1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Что эта сходимость абсолютная, вытекает из того, что наше рассуждение обнаруживает заодно и схо.димость ряда абсолютных величии ) а,!. Предоставляем читателю доказать следующее предложение: Если ) а„!)~Ь„) О, 2! 2 2, исследОВАние сходимости и елсходимости гядл .цд а ряд ~'„дл расходится, то ряд ~~.", ал не может абсолютно л 1 л сходиться. 2. Сравнение с геометрическим рядом. При пользовании этим принципом в качестве ряда для сравнения чаще всего берут геометрический ряд.
Тогда непосредственно получается следующая те о р е ма: Ряд ~~~~ а„абсолютно сходится, если, начиная с некоторого л-1 члена, постоянно имееа место соотношение вида !а„!(со', (1) где с есаь не зависящее от и положительное число, а г) — любое положительное число, меньшее единицы. Обычно этот критерий дается в одной из следующих двух более слабых формулировок. Ряд ~~", ал сходится абсолютно, если, начал 1 ная с некоторого члена. имеет место соотношение вада ! — '.'! !Па) где а — не зависящее от и положительное число, меньшее единицы, или если, начиная с некоторого месаа, справедливо соот- ношение М! .! <б, (ПЬ) гдеО(а(1. В частности, условия втих признаков сходимости всегда выполнены, если существует соотношение вида ') Пгп !'л+~ ~=я(! 1П!а) или соотношение видаг) л Пш р' ! ал ! = к < 1. !П! Ь) 1) Так называемый признай сходнмостн )!аламбера.
2) Так называемый признак сходямостн Коши. Доказательство этих утверждений очень легко получить следующим образом. Пусть критерий !Па), основанный на рассмотрении отношения двух последовательных членов ряда, выполняется. начиная с некоторого индекса ле, т. е. при п)~ив.
Тогда мы для краткости. полагаем алы и = ди и имеем !д1 !<Ч!дз! !дг!(Ч!д1 ! <Ч'!дз! !дз! < Ч!дг! < Ф!до! Гл. Рш. БескОНечныЕ РЯДЫ и т. д.; следовательно, что и доказывает наше утверждение. Для критерия (ПЬ), основанного на рассмотрении корня, непосредственно имеем ( а„! ( д", т. е. наше утверждение правильно. Наконец, чтобы доказать признаки (П!а), и (П!Ь), выберем произвольное число д, удовлетворяющее условию а ( у ( 1. Тогда, начиная с некоторого лз, т.
е. при и > аз. обязательно и ~ — "'"' ~(~у или рс!ал! (д, .так как числа — и у~)ав! прн достаточно большом значении и сноль угодно мало отличаются от й. Таким образом, на основании признаков (Па) и (ПЬ) признаки сходимости (П!а) и (П!Ь) доказаны. Обратим внимание на то, что эти четыре признака сходимости, полученные из первоначального критерия (а„~ ( ср", не равносильны друг другу и не равносильны первоначальному критерию, т.
е. онн не вытекают взаимно друг из друга. Если для некоторого ряда выполнен один из этих признаков сходимости, то это ни в коем случае не значит, что для этого ряда выполняютсн и все остальные прививки, как мы вскоре увидим на примерах '). В дополнение заметим еще, что ряд обязательно расходится. если, начиная с некоторого члена, (а„!) с, где с — некоторое постоянное положительное число, или р'~а„~ ) 1, или когда !йп ~ — "" ~=А > 1 либо Игп ~Г) а„~ =й.> 1. х-+со ~ п.+о В самом деле, легко видеть, что у такого ряда члены с возрастанием а не могут стремиться к нулю, следовательно, ряд расходится. (В данном случае не может быть речи и об условной сходимости.) Впрочем, наши признаки представляют только досглавгочные услпвия абсолютной сходимости ряда, т.
