1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 81

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 81)

Вычислим, например, 1и 7, используя два первых члена ряда. Имеем: р=7, 2рт — 1=97, п=3, 1п 7 = 2 !п 2 + —, 1п 3 + — + — + ..., 1 1 1 2 97 3 ° 97' 1 0,01030928, — 0,00000037, 3 ° 97г 2 !и 2 1,38629436, -1п 3 0,54930614; следовательно, 1и 7 1,94591015. Оценка погрешности дает 1 1 1 Гл < 5,97г 97 ! < 36.!ог Следует еще заметить, что каждое из четырех слагаемых получено с точностью до 5/1Оз, так что последний десятичный знак в указанном значении 1п7 может подвергнуться изменению еще на 2. В действительности же верна и последняя цифра.

Упражнения !. Для того чтобы намерить высоту холма, наблюдали с равнины стоящую на вершине холма башню высотой 100 гг. Угол возвышения основания башни над горизонтом 42', а сама башня была видна под углом 6'. Каковы границы погрешности в определении выеоты холма, если в измерении угла в 42' возможна ошибка до 1'7 2. Вычислить !л 2 с тремя десятичными знаками с помощью разложения в ряд. 3. Вычислить !и б с шестью десятичными знаками, пользуясь значениями !п2 и !пЗ, данными в тексте.

4. Вычислить и с пятью знаками после запятой, пользуясь любой из формул и' 2, стр. 412 — 413. 4 3. численное Решение уРАВнениЙ 415 ф 3. Численное решение уравнений В заключение добавим несколько замечаний о приближенном численном решении уравнения 1(х) = О, причем у (х) может и не быть целой рациональной функцией '). Все численные методы основаны на том, что исходят из какого-либо уже известного приближенного аначения хо одного из корней и это приближение затем улучшают. При этом не имеет существенного значения, как найдено это первое приближение искомого корня уравнения и каково его качество. Часто первое приближение получают с помощью грубого предварительного подсчета нли, лучше, по графику функции у=)'(х); точки пересечения графика с осью абсцисс дают искомые корни (с погрешностью, зависящей, конечно, от масштаба и от точности чертежа).

!. Метод Ньютона (метод касательных). Способ приближенного вычисления корня уравнения, данный Ньютоном, исходит из основной идеи дифференциального исчисления — замены кривой линии ее наса- тельной в ближайшей окрестности точки касания. Имея приближенное аначение хо корня уравнения Г(х) =О, рассмотрим, на графике функции у=г (х) точку (х,, г (хо)). Наша цель — найти точку пересечения кривой с осью абсцисс; в качестве приближения к этой точке найдем точку пересечения касательной в точке хо, у (хо) с осью абсцисс.

Абсцисса х, этой точки пересечения касательной с осью х будет новым приближением к искомому корню уравнения; при некоторых обстоятельствах х, будет лучшим приближением, чем х . Для того чтобы найти хн составим уравнение касательной к крквой у =)'(х) в ее точке хо, г"(хо): у — у (хо) =у'(хв)(х — хо). Координаты (х,, О) точки пересечения этой касательной с осью х должны удовлетворять этому уравнению, поэтому —.у(х.) = у'(х ) (х, -х.) Отсюда получаем формулу для нового приближения х,: у (хо) х! хо у'(хо) ' Тот же результат можно получить и непосредственно из рис. 109. Если новое приближение х, лучше, чем хо, то можно повторить этот процесс, подставив в последнюю формулу х, вместо хо и хз вместо х,, и таким образом найти дальнейшее приближение хз и т. д. Если кривая имеет внд, изображенный на рис. 109, то эти последовательные приближения будут все более и более приближаться к искомому корню.

Это связано с тем, что на рис. 109 кривая ~) Речь идет здесь только об определении действительных корней уравнения. 4!б ГЛ. ЧН. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ !2 обращена выпуклостью к оси х. На рис. 110 мы видим, что если, напротив, начальное значение хз выбрано неудачно, то наше построение отнюдь не приближает нас к искомоиу корню. Таким образом, полезность метода Ньютона существенно зависит от хода кривой у=(" (х), и для его успешного применения надо в каждой отдельной задаче исследовать степень точности приближения, Мы вернемся к этому вопросу на стр.

420. 2. Метод ложного положения (метод хорд). Метод Ньютона, в котором решающую роль играет касательная к кривой. является предельным случаем более старого способа, в ко~ором вместо касательной рассматривается секушая (хорха). ДоРис. !09. пустим, что нам известны две точки кривой у = у(х), (хе, уе) и (х,, у,), вблизи искомой точки ее пересечения с осью х. Если заменить кривую секущей, проходяшей через эти две точки, то при некоторых условиях точка пересечения (х2, О) этой секущей с осью абсцисс дает Рис. ! !О.

лучшее приближение к искомому корню уравнения У'(х) =О, чем хз и х,. В уравнение секущей Р,Р, (рис. 111) х — хч у — у (х,) х, — хч у (х1) — у (х2) подставляем координаты (С, О) точки ее пересечения с осью х:  — х, — У(х) х, — хд у (х,) — у (х,) и отсюда находим новое приближение ха = а: (х~ — х~) У (х~) хоу(х1) — х~у(хо) у (х,) — Г (х,) у (х,) — у (хр) 4 3. численнОе Решение уРАВнений 417 Эту формулу, опреаелчюшую по начальным значениям хз и х, следующее приближение В, можно с успехом применять в том случае, когда одно из значений фУнкции 7 (хз) и У (х,) положительно, а другое отрицательно, как, например, на рис. 1! 1, где /(хз) ) О, а у(х,) ( О.

