1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 78
Текст из файла (страница 78)
К нему прибавляем многочлен первой степени, который обращается в нуль при х=х, т. е. многочлен вида А,(х —.хз), и определяем А, так, чтобы сумма при х=х, имела требуемое значение уг Получающийся в результате многочлен первой степени назовем ф,(х). Затем мы к ф,(х) прибавляем много- член второй степени, который обращается в нуль при х = хз и х =х,, т. е. имеет зид Аа(х — хз)(х — х,). Прибавление этого многочлеиа не изменяет, следовательно, значений в этих точках.
Определяем множитель Аэ таким образом, чтобы полученный многочлен второй степени фт(х) имел при х = хз требуемое значение уэ, и т. д. Соответственно этому интерполяционный многоялен запишется так: ф (х) = ф„(х) = АВ+ А, (х — хо) + Аз (х — хз) (х — х,) + +... + А„(х — хз)... (х — х„,), н поэтому ,у(х) = ф„(х)+ Й„(х), где )т„(х) — остаточный член, который во всяком случае обращается в нуль в точках х=х, (1=0, 1, 2, ..., п). Подставляя в выражение аля ф(х) поочередно значения х=хз, х= х, , х = х„, получим систему уравнений Уо — 4,, у1 = Ао+ А1 (х, — хо) уз — — АВ+ А1 (Ха — Хз) + Аа (Ха — Хз) (Хз — Х!), У» = Ао+ А~ (х„— хо)+ +-А„(х„— хо) (х» — х1) .. (х» — х„,), ГЛ.
Ш. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА из которых моокно последовательно определить коэффициенты А, Ап, А„. Тем самым ннтерполяционный многочлен в принципе построен. Если значения хо, х,, ..., х„ лежат на равных расстояниях друг от друга, так что х» — — х„ , + Ь = хо+-ЬЬ при Ь = 1, 2, ..., и, то полученный результат можно представить в виде явного и изящного по форме выражения.
Уравнения для определения коэффициентов А„запишутся в этом случае так: Уо =Аз У', = Ао+ ЬА„ Уз = Аз+ 2ЬА, + 2 ! ЬгАм Уз = Ао + 3ЬА г -+ 3 ° 2ЬзАя+ 3! "зАз Уь = Ао+ иЬА, + и (и — 1) ЬзАг+ + и (и — 1) (и — 2) ЬзАз +... + и ! Ь" А „, Введем понятия разностей различного порядка функции и'(х) (ср. стр.
127). Разностью нли иервой разностью какой-либо функции Ь'(х) называется выражение Ь ь = Ьа = и (хо+ Ь) — Ь (хо) = Ь (х,) — Ь (хо). Если вычислим разность первой разности ЬЬ', го получим вторую разность, нли разность второго порядка, функции у: Ьзй = Ь (Ьн) = ЬЬ, = [д (хз) — и (х,) 1 — (л' (х,) — Ь" (х ) ] = = Ь'(хг) — 2Ь'(х,) + и (хо). Продолжая далее этот процесс образования разностей, с помощью метода полной индукции (фактическое выполнение предоставим читателю) получим и-ю разность, или разность и-го порядка: Ь Ь =д(х„) — ( )и'(х„,)+( )и'(х, з) —...
+( — 1) д'(хо), (») »! — биномиальные коэффициенты. Теперь легко из системы уравнений для А» выразить эти коэффициенты через последовательные разности функции У(х): д»У Ао= Уо, А»=, Уз=1, 2, ..., и. »! Ь" Произведения вида (х — хо)(х — х,)... (х — х„). входящие в выра»кение интерполяционного многочлена, мы преобразуем с помощью обозначения — '=Э, так что х=хо+СЬ и х-х»=(хо+ЭЬ)-(хо+ЬЬ)=(в-Ь)Ь; ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч! отсюда (х — хо) (х — х,)... (х — хь) = й(с — 1)...
