1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 74
Текст из файла (страница 74)
И в этих формулах можно при любом значении х довести приближение до какой угодно точности, так как остаточный член с ') Для функций у(х)=21пх или у(х) созх можно вывести общее выражение для л-й производнои: учл)( ) у( + л) ГЛ. У!. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА 376 возрастанием и стремится к нулю. Таким образом, получаем четыре разложения в ряд: ХЗ Хз г~.ь ! т з!пх=х — — + — „. — + . =~( — 1) 3! 5! ' ' ' лы (2т+1)! ' У-О Хтч Х( ) 2 !' (2У)! ' т-О -=Х 2У Р! (22+1)! ' У-О Х х' х' созх=1 — — + — — + 2! 4! х' х' зИх=х+ — + — + 3! 5! х2 хФ сИ =1+ —,+ —,+ т-О при произвольном положительном или отрицательном, рациональном или иррациональном значении показателя а. То, что мы выбрали функцию (1 +х)", а не функцию х", объясняется тем, что у функции х" в точке х = 0 не все производные непрерывны.
если исключить тривиальный случай целого неотрицательного а. Найдем сперва производные от 1(х): у'(х)=а(! +х)", у'"(х) = а(а — 1)(1+х)" 2, . г!'> (х) = а(а — 1)... (а — 4+1)(1+х)" Подставляя х = О, получаем У'(0)=1, У'(0)=а, Гм(0)=а(а — 1), ..., ,11~!(0)=а(а — 1)... (а — я+1). 1В разложениях для соз х и сИ х при т = О получится в знаменателе 01, что не имеет смысла с точки зрения определения факториала. Условлено считать О! = 1.) Два последних ряда можно также получить фориальным путем из .разложения в ряд функции ех с помощью формул, определяющих гипербо тические функции.
3. Биномнальный ряд. Мы не станем снова разлагать в ряд с помощью формулы Тэйлора функции 1п(1+х) и агс!пх, для которых мы это уже сделали с помощью специального приема в $ 1. Но мы должны еще рассмотреть обобщение формулы бинома для .любых показателей. Это обобщение является одним из плодотворнейших математических открытий Ньютона и представляет одно из важнейших разложений в ряд Тэйлора. Речь идет о тои, чтобы разложить по формуле Тэйлора функцию у (х) = (1 + х) в з. глзложвиив элвмзитлпиых атикцип в Ряд тэилогл 3)7 Таким образом, получается формула Тэйлора для бипома (1-+ ) =1+ + — '",—," +...+ а(а — 1)(а — 2)...
(а — а+'1 л. Исследование остаточного члена будет дано в Дополнениях к этой главе. (стр. 386). Кроме того, вопрос о разложении бинома в бесконечный ряд будет полностью решен другим путем в гл. Ч!!1 (стр. 466), Здесь мы приведем лишь результат, что при (х)< 1 остаточный член с возрастанием и стремится к нулю и, следовательно, функция (1+х)" может быть разложена в бесконечный биномиальньта рядт (~+- )"= + —,", +а'",, " '+...=~(",) ", л-о где для сокращения введены обозначения обобщенных бипомиальиых коэффициентов ~а) а(а — !) (а — л+1) (при й)0) (а) 1 Упражнения !. Написать формулу Тэйлора для функции (1+х)?з — два члена клюс остаточный член.
Оценить остаточный член. 2. Воспользоваться разложением из уир. 1 (отбросив остаточный член) для вычисления )'2. Какова степень точности этого приближения? з 3. Аппроксимировать !з 1+х линейной функцией по формуле Тэйлора в окрестности точки х = О.
Между какими значениями х ошибка ириближения меньше чем 0,01? 4. Аппроксимировать функцию к 1+х в окрестности точка х = 0 многочленом второй степени по формуле Тэйлора. Какова наибольшая (по абсолютной величине) погрешность в интервале — 0,1 < х <0,1? 3. Найти; а) линейную функцию, б) квадратичную функцию, дающие приближения к Р 1+х в окрестности точки х=О; каковы наибольшие по абсолютной величине погреганости при — 0,1 <х < О,!? 6. Вычислить взп (0,01) с четырьмя знаками после запятой.
7. Вычислить с четырьмя знаками после запятой: а) сов 0,01; б) ~/126; в) !' 97. 8. Разложить в!п(х+ л) в ряд тэйлора в окрестности точки х (т. е. по степеням а). с помощью этого ряда найти в!п31" [= в!п(30'+!'Я с тремя десятичными знаками. В упр. 9 — 18 разложить указанные функции в окрестности точки х = О по формуле Тэйлора, написав три члена и остаточный член в форме Лагранжа. 9.
в!и'х. 1О. совзх гл. чь ФОРмулА тэплОРА зув 15. —. 1 сов х !1. !Псозх. 12. !нх. 16. с!пх — —. 1 Х ! 1 17. — — —. з!их х 14 е ' В !и(1+ ) 19. а) Для функции ем" написать первые пять членов формулы Тэйлора н остаточный член )!ь. 0) В ряд (по степеням х) для ег подставить вместо г ряд для з!пх (по степеням х), взяв достаточно членов, чтобы обеспечить правильность коэффициента прн х'.
Сравнить результаты а) н б). 20. Найти многочлен четвертой степени, дающий приближение функции !пх з окрестности точки х =О. В каком интервале этот многочлен представляет !пх с относительной погрешностью ие больше 5)ьг 21. Найти первые шесть членов ряда Тэйлора (по степеням х) для функций у = у (х), определенных следующими уравнениями: а) хь+ уь = у, у (О) = 0; 6) хь+ уь = у, у (О) = 1; в) хь+у'=у, у (О) =О.