Повторное применение этой формулы всегда улучшает приближенйе, если при каждом очередном шаге исходить из таких двух точек, которым соответствуют значения функции, различные по знаку. (Так, на риш 110 надо взять для следующего приближения пару точек х, и хз, а не хз и х,,) Между соответствующими абсциссами непременно должен лежать искомый корень. Последнюю формулу иожно привести к следующему виду: В = хо у (ха) у (х1) Х (ха) х, — ха Рис. 111 из когорого ясно, что данная выше формула Ньютона получается из этой формулы ложного положения как предельный случай, когда х, стремится к хэ Действительно, при х, -а хе знаменатель второго члена правой части имеет своим пределом у'(хе), и зта формула превращается в формулу Ньютона, Рассмотрим в качестве примера уравнение У(х) = х' — 2х — 5 О.

При х, = 2 зйачение у (ха) = — 1, при х, = 21 значение у(х,) =+ 0061; в качестве следующего приближенного значения берем 2 . 0,061 — 2,1 ( — 1) 0,061 — ( — 1) Теперь получаем у(а) гз — 0,028 < 0; поэтому подставляем далее з нашу формулу ха= 7, =-2,0943 и х, = 2,1. Тогда 4, ж 2,0946 и У (~, ) 0,00054. Подставляя теперь к = В = — 2,0943, х, = $, = 2,0946, получаем 4а = 2,09466, и это значение уже достаточно точное. 3. Метод итерации.

Еше один прием приближенного решения уравнения представляет метод итерации. Для его применения данное уравнение г" (х) О приводят предварительно к виду х =ф(х). 27 Р. Кураат 418 гл. чн. о мвтодлх пгивлнжвнного вычнслвния (3 Мы будем предполагать, что функция ф(х) им«ет непрерывную производную. Тогда исходят из подходяшего начального (нулевого) приближения х, которое часто можно выбрать произвольно в довольно широких границах, и по нему определяют первое приближение х, =!у(хе), затем второе приближение хт «ф(х,) н вообще (а+ 1)-е приближение х,, = <р (х„), а = О. 1, 2, ...

(2) Таким путем получается послеловательность значений хн хт, хз, ... ..., хв, ... Если зта последовательность сходится к пределу $: 1нп хвв=$, то и 1нп х„„,=з, и, совершая в уравнении (1) пре- И.«СО в-«сю дельный переход а-«со, получим $ =ф($), т. е. [, есть корень уравнения (1).

Этот метод и называется мел!одом итерации. [Итерация означает повторение.] Методы такого типа с успехом применяются и во многих других сложных проблемах анализа. Метод итерации быстро сходится при следуюшем очень общем предположении: если начальное значение х! выбрано в таком интервале') [а, Ь], окружающем корень $, в котором ]ф'(х)! < !у. где О < д < 1, то последовательность х„ сходится к корню $.

Лля доказательства исходим из того, что хе лежит в интервале ]а, б]; поэтойу — В=ф( ) — ф($) =(хв — В)ф'(() (по теореме о среднем значении), причем х лежит между й и х>, а следовательно, в интервале [а, ]т]. На основании сделанного предположения ]х! — Ь]<а]хз — В!. а стало быть, и х, лежит в [а, Ь], и повторение того же рассуждения дает ! хя — $ ! < Ч ! х! — й ! < Чв ! хв — Ь ].

После а таких шагов получаем ! х„— а ! < д" ! х, — $ !. Так как д"- О, то погрешность ]х„— Ц]-'-+О и х„— «$, а в атом и заключалось наше утверждение. Ясно. что чем меньше абсолютная величина ф'(х) в окрестности корня $, тем быстрее сходимость. [Из последнего неравенства вытекает и оценка погрешности. Так как ! хв — 8 ! < д — а, то ! х„— й ! < гУ'(]! — а).] Легко убедиться, что если в окрестности с значение ! гр'(х) ! ) 1, то процесс расходится и метод итерации бесполезен.

') Хотя корень $ н неизвестен, но во многих случаях такой интервал можно указать с самого начала. 4 3. численнОе Решение уРАВнении з1 419 Если известно, что в точке З выполняется условие )~р'Я))(1 илн, напротив, ) ф'($) ) ) 1, то в силу непрерывности производной ф'(х), отсюда вытекает существование достаточно малой окрестности точки $, в которой ~~р'(х)( 1 или, напротив, ! ф'(х)) ) !. Между тем в случае )~р'(з) )= 1 невозможно сделать никакого общего утверждения о сходимости или расходимости процесса итерации. Целесообразно.

особенно в более сложных случаях, где аналогичные процессы ведут к цели, осмыслить итерационный процесс с помощью понятия «преобразования» или «отображения». функцию у=ф(х) рассматривают как преобразование, которое каждой точке х числовой оси приводит в соответствие «иаображающую точку» у, которая, вообще говоря, отличается от х. Наш корень 9 уравнения х =ф(х) оказывается так называемой неподвижной точкой преобразования, и задача состоит в том, чтобы определить неподвижные точки. Процесс решения состоял в том, что определялось отображение х, начальной точки хе, затем отображение точки х, и т.

Характеристики

Список файлов книги