1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 83
Текст из файла (страница 83)
112а) разность .плошади трапеции, ограниченной сверху касательной в точке х = а+ 1/2, и площади трапеции, ограниченной сверху хордой; отсюда получаем неравенство аз~~ — аа ч, !и (а+ 2 ) — 2 1!и й+ !и (й+ 1)! = 11 1 = — [1п (а+ — ) — !и й) — — (!п (и+1) — !и (я+ — Я = 1 !и(1+ — ) — — !и 1+ ("-') Следовательно, подавно ( — ! (1 + ) 2 1и(1+ 2(а ! 1))* ( 424 ГЛ.
НН. О МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ Подставим сюда последовательно и =1, 2, ..., и — 1 и сложим почленно полученные и — ! неравенств. Тогда в левой части останется ад — а,, а в правой части сократятся все члены, кроме первого и последнего, и мы получим: 1 3 1 1', 1! а — а, < — 1п — — — 1п(1+ — ), д 2 2 2 1, 2и!' а так как а, = О, то 1 3 и <-! —. 2 2' Следовательно, переменная ад ограничена, а так как она монотонно возрастает, то непременно стремится к некоторому пределу а, когДа и — дсо: 1!п! По=а. д-+со В неравенство !д) подставим последовательно и = и, и-+ 1, ...
..., и+ т. — ! и сложим полученные т неравенств; тогда получим пд,д — ад < — 1п(1+ — ) — — !п(1+ ), Оставляя и неизменным, перейдем в этом неравенстве к пределу при пг-оса; так как !Ип ад+ — — а, то пределыюе неравенство будет дс-+со а — а < — !и(!+ — ). 1 / ! -2 ! 2П По определению а„= бд — Тд = п!п и — п + 1 — !и п! + — !и п; 1 поэтому 1п п1= 1 — пд+(и+. 2) !пп — и, 11 откуда 1 1 д д+ — д дь — д и!=е дп бе =ап ае д где ад=е д. Последовательность ад монотонно Убыеаеги и стРе- 1-дд мится к пределу а= Вю ад = е'-"; стало быть, «-Ьсо а 2п 4п а<ад < (1+ 1 ).
Следовательно, д+- 1 ° "'"-" < и! < .д"'е-д(1+ 4' ). СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ УП Остается вычислить предел а, существование которого доказано выше. Для этого воспользуемся формулой, доказанной в гл. 1Ч, $4 (стр. 265): ( ! 222и угп= 1нп и.+сю (2п)! г' я являющейся следствием формулы Валлиса. ЗаМЕНяя В НЕй и! ЧЕРЕЗ а„ни+ЧиЕ-и Н (2П)! ЧЕРЕЗ а2,2 "+ ~'и"'+ ЬЕ немедленно получим аи 2 а 2 а угп = !'Пп и-+ю аииУ'2 аУ2 )/2 откуда а= )г 2п. Тем самым формула Стирлинга полностью доказана. Помимо ее большого теоретического значения, формула Стирлинга очень полезна для приближенного вычисления п1 при больших значениях и. Вместо того, чтобы перемножать много целых чисел, можно просто вычислить выражение Стирлннга с помощью таблицы логарифмов; число операций будет много меньше. Так например, при в=10, пользуясь семизначными таблицами логарифмов, находим по формуле Стирлинга 10! 3 598 696, между тем как точное значение 101=3628800.
Относительная ошибка составляет лишь 5/624. Упражнение Доказать, что Иш — = —. Ув! 1 и>, л и СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ й!11 170. Показать, что длина зллипса х=асозд у= ба!п2 есть 2 лЗ а2 2=4а~ У! — еисози(Ю, где з'= —, а' о Вычислить длину эллипса, зксцеитриситет которого 2 = 1/2, с четырьмя значащими цифрами, пользуясь формулой Симпсона с шестью делениями. 17!. Интеграл из упр. 170 разложить в ряд и оценить, какое число членов надо удержать, чтобы обеспечить четыре верные цифры. 1 ! !и (1+х) 172.
Вычислить ~ Лх с помощью формулы Симпсона, беря о А=О, 1. 178. Гнпотенуза прямоугольного треугольника равна точно 40, а результат измерения одного из его углов 30', с возможной ошибкой в 0,5'. Йайти, с какой погрешностью возможно вычисление каждого из катетов треугольника н его площади.
426 гл. чп. о методах пгивлиженного вычисления я+ их 174* Рассмотрением интеграла ) !и (а+х) г(х, а > О, показать, что еа а(а+1) ... (а+и)'=а„л1ле, где а„ограничено снизу положительнум числом. Показать, что а„монотонно убывает при достаточно больших значениях л. (Предел а„при л-ьсх> 1 есть —.) Г(а) ' л,!лт! ° ., лл! 175. Найти приближенное выражение для 1п ' ' ' ' ', где л! в~+ля+ ... +лл=л, 1 176.
Показать, что в разложении функции в биномиальиый ряд )Г1 — х 1 коэффициент при х" асимптотически равен —. )г лл ГЛАВА ЧШ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ДРУГИЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ Предварительные замечания Геометрический ряд, разложение в ряд Тэйлора и много частных примеров, с которыми мы встретились на протяжении этого курса, естественно ставят вопрос о необходимости систематического изучения тех предельных переходов, которые носят название суммирования бесконечных радов. В сущности, всякий предел 11ш зл и-»со можно записать в виде бесконечного ряда; достаточно только положить з,=з„,+а„при а ) 1 и г,=ап тогда а„=а,+аз+аз+ .. +а„, и значение 8 оказывается пределом суммы з„, состоящей из и слагаемых.
