1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е. х выражен как функция от у. ' Всякая внутренняя точка этого круга описывает кривую, называемую укороченной циклоидой; каждая точка радиуса. жестко связанного с катящимся кругом, лежащая вне этого круга, описывает удлиненную циклоиду, Обозначим через Ь расстояние от центра круга, катнщегося по оси х, до точнн М, движение которой изучается. Параметрические уравнения траектории точки М таковы: х = ас — Ь э!и б у = а — Ь сов К При Ь < а это— укороченная циклоида, пря Ь > а †удлиненн циклоида, при Ь = а— обыкновенная циклоида. Читателю рекомендуется вывести этн уравнения и набросать чертежи для случаев Ь < а и Ь > а. В упр. 2 н 4 иа стр.
310 рассматриваются траектории точки окружности, катящейся без скольжения но неподвижной окружности — по ее внешней нлн внутренней стороне, „ Прн параметрическом представлении геометрически заданной- кривой, как уже сказано на стр. ЗОЗ, в выборе параметра имеется большая свобода. Так, например, вместо времени Ь можно было бы ввести в качестве параметра величину з = Гэ или даже совершенно произвольный параметр т, связанный с первоначальным параметром Ь любым уравнением вида т = ы (Г), причем предполагается только, что во всем рассматриваемом интервале значений Г эта функция имеет единственную обратную функцию !=к(т). Если при этом возрастающим значениям Ь соответствуют возрастающие значения т, то положительное направление пробе~а кривой остается тем же; в противном случае оно изменяется на обратное. Разумеется, в параметрической форме можно задавать не только прямоугольные координаты точек кривой, но точно так же и полярные коорднналты г и б, связанные, как известно, с прямоугольными координатами посредством уравнений: х=гсовб, у=гв1пб илн г= угхт+уэ, б=агс!и У, х' так что параметрические уравнении в полярных координатах будут г = г (Ь), 6 = 6 (!), 20 Р.
Курант где Ь обозначает угол, па который повернулся катящийся круг от своего начального положения; если круг катится равномерно, то этот угол поворота пропорционален времени, Исключая параметр Ь, можно получить уравнение циклоиды в обычном, не параметрическом виде, но ценой потери простоты и наглядности. Имеем ГЛ. Ч, ПРИЛОЖЕНИЯ !3 Так, например, для прямой мы получаем параметрическое задание (рис. 85) г= —, О=а+с Р соат '- (р и а — постоянные), откуда, исключая параметр г, мы сразу получаем обычное уравнение прямой в полярных координатах: Р соз (6 — а) 3. Производные от координат по параметру длп кривой, заданной в параметрическом виде.
Если кривая задана, с одной стороны, уравнением у =- у (х) и, с другой стороны. в параметри- ческом виде уравнениями х = х(г) У и у= у(г), то имеет место тождество у(т) = у [х(1)), Согласно правилу дифференцирования сложной функции (правилу цепочки), имеем тогда лу лу дх ~й их йа или лу у их х Рис. 85. где дифференцирование по параметру г, краткости ради, обозначается вместо штриха точкой, поставленной над дифференцируемой величиной (обозначение Ньютона). Штрих сохраняем как символ дифференцирования по х. Так, например, для циклоиды получаем: 2 г . ° . г х = а (1 — соз Г) = 2а згвз —; у = а зп1 Г = 2а ейп — соз —.
2' 2 2' Эти формулы показывают, что в точках г=О, +2п, +4п, ..., в которых циклоида встречает ось х, она имеет точки заострения с вертикальными касательными; в самом деле, при приближении к этим точкам производная у = —.=с(ив г У х 2 стремится к бесконечности; в самой такой точке у=О, тогда как в ее окрестности всюду у) О. Уравнение касательной к кривой имеет вид (й — х) у — (и — у) х = О, В Е АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВОИ где ~ и й — текущие координаты, т.