е. если они выполнены, ') Точнее. нз (И!а) вытекает (Иа), нз(!ИЬ) вытекает(ИЬ) нз(1Иа)(И!Ь), нз (Иа) — (ИЬ); если зыполвен один из этих четырех признаков, то выполняется н критерий (1). Однако нн одно яз этих утверждений не может быть обращено. з! а а исслкдовлиив сходимости и плсходимости пядд. 44у то можно заключить, что ряд абсолютно сходящийся. Но они ни в коем случае не являются необходимыми условиями, т. е. можно найти абсолютно сходящиеся ряды, для которых эти условия нв выполняются. Например, нельзя уже сделать никаких общих утвер кдений, если л !Вп ~ ал" ~=1 или 1!щ ~/~а„~ =1. ал л +со Такие ряды могут быть или сходящимися, или расходящимися. Например, гармонический ряд (стр. 429) л-1 л для которого !!щ у'!а,) =1 и 1пп — "' =1, является, как мьа ал '-! сс.Ф л.+со "л раньше видели, расходящимся.
С другой стороны, мы вскоре увидим, что ряд Х 1,, л 1 для которого выполняются те же соотношения, сходится. В качестве примера на применение наших признаков сходнмости рассмотрим сперва ряд ~у + 2сус + Зяс -!- ... + вул -!- ... Имеем !1щ г' ! ал ! = ! а ! 1йп г' и = ! 4 ! !йп ~ „~ = ! 4 ! !йп — „= ! д !. алос ! л+1 л.+со Что ряд сходится абсолютно при ! а ! < 1, следует как из первого, так и нз второго признака, даже в их более слабой форме (П!а, й). Если же мы рассмотрим ряд 1+24+ яз+2дз+...
+4сл+24слзс+..., 1 то мы уже не можем решить вопрос о его сходнмости при — < 1су! < 1 2 с помощью признака, основанного на рассмотрении отношения последовательных членов, так как тогда ~ — "т — лв — ! = 2 ! 1! > 1. Напротив, критерий, основанный на рассмотрении корня, сразу дает л йлп Гс! ал ! = ! 4 ! л +со ГЛ. ЧП!. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ 442 н обнаруживает сходимость ряда прн 14~ < 1, что можно было, конечно, и непосредственно заметить. 3. Сравнение с интегралом '). Наряду с только что проведенными исследованиями сходимости существует еще другой метод иссле.дования, не сводящийся к предыдущему и имеющий самостоятельное значение, Проведем этот метод ис- У следования на наиболее простом и важном примере ряда иыа и» 2» 3» 1 1 1 и 1 в котором общий член аи равен 1/л", где а в некоторое положительное число.
Для того чтобы исследовать сходимость или расходимость таких рядов, представим себе кривую у= 1/х» и отметим на оси х целочисленные абсциссы х=1, х=2, ... Поту 1 ж строим прямоугольник с высо- той 1/и» сперва над отрезком оси Рнс. 114. абсцисс и†1(х (л, а затем над отрезком а < х < а+ 1 и сравним пло!цадь этого прямоугольника с площадями двух криволинейных трапеций (заштрихованных по-разному на рис. 114), ограниченных теми же отрезками оси х, ординатами в конечных точках и вырезаемыми ими дугами кривой у = 1/х».
Площадь первой криволинейной трапеции, очевидно, больше, а площадь второй меньше площади прямоугольника, которая равна 1/л». Иными словами, иь1 л и и-! что можно, конечно, вывести и пе прибегая к чертежу, из свойства интеграла (см. гл. П, ф Т, п' 1). Подставим сюда последовательно а=2, л=З, ..., а=л! и сложим почленно полученные т — 1 неравенств; тогда мы получим для ль-й частичной суммы 1~~ 1 л 1 оценку (А) ') См, так!не Дополнение к гл. !111. з) э а исследОВАние сходимости и РАсходимости РядА 443 8, и' 8, стр, 289), что с возраста- Но мы знаем (см. гл, 1Ч, Э пнем т интегралы ззь! и 1 лх 2 стремятся к конечному пределу или возрастают неограниченно, смотря по тому, будет ли а > 1 или а~(1. Следовательно, монотонно возрастающая последовательность о будет в первом случае ограниченной, а во втором случае — неограниченно возрастающей.
Мы получаем отсюда следующую т е о р е м уз ряд л-1 сходится в том и только в том случае, когда а > 1. расходимость гармонического ряда, которую мы раньше доказали другим путем, нвляется, как видим, непосредственным следствием этой теоремы. В частности, нз этой теоремы следует также, что рялы 1 1 1 1' + 22 + 3' + 1 1 1 — + — + — + !з 2з Зз сходятся. Из иерзвеиствз (А) прн а = 1 непосредственно вытекает, что последоза- 1 1 1 тельность чвсел с„= 1-]- — + — ]- ...
