1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Значение этой теоремы станет яснее, если вспомним, что сумма неравномерно сходящегося ряда непрерывных функций, как мы видели на примерах, отнюдь не является обязательно непрерывной. Из последней теоремы можно вывестн и следующее заключение: если сумма сходящегося ряда непрерывных функций прерывна в некоторой точке, то в любой окрестности этой точки сходимость ряда неравномерна. Следовательно, представление прерывных функций с помощью рядов непрерывных функций как раз и основано на применении неравномерно сходящихся рядов.
4. Интегрирование равномерно сходящегося ряда. Сумму конечного числа непрерывных функций можно «интегрировать почленно», т. е. интеграл суммы можно получить, интегрируя каждую функцию в отдельности и складывая полученные интегралы. Для сходящегося ряда функций, т. е. для бесконечной суммы, этот прием также законен, если ряд сходится равномерно в промежутке интегрировашш. 4! з 4. РАВНОМЕРНАЯ И НЕРАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСть 455 равномерно сходящийся в некотором интервале ряд непрерывных функций ~ч~~ дь(х) =Г (х) можно в этом интервале почленно Ь=1 интегрировать. Точнее: если а и х — любые два числа этого интервала, то ряд ~~ ) дь(г) дг сходится, притом равномерно Ь 1 а относительно х (при фиксированном а), и сумма его равна к ) у(г) 4(с. а Для доказательства напишем, пользуясь предыдущими обозначениями, у (х) = ~ дь(х) =ге (х)+ Й„(х).
По условию каждый из членов ряда является непрерывной функпией; следова~ельно, и сумма у(х), по теореме предыдущего и', непрерывна в данном интервале и поэтому может быть проинтегрирована. Далее, для любого наперед заданного г > О всегда можно выбрать число и столь большим, чтобы во всем интервале имело место соотношение !)с„(х) )( г, а вместе с тем и (у (х) — ~л(х)) (е. По первой теореме о среднем значении интегрального исчисления имеем ) У (() — У. (г)1 дг ( е(, а где ! — длина промежутка интегрирования; но так как интегрирование конечной суммы ул(х) мы имеем право выполнять почленно, к л к то ) ул(г)йс = )' )' дь(г)дг и Ь-1 а к л к ) У(г)с(с — ~~~~ ) А"ь(г)йг а.е!.
а Ь=1 а Приближая е неограниченно к нулю и тем самым увеличивая неограниченно и, мы отсюда получаем теорему о возможности почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда: со к л к к ~ яь(~)д1=!!ш ~ ~ дь(()с((= ~ У(~)гй. Ь-1 а Ь 1 а а !4 Гл, чць Бнсконнчные Ряды Если речь идет не о рядах, а просто о пределе последовательности У (х) = й ш 7 а (х), то наш реаультат можно выразить следующим образом: Если а некотором интервале последовательность фунгсций У,(х), Уг(х), ... стРемитсЯ РавномеРно к фУнкЦии 7" (х).
то ь ь ь Пш ~ 7'а (х) а'х = ~ ! ! ш у„(х) дх = ~ у (х) с!х, а-Эсс а.+со а а а если только а и д лежит в атом интервале; иными словами, в атом случае можно поменять местами операции интегрирования и предельного переходи (или: предельный переход можно выполнить под знаком интеграла). Этот факт отнюдь не является очевидным с самого начала. Правда, с наивной точки зрения, господствовавшей вплоть до Х!Х столетия, едва ли возникают сомнения в возможности изменения порядка этих операций, однако одного взгляда на примеры о' 1 етого параграфа достаточно, чтобы убедиться в том, что наше утверждение в случае неравномерно сходящихся рядов или последовательностей функций может оказаться неверным.
Достаточно рассмотреть пример 2 (стр. 449). Здесь интеграл предельной функции равен нулю, в то время как интеграл от функции у (х), взятый в пределах от О до 1, т. е. площадь треугольника на рис. 117 (стр. 449), имеет значение га (х) с!х = па г е и, следовательно, в случае и~2 не стремится к нулю. Мы здесь непосред- 1 1 СтВЕННО ВНДИМ, Чта ПРНЧИНа НЕСОзнаДЕНИЯ ЗНаЧЕНИЙ ) 7(Х) ил И !ИП ! уа(Х)йк «.+сс ~ ь о лежит в неравномерности сходнмости. С другой стороны, в случае 1 (а < 2 обнаруживается, что, несмотря на неравномерность сходимости, может иметь место равенство 1 1 1!ш ~ уа(х) Лх= ~ у'(х) их.
а.+ ас о ь То же обнаруживают и другие примеры, приведенные в и' 1. Можно, например, почленно интегрировать в пределах от О до 1 ряд ~ч~', ла(х), где о кь(х) = 1 и ка (х) = хл — х" прн п,ь1, несмотря на неравномерную сходииость етого ряда, т. е. мы получим таким путем правильный результат, Итак, равномерность сходимости является достаточным условием возможности почленного интегрирования, ио ни в коем случае не является необходимым условием. На атот пункт надо обратить внимание, чтобы избежать недоразумений.
