исходя из формулы и 120 1 1 1 — = агс!е — — агс!д — = 4 агс!е — — агс!и —, 4 119 239 5 239 ' 414 ГЛ.
Ш!. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ то погрешность равна так называемому остатку ряда, т, е. сумме всех отброшенных членов. Обозначим этот остаток (он тоже ряд) череа г„.. Тогда и погрешность будет г„. Ясно, что 1 1 1 < 2) (2рг Цгтг ( (2ра Цг (2рг Цч ' ' ') ' Ряд в скобках есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна 1 (2рг — Цг 1 (2рг — Цг — 1 (2р — Цг Следовательно, 1 1 (и+2» дарг — Ц. (2рг н эта формула дает требуеиую оценку погрешности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
