1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 64
Текст из файла (страница 64)
быть только положительным. [В результате фиксирования знака квадратного корня коивизна не меняет анака при преобразовании х= — Ц В качестве примера вычислим кривизну окружности радиуса а, пробегаемой в положительном направлении. Такое направление обхода получается, если зздать эту окружность параметрическими уравне;иями х = а сов с, у = а з[п с, Простое вычисление дает и = 1/а. Кривизни окружности, описываезсой в ноложилгельнолг поправлении, равно обратной величине ее радиуса, Этот результат подтверждает целесообразность нашего определения кривизны, так ка< естественно считать мерой кривизны окружности обратную величину ее радиуса.
Положим (для любой кривой) р= 1/й, Величину [ р[ = 1/[ й[ называют радиусом кривизны кривой в рассматриваемой точке. Окружность, касающаяся кривой в данной ее точке, обладающая в этой точке тем же направлением обхода и той же кривизной, что и данная кривая, и имеющая центр на положительной или отрицательной стороне нормали, смотря по тому, положительна или отрицательна 327 З 2, ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 2! кривизна, называется окружностью кривизны, соответствусощей упомянутои точке кривой. (Пояснение: две кривые называются касающимися в их общей точке, если они имеют в этой точке общую касательную. Об определении направления нормали см. стр, 308.! Представим себе уравнение окружности кривизны (иди ее дуги, содермсащеи рассматриваемую точку кривой) в виде у = к (х), а уравнение кривой в виде у = 7 (х).
Тогда в рассматриваемои точке кривой не только 7 (х) = д'(х) и 7'(х) = л'(х) — эти равенства выражают факт касания окружности с кривой, — но и ул (х) = д'л (х), что вытекает из соотношения у" (х) й к" (х) ()с 1 + (У' (х) Р )з ()с 1 + (,. (х))2 )з — окружность и кривая имеют одинаковую кривизну., Центр окружности кривизны называется центром кривизна, соответствующим данной точке кривой. Радиус окружности крнвианы равен радиусу кривизны кривоп, что ясно из определения последнего: ! р ~ = 1/~ й !. Если кривая задана параметрическими уравнениями х = =х(!), у=у(г), то координаты В, г) центра кривизны выражаются через параметр ! следующими формулами: с=х — , т)=у+ РУ рх )с хе+ ул ~сгхл + уе Для вывода этих формул надо воспользоваться выражениями направляющих косинусов нормали (стр, 307), па которой и лежит центр кривизны на расстоянии )р)=!/)и! от данной точки кривой.
Эти формулы выражают координаты центра кривизны через параметр !. Когда ! пробегает свой интервал значений, центр кривизны описывает крг)вую, называемую вволютоп данной кривой, Так как вместе с х и у надлежит рассматривать как известные функции параметра Е и их производные х и у, а также р, то те же формулы для координат центра кривизны дают параметрические уравнения эволюты. Конкретные примеры читатель найдет в следую!цен параграфе (й 3, стр. 331 и след.) и в Дополнениях к этой ~лаве (стр. 35! и след.). 9, Статический момент кривой и ее центр массы (центр тяжести). Переходим к некоторым применениям из области механики. Рассмотрим систему п лежащих в одной плоскости материальных точек.
ПУсть тн та, ..., тл — массы этих точек, У,, У2... „Ул— их ординаты. Величина Тк = ~Х'.С тя)В = т!У!+ Я2У2+ ° .. + тлрл 2-1 328 ГЛ. Н. ПРИЛОЖЕНИЯ Пусть теперь п-ь.оо. а наибольшая из величин Аз, стремится к нулю; тогда сумма, обозначенная через Т„. стремится к определенному пределу Т„= К ~ у сгз = и ~ у T1+ у' дх, к„ который естественно принять за определение статического момента дуги кривой относительно оси х. Так как полная масса дуги кривой равняется ее длине, умноженной на рл и 1ь ~ из = )ь (ег ео) то отсюда получаются выражения для координат центра массы (центра тяжести) дуги кривой: б (хиа Ф=- — ° т 5~ зь ч е з| — зь ' называешься статическим моментом атой системы точен относительно оси х, т Выражение т1 = — дает ординату центра .кассы (центра тя- М жести) нашей системы точек, причем Пт = т, + тя+ ...
+ т„ означает общую массу всей системы точек. Аналогично определяются статический момент относителыю оси у и абсцисса центра массы, Эти понятия можно обобщить и дать опрелеление статического момента материальной кривой у = у (х), рассматриваемой как носительница равномерно распределенной массы, и координат 8 и т) центра тяжести такой кривой.
