1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 85
Текст из файла (страница 85)
ь- ! 23 ж Ктььвт ГЛ. ЧЦ!. ЗЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ Итак, мы видим, что условно сходящийся ряд нельзя рассматривать как разность двух сходящихся рядов, олин из которых состоит из положительных членов данного ряда, а другой — нз абсолютных величин его отрицательных членов. С этим фактом тесно связано еще одно различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами, которое мы рассмотрим в следующем пункте.
6. Об изменении порядка членов ряда. Конечные суммы обладают теч свойством, что в них можно произвольно менять порядок слагаемых, не изменяя этим значения суммы. Возникает вопрос: каков точный смысл понятия об изменении порядка членов бесконечного ряда и изменяется ли прн этом сумма ряда? В то время как для конечной суммы имеет, например, вполне определенный смысл складывать слагаемые в обратном порядке, для бесконечного ряда такой возможности нет, так как не существует последнего члена, с которого можно было бы начать.
Изменение порядка членов бесконечного ряда будет означать лишь слелуюшее: говорят, что ряд аь+-а, -+ +аз+ ... переходит путем перестановки членов в ряд др+д,+ +Ьг+ ..., если каждый член а„первого ряда встречается ровно один раз во втором ряде, и обратно. Этот член может быть, например, тем далее сдвинут со своего места, чем больше и. Он должен только непременно встретиться где-либо в ряде с переставленными членами, причем в этом ряде встретятся, с другой стороны, некоторые члены первого ряда на местах, более близких к началу ряда. чем раньше.
Так, например. ряд ?+?2+ ?4+ ?3+!?г+ ?7+ ?в+ ?л+ ?16 получается путем перестановки членов из геометрического ряда 1+?+?'+ ". И вот в отношении изменения порядка членов ряда существует основное различие между абсолютно сходя1цимися и условно сходящимися рядами. Перестановка членов абсолютно сходящегося рада не нарушает его сходимости, и сумма ряда не изменнетсн, совершенно так же, как и у конечных сумм. Напротив, в условно сходящемся ряде можно всегда, путем надлежащей перестановки членов, придать сумме ряда произвольное значение и даже сделать ряд расходящимся, Первое предложение, относящееся к абсолютно сходящимся рядам, очень легко доказывается.
Допустим сначала, что наш ряд имеет только положительные члены, и рассмотрим и-ю частичную сумму и з„=,~.", а„. Все слагаемые этой суммы, безусловно, встретятся в т-й Ь-1 частичной сумме 1,„ = ~ Ьь ряда, полученного путем перестановки Ь-1 членов. если только выбрать достаточно большое значение т. Тогда )~ з„. С другой стороны, можно по индексу т выбрать настолько 8 к понятие сходимостн и нлсходнмости е! большой индекс и', чтобы в частичной сумме з„= ~~'.~ а„первонаэ-! чального ряда содержались все слагаемые Ьн дт, ..., д .
Следова- тельно, 1 ( з„' ( з, где г — сумма исходного ряда. Вместе с тем зэ (ум (г, а так как !низ„=г, то и 1!ш у,„=з, т. е. ряд с пере- мещенными членами тоже сходится. и сумма его равна сумме перво- начального ряда. Если абсолютно сходящийся ряд содержит как положительные, так и отрицательные члены, то его можно рассматривать как раз- ность двух сходящихся рядов с положительными членами. При изме- нении порядка членов нашего ряда в каждон из этих двух рядов члены также подвергаются перестановке, что, по доказангюму. не изменяет суммы каждого из них; поэтому сходится и новый ряд, и его сумма равна разности сумм этих рядов; таким образом, теорема доказана и для общего случая.
Начинающему только что доказанное предложение может показаться . само собой разумеющимся. Что это положение нуждается в доказательстве и что доказательство существенным образом опирается на ибсолютнуа сходимость ряда, можно показать на примере условно сходящегося ряда, где дело обстоит совершенно по-иному. Ьерем ряд, с которым мы уже встре- чались, 1 1 1 1 1 1 1 1 — — + — — — + — — — + — — — + — ... =!п2, 3 4 5 6 7 8 умножаем обе части этого равенства на множитель 1!2 и пишем полученный ряд под исходным так: 1 1 1 1 1 2 4 ' 6 8 ''' 2 — — + — — — + — ". = — !П2. Сложим теперь оба ряда почленно, соелнняя вместе члены, стоящие друг под другом; в результате получим 1 1 1.
1 1 1 1 1 3 + 3 — 2+ 6+ — — 4+ — + — — -+ ." = — !п2 7 4 9 11 6 ''' 2 Но этот ряд можно, очевидно, получить из первоначального путем перестановки членов; выходит, что от перестановки сумма ряда умножилась на 312. Легко себе представить, какое впечатление должно было произвести открытие этого кажущегося парадокса на математиков ХЧ!!! столетия, которые привыкли оперировать с бесконечными рядами, не обращая внимания на характер их сходимости. Приведем теперь доказательство сформулированной выше теоремы об изменении суммы условно сходящегося ряда при изменении порядка расположения членов, хотя этим результатом нам в дальнейшем пользоваться не придется.
Пусть рн рт, ... — положительные члены, а — дн — дт, ... — отрицательные члены ряда. Так как абсолютная величина ~ а„) с возрастанием и стремится к нулю, то и числа р„и д„с возрастанием и стремятся к нулю. Выше мы видели, что 28э ГЛ. РП!, БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ !б 436 ряды ~ р, и .~~~ !у, должны расходиться. Теперь мы можем найти -1 -1 так>ю перестановку членов данного ряда, чтобы новый ряд имел произвольную сумму а, Для определенности предположим, что а) бе Выпишем первые а, н, положительных членов ряда, выбрав и, так.