Этот факт выражают следующими словами: 8 есть «сумма бесконечного ряда» а,+аз+аз+ ... Таким образом, бесконечный ряд представляет только своеобразный способ представления предела,. при котором каждое следующее приближенное значение получается из предыдущего просто путем прибавления еще одного члена, Например, принцип изображения числа в виде десятичной дроби есть не что иное, как представление числа а в виде бесконечного ряда: а=а,+аз+аз+ ..., причем, если 0(а (1, то а„=а„° 10 ~, 'а а„означает одно из целых чисел от 0 до 9. Так как всякий предел можно представить в виде бесконечного ряда, могло бы показаться излишним особое изучение рядов; оказывается, однако, что во многих случаях пределы возникают в виде бесконечных рядов и что при этом получаются особенно простые закономерности.
Разумеется, не всякое разложение в ряд обнаруживает простые закономерности; например, число н можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, но мы не знаем простого закона, который дал бы нам возможность указать произвольную, скажем 7000-ю, цифру этого разложения; однако, если мы откажемся от представления и в виде десятичной дроби, а возьмем для этого, например, ряд Лейбница гетр. 366), то получим выражение с чрезвычайно простым общим законом образования.
!'Л. ЧП1. БЕСКОНЕЧНЫС РЯДЫ 428 Совершенно аналогично, как с бесконечными рядами, у которых приближение к пределу происходит путем постоянного прибавления новых членов, обстоит дело и с бесконечными произведениями, где приближение к пределу происходит путем последовательного умножения на новые множители. Впрочем, мы только мимоходом коснемся вопроса о бесконечных произведениях; основное содержание втой и следующей главы составят бесконечные ряды.
В 1, Понятие сходимости и расходимости 1. Основные понятия. Рассмотрим бесконечный ряд, «общий член» которого обозначим через а„ '); тогда ряд имеет вид аг+аз-+ ° ° ° = 2'.г аь В-1 Знак суммирования, как и раньше, означает, что вместо й надо подставить по порядку все числа 1, 2, 3, ... и затем суммировать, Если «и-я частичная сумма» « з„=а,+аз+ ... +а„= ~а* Ь-1 с возрастанием и стремится к пределу 5= !1ш в„, «-ьсо то ряд называется сходящимся; если з„не стремится к пределу, то ряд называется расходящимся; в первом случае предел 5 назы- вается суммой ряда.
С примерами сходящихся рядов ы уже встречались неоднократно: 1 геометрический ряд 1+ 1)+.рг+ ... с суммой, если ~ г) ~ ( 1, 1 — д' ряд Лейбница, ряд для 1и 2, ряд для е н другие. Критерий сходимости Коши (см. гл. 1, 8 6, стр. 58) на языке теории рядов формулируется так: Д,гя сходимости ряда необходимо и достаточно. чтобы число )з — з„(=)а„«1+а«+г+ ... +а,„! бы го сколь угодно малым, если только т и п выбраны доста- точно бо«гьщими (т ) и). Иными словами: сходимость ряда имеет место в том и толысо в том случае, если выполнено следующее условие: какое бы малое число е ) 0 ни было задано, всегда можно выбрать такой индекс М=Лг(е), что выражение ~ з — в«! окажется меньше е, если только т) М и п) ггг.
Чем меньше ') Из соображений формального характера мы прн агом допускаем, что некоторые из чисел а„могут равняться нулю. В том случае, когда все а„, начиная с некоторого йндекса грч, т. е. прн и ) Ф, равны нулю, говорят, что ряд обрывается, и называют его конечным рядом. Э ь понятии сходимости и плсходимости заданное число е > О, тем больше будет, вообще говоря, индекс /Ч, и при е -ьО он будет неограниченно возрастать.
Смысл критерия сходимости станет яснее, если рассмотреть его на конкретном примере геометрического ряда + 2+2г + ''' + 2п+'" 1 1 1 Если задать а=1/10, то достаточно взять /тг= 4. В самом деле, 1 1 1 /1 1 1 т 1 ~эт-лп! = — + "+ = — 1,-+ — +" + ~ ( т и 2п 2т-г 2п-1 ~2 22 ' 2т-и ~ 2п-! ' а 1/2п ' < 1(10, коль скоро л) 5, Слеловательно, можно принять гЧ=4. Если зададим с=1/100, то достаточно взять лля М число 7, как это нетрудно проверить.
Ясно, что для сходимости ряда существует необходимое условие: Иш аз=О. и-ьсо Действительно, в противном случае не выполняется критерий сходи- мости Коши. Но это необходимое условие яи е коем случае ле яеляелгся достаточным для сходимости ряда. Очень легко указать бесконечные ряды, у которых общий член ап с возрастанием л стремится к нулю, а сумма для ннх не существует, так как частичная сумма еп с возрастанием л неограниченно возрастает. Примером может служить ряд 1 1 1 1+=+=+ "+ — + "„ )г"2 г' 3 г" л общий член которого равен 1/3~л и стремится к нулю при л-ьсо, Очевидно, 1 1 л лп > =-+ ". + — = — = У л' )сл р у'л следовательно, с возрастанием л л-я частвчная сумма неограниченно возрастает, и поэтому ряд расходится. То же имеет место и в классическом примере гаггмолического ряда 1 + †+ + — + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