Э1 4 е РАВВОмеРВАя и неРАВнОмеРБАя сходнмость 457 б. Дифференцирование бесконечного ряда. По отношению к дифференцированию равномерно сходящиеся ряды или последовательности функций ведут себя иначе. чем по отношению к интегриз!и пг ч рованию. Например, последовательность функций ув (х) =— и равномерно сходится к предельной функции у(х)=О, но производные у„'(х)=п созпгх с возрастанием п совсем не стремятся к производной от предельной функции г'(х) =О; например, этого не будет при х = О. Следовательно, несмотря на равномерность предельного перехода, мы не имеем права изменять порядок операций дифференцирования и перехода к пределу.
То же самое относится и к бесконечному ряду. Например, ряд з!и 2'х з!и 3!х з1пх+ р + й, + абсолютно и равномерно сходится в любом промежутке, так как члены его по абсолютной величине не превосходят членов сходяще- 1 1 1 гася Ряда 2 +-у-+3 +". Однако, дифференцируя предыдущий ряд почленно, получим ряд соз х+ 2г соз 2гх + Зг соз 8"х+ ..., который, очевидно, даже сходится не во всех точках; так, например, при х=О этот ряд расходится, так как члены его не стремятся к нулю. Единственный удобный критерий, который в конкретных случаях позволяет установить. что почленное дифференцирование законно, представляет следующая те о р ем а: если при почленном даффврвнцировании сходящегося бесконечного ряда ~~~~ Ов(х) = р(х) в-о получается равномерно сходящийся ряд непрерывных функций ~ яв(х) =/(х), то сумма последнего ряда представляет производную от суммы первого ряда. Таким образом, условие теоремы ясно требует, чтобы после почленного дифференцирования мы еще убедились в том, сходится лн полученный ряд равномерно.
Докаватальство теоремы почти очевидно. В самом деле, на основании и' 4 ряд, полученный путем дифференцирования, можно почленно интегрировать в нашем интервале, причем верхний предел х ГЛ. тгн!. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ 458 можно оставить неопределенным. Принимая во внимание, что а (1) = О'(!), получаем, таким образом, к .с у са со к () ~(!) ( = ~ ~Д й,(!)~ (1 = „У', ~ а,(!) (! = а а Я-О » Оа = ~ [О»(х) — Оя(а)! = гч(х) — то(а), Так как это верно при всех значениях х нз интервала равномерной сходимости, то у (х) = г' (х), как мы н утверждали.
Упражнения !. Путем сравнения с рялом нз постоянных членов показать, что ниже- следующие ряды сходятся равномерно в указанных интервалах: 1 11, а) х — х'+х' — х'+ — ... ! — — а х ( — 11 2 '2,)' 1 — 1 —, 1 к „1 б) — )к! —,!'+ — ~'! — х + — У 1 — хл+ ... +- — У'! — хги.( 2 4 8 ''' 2и ( — 1 (х~(1); з1п х з!и 2х мп пх в) 1, + ' 2, + ... + —,+ ...
(в любом интервале); г) ек+е'к+ ... +ели+ ... ( — 2 (х ( — 1). лх 2. Доказать, что если уи (х) =,, ( — 1 ° х(1), то йш у (х) = б. Доказать, что сходнмость неравномерна. и'х' 3*. а) Дано Уи (х) =,, ( — 1 <х <1); найти !пп Ул(х). Доказать, 1+ и'х' л -г ии что эта сходнмость неравномерна. Доказать, что тем не менее 1 ! !пп ~ уи(х) асх = ! !нп уи(х) стх. и.» са с лаос -1 — 1 вахт б) Исследовать поведение последовательности уи(х) = „ в от- 1+ и "хг ношении сходимости, равномерной сходимостн и законности предельного перелопа под знаком интеграла.
хги 4'. Построить кривые у =уи(х) =,л ( — 2(х~2) прн и =1,3,10. Найти 1йп уи(х). Доказать, что слодимость неравномерна. Л-1С. И 5. Показать, что ряд ~~', е (к и! сходнтсн раввомернов любом фиксии -са рованном интервале а (х ( 6. 6. Показать, что нижеследующие последовательности сходятся в интер- вале О ( х ( и, но не равномерно: и л а) ) юп х; б) (з1п х)"; в) )Гх з1пх; % з.
сткпннныя гиды г) [у(х)]", где г" (х) = при х + О, У(0) = 1; мих з1п х д) Г'7(х), где У(х) = — при х+ О, У(0) = 1. х 7, Последовательность Уэ(х) опРеделена в иитеРвале 0 < х < 1 Равен- ствами у(*) 1 у.(ч-1 У,-Т4 Р -22.3... а) Доказать, что в иятервале О <х < 1 эта последовательность сходится к непрерывной предельной функции. 6)* Доказать, что эта сходимость равномерна, й'. функция уо(х) непрерывна в интервале 0 < х < а.
Последовательность функций у„(х) определена равенством к У (х)= ~ У -~ (1)лб о л=1, 2, Доказать, что эта последовательность сходится равномерно к нулю в любом фиксированном интервале 0 < х ~( а. О. Построить (в общих чертах) кривые х~" +уса=1 при и=1, 2, 4. К какой предельной кривой стремятся эти кривые при л-ьжз 1О*, Дана последовательность функций ул(х) (л=1, 2, ...), имеющих непрерывные производные при а <х <Ь. Доказать, что если Г„(х) скодитса в любой точке интервала н неравенство (У„'(х) ! < М (где М вЂ” постоянная) выполняется при всех значениях и и х, то эта скодпмость равномерна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
