1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Для всякой вообще замкнутой кривой одна из областей, внешняя область кривой, простирается неограниченно по всем направлениям; такая область имеет, очевидно, индекс нуль, поэтому мы ее оставляем без внимания. Теперь мы уже можем формулировать теорему о площади: и Значение интеграла — ) у(1) х(1)Ф равно сумме абсолютных н величин площадей всех областей йо причем каждая площадь )С, предварительно помножена на свой индекс рн В символической записи результат выглядит так: — ~ У(С) х(1) сИ= ~1р,~пл.
й,). Доказательство несложно. Мы вправе предположить, что наша замкнутая кривая лежит выше оси х, ибо в противном случае мы можем этого достигнуть параллельным переносом оси х на надлежащее расстояние вниз (ср. замечание об этом па стр. 315). Опорные прямые разбивают область Я, на конечное число частей; пусть г— с, одна из этих частичных областей. Вычисляя интеграл — ~ ух йг для каждой одназначной ветви кривой, найдем, что абсолютная величина площади г войдет в счет +1' раз для каждой ветви, пробегаемой выше г справа налево, и — 1 раз для каждой ветви над г, пробегаемой слева направо; в итоге она войдет в счет 1ь; раз.
В результате интеграл вдоль асей замкнутой кривой имеет значение, равное ~1ь;)пл. й,~, как и было сказано выше. В частном случае простой замкнутой кривой эта формула дает ориентированную площадь фигуры, ограниченной этой кривой; это видно из проведенного выше рассмотрения индекса )ь для такой кривой и находится в согласии с тем, что мы уже знали ранее. Определение.
данное здесь индексу ро имеет тот недостаток, что оно основано на частной системе координат. Однако на самом деле можно показать (хотя мы этого здесь делать не будем), что значение рч не зависит от выбора системы координат и определяется только лишь самой аамкиутой кривой. ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч 136. Построить по точкам следующие кривые и найти их уравнения в непараметрическом виде: 5аП 5ар ') '=1+1 ' У= 1+1' б) х=а)+Ь з!пЕ у =а — Ь созй где а >О, Ь >О: 1) при Ь=а, 2) при Ь<а, 3) при Ь>а.
(По поводу б). Преобразование параметра 1= п+т с последующим переносом начала в точку 0,(па, 2а) и изменением направления оси ординат на противоположное (х = Х + яа, у = 2а — 'г) приводит уравнения б) к виду Х= ат — Ь з!и т, 1'=а — Ь сов т. Отсюда видно (см.
стр. 305), что эта кривая есть прн Ь = а обыкновенная циклоида, при Ь < а — укороченная, а при Ь > а — удлиненная циклоида. Производящий эти кривые круг радиуса а катится по пряной у = 2а, находись под нею.) 137*. Показать, что семейство эллипсов х у2 2 ' + Ь2 )2 1 при й<Ь2 н семейство гипербол х' уг + =! при Ь'<т <аз аз — т Ь' — т имеют общие фокусы и пересекаются под прямымн углами. 136. Найти подэры (см. стр.
3!1, задача !!) следующих кривых: а) эллипса х= а соя Г, у = Ь з!и Г относительно его центра; б) гиперболы х = ~сЫ, у=Ьай с относительно ее центра; в) параболы у'=4рх относительно ее вершины; г) параболы у' =4рх относительно ее фокуса. 139. Показать, что касательная к эллипсу обрззует равные углы с фокальными радиусами, проведенными в точку касания.
140. Показать, что касательная к гиперболе образует равные углы с фокальными радиусами, проведенными в точку касания. 141. По обе стороны от каждой точки параболы у' = 2рх отложен по нормали отрезок постоянной длины Е Найти параметрические уравнения геометрического места концов отложенных отрезков. 141а.
По обе стороны от каждой точки кривой х =х(Г), у = у(С) отложен по нормали отрезок постоянной длины Е Найти параметрические уравнения геометрического места концов отложенных отрезков. 142. Найти площздь, ограниченную петлей кривой х'+ у' — 5ах'у' = О. 143. Найти площадь, ограниченную кривой а' (хз+ у')2 (Ьзхз+ втуз) = (аз — Ь')' Ь'хч. 144. Найти длш2у дуги эпициклоиды х = (а+ Ь) соз Ь вЂ” Ь соз — Е а+Ь Ь от начальной точки Г = 0 до переменной точки Е 145'.
Локазать, что если кривизна кривой, лежащей в плоскости х, у, есть монотонная функция длины дуги, то кривая не замкнута и не имеет двойных точек, !46. Найти момент инерции тонкого стержня длины й а) относительно его середины; б) относительно одного из концов; в) относительно точки иа СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ У 551 оси стержня, находящейся ма расстоянии гт от его середины; г) относительно любой точки, находящейся на расстоянии и' от его середины. 147.
Найти уравнения всех кривых, пересекающих полупрямые, выходящие из начала координат, под постоянным углом а. 148. Найти уравнения кривых, нормаль которых имеет постоянную длину й. (Длиной нормали называется длина ее отрезка между соответствующей точкой кривой и осью абсцисс.) 149. Ноказатсь что единственными кривымн, кривизна которых есть определенная постоянная Д, являются окружности радиуса 1/л. 150.