чтобы сумма ~ч", р» 1 л, л-1 была как раз больше, чем а, т. е. так, что ~~'.~ р» ) а, а ~~'., р» ( а. 1 1 л~ Так как ~ р» безгранично возрастает вместе с а,, всегда возможно 1 сделать частичную сумму больше а, взяв достаточное число членов. Тогда частичная сумма будет отличаться от а самое большее на рл. ль Теперь добавим столько отрицатсл»нмх членов — ~~'.~ !у», что сумма 1 л л, '~', р» — ~~'., 11» будет как раз меньше, чем а; из расходимости ряда 1 1 ~', !у» вытекает, что и это возможно. Разность между а и суммой ! выписанных членов не превышает теперь д . Добавим теперь как раз Фл~ »Р столько следующих положительных членов ~ р», что частичная л,1-! сумма сделается опять больше, чем а; это тоже возможно, так как ряд, составленный из положительных членов, расходится, Разность между частичной суммой и числом а теперь не превосходит р .
Теперь Лр ль добавляем достаточное число отрицательных членов — ~~~~ о», сле- »1„.1 дующих за последним из ранее взятых, чтобы снова сделать частич- ную сумму как раа меньше, чем а. Этот процесс мы продолжим без- гранично. Значения полученных при этом частичных сумм будут колебаться около числа а, и после достаточно большого числа шагов колебание будет совершаться в сколь угодно тесных границах: так как р» и !у» стремятся к нулю при безграничном возрастании ин- декса и, то размах колебания тоже будет стремиться к нулю. Итак, теорема доказана. Тем же путем можно достигнуть такого изменения порядка чле- нов ряда, что он станет расходящимся; для этого надо каждый раз брать так много положительных членов по сравнению с отрицатель- ными, что взаимной компенсации уже не будет.
~Можно сказать, что переместительное свойство конечных сумм не распространяется без оговорок на бесконечные ряды, — мы только $1. ПОНЯТИЕ СХОДИМОСТИ И РАСХОДИМОСТИ 43т что убедились, что этим свойством обладают только абсолютно сходящиеся ряды. Между тем сочетательное свойство конечных сумм распространяется в определенном смысле на все сходящиеся ряды) оно выражается следующей теоремой: Если произвольно выбранные группы соседних членов сходя- и!егося ряда а1+ аз+ аз+ ° ° ° + а„+ заключить в скобки (не изменяя порядка членов), так что полу- чится новый ряд (а!+а«+ ... + а„)+(аь «1-+ ... +а„) + ...
... +(аь~ Ь1+ ... +а„)+ членами которого являются суммы групп соседних членов данного ряда, то новый ряд сходится а имеет ту оке сумму, что и первоначальный ряд. Доказательство очень просто. Обозначим частичные суммы данного ряда через зн а частичные суммы нового ряда — через 51. Ясно, что частичные суммы нового ряда О! =В» ОТ=в« ° ° О«=З« ° ! ь "«' составляют подпоследовательность последовательности частичных сумм вн вг, ..., в„, ... исходного ряда, а потому имеют тот же предел з.) Упражнения 1 1 1 1 1. Доказать, что лты Д(Д+1) 1 ° 2 2 ° 3 3 ° 4 = — + —.+ —,+ ".
«-1 ОЭ 1 1 Х а(а+1) («+2) 4 ' «-1 3. Доказать, что 7 ( — 1) =1. «-о 4, При каких значениях а сходится рад 1 — — + — — — + —...у 1 1 1 2" Зь 4ь 5». локазать, что если сходится ряд ~ч', аю а за= а1+а«+ " +ал «-1 то последовательность + + ° "+е, Ф также сходится и ее предел равен сумме данного ряда ~ч~~~ а«. «-1 гл. чш. ввсконнчнын аиды %~ ( 2п 2п — 11 6. Выяснкть, сходится лн ряд т л'412л+1 2п )' ь 1 Ф т Выяснить, сходится лн ряд 1 1 — 1) а а+1 Ь 1 В 2. Исследование сходимости и расходимости ряда В предыдущем параграфе мы вывели признан сходимости общего характера, относящийся к знакочередующимся рядам.
члены которых по абсолютной величине убывают; этот признак дает возможность установить по крайней мере условную сходимость таких рядов. -'Теперь мы займемся выводом признаков, касающихся лишь абсолютной сходимости. 1. Принцип сравнения рядов. Все исследования сходнмостн такого рода основаны на том, что изучаемый ряд сравнивают с другим рядом, члены которого по абсолютной величине больше членов данного ряда; этот второй ряд подбирают таким образом, чтобы вопрос о его сходимости разрешался просто. Общий принцип .сравнении рядов можно выразить следующим образом: если ряд Ь1+ Ьг+ Ьз + все члены которого положительны, сходится и если при любом .значении и ~ а„) (Ь„, Ф то ряд ~~~~~ а„сходится абсолютно. в-1 Доказательство с помощью критерия Коши почти очевидно. Действительно, )а„+...-+а )((а„~+...+)а !(Ь +, .+Ь Так как ряд ~~'.~ Ь„сходится, то при достаточно больших значениях л-1 т и п правая часть сколь угодно мала; следовательно, прн этих значениях т и и и левая часть произвольно мала, и, согласно критерию Коши, данный ряд сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