($ -- й) й" е' ° В результате получаем для многочлена ф(х) интерполяиионную обориулу Ньютона: го(х)=го(х,+Ьй)=Уз+(~)ЬУ+(")ЛУ+... +( )Л"У, Если У(х) имеет непрерывные производные до и-го порядка, то дьу дьу 1нп — '„- = 11ш — „= У<ь> (хо). ь-ьо дл ьл-ьо ах~ Поэтому интерполяционный многочлен переходит в многочлен Тэйлора, когда )1 стремится к нулю. Заметим, что если первые г значений хо, х,, ..., х, , совпадают и, в соответствии с этим, заданы значения функции и ее производных: У(хо)=Уо У (хо)=Уо " У (хо)=Уо ' Уг У', ° то ннтерполяционный многочлен <р(х) можно построить тем же путем.
Для ор(х) пишем выражение следующего вида: ф(х) = Ао+ А, (х — хо)-+ Аз(х — хо)о+... + А, (х — хо)'+- +А,+,(х — хо)'(х — х,)+..., и коэффициенты Аь определяются из нижеследующей системы урав- нений: Уо= 4о Уо = .4П У" = 2А, У~,'-П =(г — 1)1А,, Уг = Ао+ А1(хг — Ао)+ ° + Аг(х. — хо)' У',, = Ао+ А, (х, „— хо) +...
+ А, (х,„, — х )'+ + А,е, (х,+, — хо)' (х,ь, — х,), 3. Оценка остаточного члена. До сих пор для наших рассужлений было, по существу, безразлично, каким путем даны значения Уо, Ун ..., У„. Если, например, эти значения получены в результате физических измерений, то с построением многочлена ф(х) интерполяционная задача полностью решена; в многочлене ф(х) мы нашли возможно более простую функцию.
которая в заданных точках принимает заданные значения. Если же функция У(х) заранее дана, то возникает новая задача, а именно задача об оценке разности )с(х) = = У(х) — ф(х), т. е. погрешности, допущенной при интерполяции. Гл. у1. ФОРмулА тэялОРА Покамест мы знаем только то, что л+ ! значений )1!(Хз). Й(х)), ... ..., И(х„) равны все нулю. Для того чтобы появилась возможность допыть дополнительные сведения об )с(х), необходимо сделать некоторые допущения по поводу функции У'(х), а стало быть, и )с(х), Мы предположим, что у (х) имеет в рассматриваемом промежутке непрерывные производные по крайней мере до (и+1)-го порядка. Прежде всего заметим, что функция К(х)=)с(х) — с(х — хз)(х — х,)... (х — х„) обращается в нуль при л+1 значениях х,, х„..., х„при любом выборе постоянной с. А теперь прибегнем к следующему искусственному приему: выберем произвольное число у, отличное от хз, х,, ...
..., х„, и затем подберем с так. чтобы было и К(у) =0; для этой цели должно быть )1(у) (у — Хе)(у — Х1)" (у — х.) ' и при таком значении с функция К(х) имеет, стало быть, и+2 корней. Применим теперь к функции К(х) обобщенную теорему Ролла. По этой теореме, существует такое, не поддающееся дальнейшему уточнению. промежуточное значение $ между наибольшим и наименьшим из чисел хз, хп хм ..., х„в у, что К)~~~)($)=0. Так как К(х)=) (х) — )р(х) — с(х — хз)(х — х,)... (х — х„), а )р(х), как многочлен степени л, имеет (и+1)-ю производную, равную тождественно нулю, то К!"+1) (В) =У'"~И (Ы вЂ” с(л+ !) 1=0, ибо (и+1)-я производная от (х — хз)...