Найти уравнения всех кривых, центр кривизны которых лежат на оси х, а стало быть, нх радиус кривизны равен длине нормали (см. задачу 148). 151. Найти уравнения всех кривых, радиус кривизны которых равен длине нормали, но их центр кривизны не лежит на оси х. 152'. Вывести формулу для длины дуги в полярных координатах [прях мым путем, не прибегая к преобразованию декартовых координат в полярные). 153.
Вывести формулу для кривизны кривой, заданной в полярных координатах уравнением г = у (О) (прямым путем, не прибегая к преобразованию уже известной формулы в декартовых координатах. Ср. упр. 16 на стр. 3341. ГЛАВА У1 ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ Рациональные функции являются во многих отношениях простейшими функциями анализа; они получаются при выполнении над переменной х конечного числа рациональных действий, между тем как образование всякой другой функции в конечном счете требует, в более или менее замаскированной форме, предельного перехода от рациональных функций.
Позтому большое теоретическое н практическое значение имеет вопрос, можно ли заданную'функцию у (х) приближенно представить или, как говорят, аппроксимировать с помощью рациональных и, в особенности, с помошью целых рациональных функций (иногочленов). $1. Логарифм и арктангенс 1. Логарифм.
Рассмотрим сперва несколько частных случаев. в которых интегрирование геометрической прогрессии почти непосредственно приводит к требуемому приближенному выражению. Сначала напомним, что при о чь 1 и при целом положительном и 1 — 1 +д+,уз + + д" — +г где йч г и В случае ~д~( 1 остаток г, стремится к нулю с возрастанием и, и мы тогда получаем (стр. 53) бесконечный геометрический ряд 1+9+ )т+... с суммой 1 Теперь рассмотрим формулу !п(1+х) = ~ о и развернем подынтегральное выражение по предыдущей формуле, в которой полагаем д= — Г. Тогда, интегрируя, получаем хз х' х' ч-1 х" 1и(1+х)=х — — + — — — +... +( — 1) — +Л, 2 3 Я л и' а 1. лОГАРиФм и АРктАИГенс причем )с =1Г Ж=( — 1)и1— г Ги йг л и 0 0 Таким образом, при любом целом полон<ительном а мы приближенно выразили функцию 1п(1+х) с помощью целой рациональной функции степени а, именно с помощью многочлена хл х' 1л-П Хл .
х — — + — —...+( — 1) 2 3 л ' остаточный член )т„указывает, как велика ошибка при этом аппроксимнровании. Чтобы оценить точность этого приближения, достаточно только получить оценку остаточного члена Й„; эта оценка сразу же получается на основании оценок определенных интегралов (стр. 153). Предположим сначала, что х )~ О; тогда подынтегральная функция во всем промежутке интегрирования неотрицательна и меньше чем Г". Следовательно, ~й„! < ~ ги йг = —, о и мы видим, что для всех значений х, лежащих в интервале 0 ( х ( 1, можно сделать ~)Г„1 сколь угодно малым, если только выбрать достаточно большое значение и (ср.
гл. 1, $ 5, п' 5, стр, 50). Если же х лежит в интервале — 1 < х (О, то подынтегральная функция сохраняет постоянный знак и по абсолютной величине не ~г~л превосходит —, и мы получаем следующую оценку остаточного 1+х ' члена: 1л~ 1+х ) (1+х) (л+!) ' < — '( гийг= о Итак, мы видим, что и в этом случае ~Л„~ сколь угодно мала при достаточно большом значении л; но наша оценка, разумеется, неприменима при х= — !. Окончательно мы можем утверждать, что х' х' л !Хл 1п(1 +х) =х — — + — —...
+( — 1) — +Й, 2 3 л л нрнчем остаточный член )г'„с возрастанием л стремится к нулю, если х лежит в интервале — 1 < х ~'.1'). Из предыдущих неравенств можно даже вывести одну и ту же оценку 1)т„1 для всех значений х ') Следует заметить. что этот интервал слева открыт, а'справа замкнут. ГЛ. ЧЬ. ФОРМУЛА ТЭЙЛОРА интервала — 1+ й < х < 1, где й означает положительное произ- вольно малое число, Ы ( й ( 1. Именно 1)та!( Л л 1 1 Эта формула показывает, что во всем интервале функцию !и 11+ х) можно приближенно представить многочленом и-й степени по край- 1 ней мере с точностью до Л 1 . Читателю предоставляется само- Ь!и+1)' стоятельно доказать, что для всех значений х, для которых ~х!) 1, остаточный член не только не стремится к нулю, но с возрастанием и неограниченно возрастает по абсолютной величине, так что для этих значений х наши многочлены не дают приближенного выражеьььья логарифмической функции.
Тот факт, что в указанном интервале ошибка ьт', стремится к нулю с возрастанием и, выражают также следуюшим образом: в этом интервале логарифм разлагается в бесконечный ряд') хь х' х' !п (1+ х) = х — — + — — — 4+ 2 3 4 Если в этом ряде положить х = 1, то получим замечательную формулу: 1 1 1 1п2=1 — — + — — — +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