Только ради краткости мы предполагаем, что плотность массы р постоянна вдоль всей кривой. С таким же успехом можно рассматривать любое непрерывное разпределенне лхассы. Мы сводим нашу задачу к рассмотрению системы конечного числа точек и перехолу к пределу. Для этой цели мы предполагаем, что на кривой з качестве параметра выбрана длина дуги т и делим рассматриваемую дугу кривой с помощью и — 1 точек деления на п дуг длиною Ьзо Азя, ..., Аз„. Массы рАЕ~ каждой из этих дуг мы представляем себе сконцентрированными в некоторой точке дуги с ординатой уи Согласно определению, мы получаем для статического момента этой системы точек выражение 5 Х ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ПЛОСКИХ КРИВЬ|Х 329 Эти формулы, в сущности, дают определения статического моментз и центра массы дуги кривой; но они являются столь прямым обобщением более простого случая дискретной системы материальных точек, что естественно ожидать, что всякая теорема, касающаяся центра массы или статического момента системы точек, сохраняет силу и для дуп1 кривой, и это ожидание оправдывается.
В частности, положение центра массы относителыю дуги кривой не зависит от системы координат, 1О. Площадь поверхности вращения и объем тела вращения. Если кривая у=у(х), где г(х))~0, вращается вокруг оси х, то она описывает так называемую поверхность вращения. Плошадь этой поверхности можно непосредственно получить путем рассуждения, совершенно зналогичного предыдущему. Пусть абсциссы точек поверхности изменяются в пределах от хз ло м, ) хз.
Заменим сначала кривую вписанной ломаной линией и получим, вместо кривой поверхности, геометрическую фигуру, состоящую из конечного числа усеченных круговых конусов. Руководствуясь интуицией, мы определим пло1цадь поверхности вращения кзк предел суммы ПЛО1ЦадЕй боковых поверхностей этих усеченных конусов, когда длина наибольшего звена вписанной ломаной стремится к нулю.
Но боковая поверхность усеченного конуса равняется, как известно, длине образующей, умножешюй на длину среднего кругового сечения. Склздывая эти выражения и совершая затем предельный переход от ломаной линии к кривой, мы получим для плошади поверхности вращения выражение х( Р = 2л ~ у У 1+ у' 11х = 2л ~ уг1з х, 5 или с =-2лт)(г1 — з ), где 11 — ордината центра массы дуги. Этот результат люжно словесно выразить так: боковая поверхность тела вращения равна длине вращающейся дуги кривой, умноженной на длину пути, описываемого центром масс этой дуги (правило Гульдина).
Совершенно аналогично получается для объема, ограниченного 'нашей поверхностью вращения и плоскостями х = хз и х = х, ) хз, выра1кение к, )к = л ~ уз 11х, х, Вывод этой формулы основывается па следующем опирающемся на интуицию определении: под искомым объемом мы разумеем предел суммы объемов только что рассмотренных усеченных конусов, Самый вывод предоставляем читателю.
11. Момент инерции. При исследованви вращательного движения в механике важную роль играют известные величины, называемые ГЛ. Ч, ПРИЛОЖЕНИЯ »П моментами инерции. Остановлюсь кратко также и на этих выра>кениях, Пусть материальная точка с массой и, находящаяся на расстоянии у от оси х, равномерно вращается вокруг этой оси с угловой скоростью ы (т. е. в единицу времени точка поворачивается на угол ы).
Кинетическая энергия точки, равная половине произведения массы на квадрат скорости, выражается, очевидно, формулой — (уе>)2 = 2 1 2 л»у2 ю2 Множитель при — ы, т. е. величина ту, называется л»оменглол» 1 г 2 инерция материальной точки относительно оси х. Точно так же н в случае и материальных точек с массами л»», тз, ..., т и ординатами у,, у2,..., у„выражение Г= ~~' т.у2. называется моментом инерции данной системы точечных масс относительно оси х.
Момент инерции есть величина, присущая данной материальной системе масс как таковой, независимо от ее состояния движения. Значение момента инерции состоит в том, что если вся система вращается вокру~ оси так, что взаимные расстояния точек системы остаются неизменными, то кинетическая энергия системы получас~си умножением момента инерции системы относительно оси вращения на половину квадрата угловой скорости. Момент инерции относительно оси играет при вращательных движениях вокруг этой осн такую же роль, как общая масса материальной системы при ее прямолинейном поступательном движении.
Предположим теперь, что вдоль произвольной кривой у = Г(х) равномерно распределена масса с линейной плотностью 1. Чтобы определить момент инерции дуги этой кривой, лежащей междУ абсциссами хе и ли мы постУпаем точно так же, как и пРи определении статического момента; отсюда получается следующее определение момента инерции относительно оси хн к, «> У«= ~ у2»Гг= ) у2 'г 1 +у'»Гх. «О Таким же образом для момента инерции относительно оси получаем выражение к, г = ~ х2»Гг= ~ ха Г>1+ у'2»Гх. 7 ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ Площадь поверхности, образуемой вращением одной арки циклонды вокруг оси х, получается, согласно нашей формуле (стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