(х — х„) равна (и+1)1 Отсюда получаем второе выражепие для с: у)а+1)(1) — (л+!)! Оно содержит промежуточное значение $, которое каким-то образом зависит от у. Это значение с мы подставим в равенство К(у)=0 и иа него получим (у — х1) (у — х,) ... (у — х,),л+ц й(у) — (.+ )!" - д а) Вспомним, что у — совершенно произвольное число, которое можно поэтому заменить буквой х, и для остаточного члена получится оценка 1т (х) = )т„(х) (Х вЂ” Х1) (Х вЂ” Х)) ... (Х вЂ” ХХ) ~х.)1) („!.
1)' ум (с) где $ — какое-то промежуточное значение между наибольшим и наи- меньшим из чисел хе, х,, ..., х„и х. дополнвння к главе чг Тем самым полностью решена общая задача интерполяции заданной функции. Внимательное рассмотрение наших формул и только что полученной оценки для остаточного члена показывает, что если равноудаленпые точки хь, х,, ..., х„, сближаясь, стремятся к совпадению в точке а, то интерполяционная формула Ньютона переходит почленно в формулу Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Таким образом, формула Тэйлора является предельным случаем интерполяционной формулы Ньютона.
Благодзря этой связи между интерполяционной формулой и формулой Тэйлора приобретает новый смысл принятый в геометрии термин «соприкасающаяся парабола», а именно: соприкасающаяся парабола, имеющая с данной кривой в некоторой ее точке касание и-го порядка, имеет с этой кривой в указанной точке и+1 общих «соэпадаюгцих» точек пересечения. В самом деле, эта соприкасающаяся парабола получится, если провести сначала параболу через и+ 1 различных точек кривой и затем все эти точки сближать до совпадения с данной точкой. Совершенно подобное происходит при соприкосновении данной кривой с кривой, принадлежащей любому семейству линий (не только семейству парабол).
Например, окружность кривизны есть та из окружностей, проходящих через данную точку кривой, у которой в этой точке сливаются три ее точки пересечения с данной кривой. Интерполяционную формулу применяют всегда в том случае, если функцию, значения которой в определенных точках известны, требуется выразить для промежуточной области между этими точками с примерно одинаковым приближением.
Если функцию хотят выразить в точке х, лежащей вне промежуточной области между точками хь, х,, ... х„, то говорят об экстраполяции. При такой экстраполяции тем менее можно рассчитывать на хорошее приближение, чем более удалена точка от промежуточной области. В формуле Тэйлора мы имеем дело, некоторым образом, с полной экстраполяцией, и поэтому формула Тэйлора часто практически пригодна для представления функции только в непосредственной окрестности данной точки. 4. Интерполяционная формула Лагранжа.
В заключение решим интерполяционную задачу другим путем и выведем интерполяционную формулу Лагранжа, которая отличается от формулы Ньютоне лишь тем, что она расположена не по произведениям разностей вида х — хь, а по ааданным значениям уь в точках интерполяции. Введем вспомогательное выражение ф(х) =(х —.
хь)(х — х,)... (х — х„), Это — многочлен (и+ 1)-й степени, который вполне определяется заданием точек хь. Продифференцируем его по правилу дифференцирования произведения и затем подставим вместо х последовательно ГЛ. Уп ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА значения хз, х,, ..., х„. Получим систему равенств ф'(хз) =(хз — х,)(хз — хт)...
(хз — х„), ф'(х„) =(х — хз)... (х — х,,) (х — х +,)... (х, — х„) (1 (У (Л вЂ” 1). ф' (х„) = (х„— хз) (х„— х,)... (х„— х„,), С помощью этих равенств нетрудно проверить, что выражение есть многочлен степени и, принимающий в точке ф (х) х =х, значение 1, во всех же остальных заданных точках х,— значение нуль. Теперь ясно, что многочлен ( (х — х ) ф' (х,) + (х — х,) ф' (,) + ' ' ' уо Л (х — х„) Чг' (хл) дает искомое решение интерполяционной задачи. Это и есть интер- поляционная формула Лагранжа. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ У1 154.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
