1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Если в начале движения мы отпускаем материальную точку и сг даем ей падать с места А с коордиРис. 96. натами х =- ха, у = уа и парамет- ром д =.- бм то ее скорость возрастает, так как ускорение положительно. Материальная точка будет падать до самой низкой точки дуги со все возрастаюгцей скоростью.
Но, минуя эту самую нижнюю точку кривой, материальная точка замедляет свое движение, так как ускорение становится отрицательным, цу ибо правая часть уравнения движения — я — — становится отрица- в'з тельной. Поэтому скорость убывает, и мы видим из уравнения а' = — 2д (у — уз), что, когда материальная точка снова достигает своей начальной высоты в точке кривой В, скорость обращается в нуль. Так как ускорение по-прежнему отрицательно, то материальная точка должна в этом месте возвратиться назад, совершая обратное качание до места А, и этот процесс, поскольку мы пренебрегаем трением, должен все время повторяться.
В этом колебательном движении время, требуюгцееся для возвращения материальной точки от В к А, должно, очевидно, равняться времени, в течение которого З 5. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНР!Я она прошла путь от А до В. Если обозначить зрел!я такого полного колебании туда и обратно через Т, то движение будет, очевидно, периодически повторяться с периодом Т. Обоаначая через де и дг значения параметра в точках А и В, мы получим для полупериода нашего колебательного движения следующее выра>кение: а, з, 2 )г2е г! 1г уо — У )г2д 1 ~г ф!б) — ф(й) Если 02 — значение параметра в самой нижней точке кривой, то время падения от А до этой низшей точки дается выражением а, 22А 3 3.
Обыкновенный маятнии. Простейший пример такого движения дает так называемый простой или математический маятник. Здесь ааданной кривой является окружность радиуса 1: х=12!пб. у= — 1совб. При этом отсчитываем угол 9 в обоих направлениях от поло. жения покоя, т. е. от низшей точки окружности. Из дзнного выше общего выражения мы получаем непосредственно а а Т= =-У' „~ — 1/ 21 ~ Лй / 1 ~ гтб Ггзт — тггт г -а -а 1г в!пг — — в!пг— 2 2 При этом а 10 < и < и) означает угол наибольшего отклонения маятника, — а есть тот угол отклонения, с которого отпустили материальную точку при 1=0 со скоростью нуль. Введем новую переменную интегрирования и с помощью форд .
а 1 Ф . а мулы в!и — =ив!и —, так что — соз — 519=5!п — аи, 2 2 ' 2 2 2 2а .26 . а-г — 2. в!пз —, — в!пз — = в!п — )г 1 — и2; 2 2 2 2 в!и— а г)б = 2 в савв 2 а 2 в!п — Ли 2 5!и = ~Г- 1 — иг в!пг а 2 ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ 346 тогда наше выражение для периода колебания маятника примет вид Т= 21/— ~/ (1 — и') (1 — и'зш' — 1 2) Мы выразили, таким образом, период колебания маятника с помощью эллиптического интеграла.
Предположим, что угол наибольшего отклонения а очень мал, тзк что второй множитель под знаком радикала может быть с достаточной точностью заменен единицей. Мы получаем тогда для периода колебания приближенное выражение: Этот интеграл можно вычисляешь по формуле 13 нашей таблицы интегралов (стр. 236), и мы получаем в качестве приближенного значения Т выражение 2Л 1/ ~,'~. Рис. 97 х = а (6 — а)п 6), у = а (1+ соз 6). ') Такие колебания называются изохроиными. 4. Циклондальиый маятник. То обстоятельство, что период колебания обыкновенного маятника не строго независим от угла наибольшего отклонения, побудило Христиана Гюйгенса, в связи с его работами по устройству точных часов, искать такую кривую, на которой период колебания был бы строго независим от того, с какого ь)еста кривой колеблющаяся материальная точка начинает свое движение ').
Гюйгенс ~а— выяснил, что такой кривой является циклоида. Для того чтобы материальная точкз могла всобще совершать колеЗлж ю банна по циклоиде, точки заострения циклоиды должны быть обращены в сторону, противоположную направлению силы тяжести, т. е.
циклоиду, которую мы до сих пор рассматривали (стр. 305), надо перегнуть вокруг прямой у=-а. Получим рис. 97. Поэтому мы пишем теперь урзвнения циклоиды в форме 347 4 з. РАБОТА и энеРГия Время, в течение которого материальная точка проходит по циклоиде путь от точки, находящейся на высоте у„= а П + соз а) (О < а < и), т ./ 1 ~-~Уел"-~ у" „ / а ~ Г 1 ° Е Применяя тождество соз ц — соз Ь = 2 (соз- — — соз — ), г а г Ег 2 2)' получзем и 1) а 1 созг — — созга 2 2 Для вычисления определенного ную и с помощью подстановки Гг а соа — = и соз —, гйп 2 '2' интеграла введем новую перемен-. — 17й = — 2 соэ — лги. 6 а 2 2 Получаем а Ф а з созг — — соз'— 2 2 == — 2 агсз1п и )1 = п, — -- = ° гги о г' 1 — иг 1 откуда Т= — 4л 1l —, г к так что период колебания Т действительно ие зависит от угла наибольшего отклонения н.