+ — — !и л ограничена снизу. С дру- 2 3 ''' л 1 гой стоРоны, е„э, — с„= — — (1п (л-]-1) — 1пл], Но л+1 ЛЭ1 лэ1 !п(л+1) — !ил= ~ — > Г дх 1 Г ьгх = 1 х л+1 г л+1 чст ! Только что исследованные на сходимость ряды ~ — в свокз ,йв к л 1 очередь часто применяются как ряды для сравнения при исследовании сходимости. Например, непосрелственно ясно, что ряд т — при, '~т с„ а л 1 а > 1 сходится абсолютно, если только абсолютные величины ~ е,] коэффициентов остаются меньше некоторого постоянного, не зависящего от л числа Л4.
ГЛ. ЬЧН. ВЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ 444 1 т. е. !п(п+!) — !и л > —. Следовательно, ель, < сл и последовательи+1 тесть с„монотонно убывает с возрастанием и. Стало быть, она сходится к некоторому пределу С; Пщ ел= 1ип (1+ — + — +... + — — !ил) С. 1 1 1 л-; ль 2 3 ''' л Это число С, равное 0,5772 ..., называют эйлеровой лостояияой.
Вотличие от других замечательных чисел анализа, вроде г или и, для постоянной Эйлера ие удалось найти другие выражения, имеющие простой закон образования. [Рассуждения, проведенные в атом пункте для конкретного ряда частного вида, можно провести в общем виде для любого ряда а, +а, +а,+... ... +ел+ ..., общий член которого задан как Функция индекса и: ал = Г (и). В результате получается своеобразный так называемый интегральйый признак сходимости, устанавливающий связь между сходимостью ряда и сходимостью некоторого несобственного интеграла.
См. Ф и х т е н г о л ь ц. Основы математического анализа, т. И, гл. 15, й 2; Смирнов, Курс высшей математики, т. 1; Бе р м а ит, Курс математического анализа, т. Ц ,У п р а ж н е н и я Исследовать на сходимость ряды, данные в упражнениях 1 — б. 4'. лты —, где а — постоянная. л'л' !+я' л'4 (!пи)л ' л-1 л т ~ч)ч~ и! л-1 1 Х (!и и)!ля ' 6. л 1 — 9.
)~~~ — л. 10. л 1 л 1 1! 11. Доказать, что ряд ~) з!па ап (л+ — ~~ сходится. л 1 12. Сходитсв ли ряд ~' е ", т. е. ряд 1+2~а л) л ! 13'. Доказать, что ряд у 1 „сходится при а > 1 и расходится при и (!и и) ы~(1. ~1ц л-л В упр. 7 — 10 оценить Х ( — 1)"М и' л 1 погрешность, если ограничиться и членами ряда. н 4 !. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ И РЯДЫ ФУНКЦИЙ 445 1 14". Доказать, что ряд У, сходится при а > 1 и расхоа ° л!и л (!П!и л)а дится при а<1.
15. доказать, что если и!>О (1=1, 2, 3, ...) и ряд ~у и1 сходится, 1=1 то н ряд ~~) й сходится. ! 1 15. Показать, что если ряды ~аз и д Ьл оба сходятся, то и ряд л-1 а-1 аАЬА сходится. Х А-1 17. Доказать, что 1 2 ! 1 .2 1 1 1+ — — — + — + — — ' — + — + ... + — + 2 3 4 5 б 7 ''' За+1 +.—— 1 2 За+2 За+3 +... =!ВЗ.
1Зч. Доказать, что если л есть любое целое число, большее единицы, то Х (а! а — =!Вл, ч т 1 где числа а!"! определяются следующим образом." 1, если л ие является делителем индекса у, — (л — 1), если л является делителем индекса ю й 3. Последовательности функций и ряды функций 1. Общие соображения. До сих пор мы рассматривали ряды, члены которых были постоянными числами; поэтому и суммы этих рядов, если они сходились, представляли постоянные числа. Но как для теории, так и для приложений особенно важны такие ряды, члены которых являются функциями некоторой переменной и суммы которых вследствие этого также являются функциями той же переменной; таковы, например, рассмотренные в шестой главе ряды Тэйлора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