13. !и— ! соьх ф 4. Нули н бесконечности функций. чНеопределенные выражения» Разложение функции по формуле Тэйлора в окрестности точки х=а дает повод к следующей характеристике поведения функции в окрестности этой точки. Говорят, что функция у (х) при х = а имеет нуль кратности и или что порядок ее обращения в нуль в точности равен и, если у(а)=О, у'(а)=О, у'"(а)=О, ... у!"-О (а) = О, а у ы> (а) ныл. при этом предполагается, что функция в окрестности этой точки имеет непрерывные производные по крайней мере до и-го порядка. Этим определением мы хотим отметить, что разложение 'функции по формуле Тэйлора в окрестности втой точки может быть представлено в виде И» у(а+И)= —, Р(И), ф(х) = ~( б (х) причем в точке х=а числитель не обращается в нуль, а знаменатель имеет нуль кратности И, то говорят, что функция <р(х) в точке х= а обращается в бесконечность И-го порядка.
Если в точке х=а числитель тоже имеет нуль кратности т и т) И, то мы при- причем множитель Р(И) при И вЂ” »О стремится к пределу, отличному от нуля, именно к у!»>(а). Если функция ~р(х) определена во всех точках некоторой окрестности точки х = а, за исключением, быть может, самой этой точки, выражением вида % К НУЛИ И ВЕСКОНЕЧНОСТИ ФУНКЦИЙ писываем функции >р(х) в этой.
точке нуль кратности (т — А)! если же л> ( л, то говорят, что функция имеет точку бесконечности порядка (л — л>). Все эти определения находятся в согласии с установленными нами ранее (гл, 1!1, 9 9) определениями, относящимися к поведению функции. Чтобы придать более точный смысл всему сказанному, рааложим числитель и знаменатель в окрестности точки а по формуле Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа; функция примет такой вид: Х( + ) ~~ь Г''~~Ф) д (а+ л) ж > л~д>~> (а+ ю,л) где О и б, — два числа, заключенные между О и 1, а множители при й!»~ и л>!йл имеют пределами при л-ьО соответственно числа г! >(а) и у<а>(а), которые отличны от нуля.
тогда при л>)й имеем !Ип <у(а+в) = 1>щ — ' д =О, ьоо л+о и>! й! >(а) т. е. выражение >р (х) при х — ь а обращается в нуль (гл — и)-го порядка. При й'~ л> мы видим, что выражение >р(а+й) при л-ьО обращается в бесконечность (й — и)-го порядка. В случае л>=м имеем равенство йщ ф(а-1-й)= .(т> ь-ьо дпю (а) Содержание последних равенств можно выразить в следующей форме. Если числитель и знаменатель некоторой дроби >р(х) =— г (л) = а(л) обращаются в нуль при х=а, то предел этой дроби при х-»а определяют просто, дифференцируя числитель и знаменатель одинаковое число раз до тех пор, пока по крайней мере одна из производных не окажется отличной от нуля при л= а.
Если это произойдет одиовремет>о для числителя и знаменателя, то искомый предел равен частному значений этих двух производных при х = а. Если первой не обращающейся в нуль производной будет произволная от знаменателя, то предел будет равен нулю; если же первой не обращающейся в нуль производной будет производная числителя. то дробь неограниченно возрастает. Таким образом, мы получили правило для определения значений так называемых неопределенных выражений вида О/О. В некоторых иурсах дифференциального и интегрального исчисления этот вопрос нзлагаетея с чрезмерной полнотой. В действительности речь идет только об очень простом вычислении предела дроби. у которой числитель и знаменатель стремятся одновременно к нулю.
Встречающееся в литературе название «неопределенные выражения» является неточным и вводящим в заблуждение. ГЛ, Щ. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА Наши результаты можно получить и несколько иным путем, основываясь не на формуле Тэйлора, а на обобщенной теореме о среднем значении (гл. И, стр. 162) '). Согласно этой теореме, если й'(х)чьО, то у (а+ л) — у'(а) у' (а+ Ол) л(а+А) — л(а) й'(а+Ой) ' где 9 в числителе и знаменателе — одно и то же число; в частности, при у'(а) = л (а) = О имеем у (а+ л) у'(а+ Ой) е(а+А) е'(а+Ой) ' При этом д есть некоторое значение из интервала О < О < 1, и, следовательно, если положим 1=Оп, о-+о Ю(а+А) г-ьо й (а+О ь.+о А' (а+А) в предположении, что предел выражения, стоящего в правой части.
существует. Если у'(а) и л'(а) также равны нулю, то можно про- должать в том же духе, пока не дойдем впервые до такого индекса а, при котором по крайней мере одна иэ производных у(е> (а) или й!е'(а) не равна нулю. Тогда у(а+А), у'" (а+1) о.+о л(а+ 6) г-ьо й (а+1) причем сюда включен и тот случай, когда правая часть имеет «предел, равный бесконечности». Рассмотрим несколько примеров: з!пх, соз х сов б 1пп — = !нп — = = 1, «-+о х «-ьо 1 — созх, 5!пх Я!ПО !!а = Иа — = — =-О. х +о х х.+о е2х 1 2еох «.+о !" (!+ «) л.-+о 1!а = — 1!а = 2, 1+« Хе х !ях . созе« 2х!с х+— 1!а = 1!а « .о У1 — хе — 1 «.+о 1' 1 — хе = — 1! а ! 2 !н х + —,1 ~/1 — хт = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