ф 6. Работа н энергия 1. Общие замечания. Вопросы, рассмотренные в предыдущих параграфах, как и многие другие проблемы механики и физики, получают новое освещение, если ввести понятие раболгы. Представим себе опять, что мзтериальная точка движется по кривой под влиянием силы, действующей по направлению этой кривой (т. е. в каждой точке — по направлению касательной в этой точке), и что положение точки кривой задается длиной дуги з, отсчитываемой от некоторой начальной точки. Тогда сила будет в общем случае до самой нижней точки циклонды, выражается, согласно последней формуле из и'2, стр.
345, так: Гл. ю пРР!ложения ззвисеть от в. Мы допускаем, что она является непрерывной функцией от в. Эта функция принимает положительные значения, когда сила направлена в сторону возрастания длины дуги в, и отрицательные, когда сила имеет противоположное направление. В том случае, когда величина силы, действующей по направлению движения, постоянна, под работой, произведенной силой, подразумевают произведение силы на путь з,— за, пройденный материальной точкой, где з означает конечную, а зэ — начальную точку движения. Если же сила переменна, то произведенная ею работа должна быть определена с помощью предельного перехода.
Для этого разбиваем весь интервал от з„до з, на и равных или неравных чзстичных интервалов и предполагаем, что в каждом частичном интервале сила имеет постоянное значение, например то значение, которое она действительно принимае~ в некоторой точке пто произвольно взятой в этом интервале. Для такой прерывной силы, изменяющейся скачками от одного интервала к другому, работа выражается суммой где под у(п,), у(пз), ..., у(п„) мы подразумеваем промежуточные значения силы, взятые в первом интервале, втором интервале и т, д., а через Лзн Лзз, ..., Лз„обозначаем длины этих интервалов.
Если теперь совершить предельный переход, заставляя и неограниченно расти, а длину наибольшего нз частичных интервалов стремиться к нулю, то наша сумма, согласно определению интеграла, будет стремиться к интегралу А = ),г' (в) Фв, и этот интеграл естественно рассматривать как работу, произведенную силой при дзнном движении. Если направление силы совпадает с направлением движения, то произведенная работа положительна; в этом случае говорят, что сила лроизводит или затрачивает работу; если же направление силы и направление движения противоположны, то работа отрицательна; тогда говорят, что произведена работа против силы'). Будем рассматривать координату положения з и силу р как функции времени 1: в=з(г), р=р(Г). Построим на плоскости систему прямоугольных координат с абсциссой з и ординатой р.
уравнения ') Следует помнить, что прн этом способе выражения надо четко различать, о какой силе идет речь, Твк, например, при подннманин груза работа силы тяжести отрицательна. С точки же зрения человека, поднимающего этот груз, эту работу следует считать положительной, нбо человек, поднимающий груз, производит работу посредством силы, направленной противвположно силе тяжести. 5 6. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ лай з = з(Г), р =- р (г) лают параметрическое представление некоторой кривой; представим себе, что она построена.
Эта кривая называется диаграммой работы рассматриваемого процесса. Если мы имеем дело с периодическим движением, как у любой машины, то точка (з, р), перемешаясь с изменением параметра Г, вернется опять к своему исходному положению через некоторый промежуток времени Т (период), т, е, диаграмма работы будет замкнутой кривой. Может случиться, что эта замкнутая кривая будет состоять из одной и той же дуги, пробегаемой сперва в одном, затем в обратном направлении; так будет в том случае, котла сила первоначально задана как однозначная функция от з и не зависит явно от г, например при упругих колебаниях.
Однако диаграмма работы может оказаться и настоящей замкнутой кривой, ограничивающей некоторую площаль; так будет, например, у всякой тепловой поршневой машины, в которой давление пара на поршень при прямом его холе отлично от давления при обратном ходе поршня. Работа, производимая силой давления пара за один цикл, т. е. за период Т, выражается интегралом Р(Г') — „г ж, где промежуток времени от Га до Га+Т представляет как раз один период движении. Эта работа численно равна взятой с обратным знаком ориентированной плошали, ограниченной диаграммой работы, или, как говорят, площади петли этой диаграммы (ср.
первую из формул для ориентированной площади на стр. 317). Если обход диаграммы совершается в положительном направлении, то работа, произведенная паром, отрицательна; если в отрицательном, то произведенная работа положительна. Если кривая состоит из нескольких петель, из которых одни пробегаются в положительном направлении, а другие— в отрицательном, то общий итог произведенной работы выражается алгебраической суммой ориентированных площадей всех петель, взятой с обратным знаком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