е. координаты переменной точки касательной. Точно так же уравнение нормали кривой, т. е. прямой, проведенной через какую-нибудь точку кривой перпендикулярно к касательной в этой точке, имеет вид Я вЂ” х) х + (2) — у) у = О. Напраеляюн4ие коганусы касательной, т. е. косинусы углов а, р, образуемых касательной с осью х и осью у, выражаются так: сова=, совр= х у А. )Ухе+ уь ~ уехь+уа что нетрудно проверить элементарными средствами.
Соответствующие напраелнюяьае косинусы нормали выражаются формулами: у Х СОза =, совр ~ )г хе + у' ~ у~х' + у' (рис. 88). Эти формулы показывают, что во всякой точке, в которой х и у, как функции от г, непрерывны, а ха+уз) О. направление касательной изменяется непрерывно с изменением г. Это — самый важный для нас случай. Однако интересно также выяснить, какие геометрические следствия влечет за собой невыполнение этих предположений, в частности невыполнение условия хя + ур ) 0; в такой ситуации нельзя раз навсегда установить, продолжает ли касательная непрерывно вращаться или пет. Этн явления мы иллюстрируем на примерах.
В качестве первого примера возьмем полукубическую параболу х — ез у — г2 знакомую нам по стр. 1224 и 303. Хотя Рнс. 66. для этой кривой х и у всюду непрерывны, но они обращаются в нуль при 1 = О. В этой точке, т. е. в начале координат, кривая имеет точку заострения, и непрерывное изменение направления касательной нарушается. В качестве второго примера рассмотрим кривую х = гз, у = гз; и для нее х и у обращаются в нуль при г=О. Но эта кривая есть просто прямая у = х, и ее касательная имеет постоянное направление, так что направление касательной изменяется непрерывно. Итак, в точке, где х = у= О, непрерывное вращение касательной может ГЛ.
Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ нарушаться, но может и не нарушаться. Более того, и в точке, в которой х(1) н у(1) имеют разрыв, изменение касательной может остаться, но может и ие остаться непрерывным. Действительно. пусть ~р(1) — непрерывная, монотонно возрастающая функция, определенная в промежутке 1, (1 (12, имеющая угловую точку при 1=-12, 1, < 12 ( 1,. Тогда кривая х =1, у=ф(1), т. е.
кривая у=гу(х), имеет угловую точку при х =12; а между тем кривая х=гр(1), у=гр(1), которая является отрезком поямой у=х, имеет постоянное направление касательной, котя в точке 1 = 12 производные х и у не существуют. Отсюда вытекает, что для исследования поведения касательной в особой точке параметрического задзния кривой надо сначала вычислить по данным выше формулал~ сова нли совр как функции от 1 н затем исследовать эти самые направляющие косинусы. Из формул для направляющих косинусов касательной можно вынести формулу для угла Ь между двумя кривыми, т.
е. для угла между их касательными или нормалями в общей точке этих кривых. Пуств параметрические уравнения первой кривой: х = х,(1), у = у,(1). уравнения второй кривой: х=хз(1), у=уз(1). Обозначим угол от оси абсцисс до касательной через а, для первой кривой и а2 для второй кривой. Тогда соз Ь = соз (аз — а,) = х'х'+ Угд2 ~ггх2+ 2~,г 2+ '2 Неопределенность знака перед квадратными корнями в этой формуле и в формулах для направляющих косинусов касательной и нормали отражает тот факт, что наши углы не вполне определены, поскольку на каждой из этих прямых можно выделить любое из двух направлений в качестве кположительного».
Если брать, как обычно, положительное значение квадратного корня, то это значит, что за положительное направление касательной выбрано направление, соответствующее возрастанию параметра 1. а положительное направление нормали получается положительным вращением только что выбранного направления касательной на угол п12 (т. е. вращением против часовой стрелки). Л2 у Вторая производная у" = — „, получается с помощью правила йх2 цепочки и правила дифференцировзния частного следующим образом: Фу' йу' йг й у) 1 ху — ух 1 у йх вг лх лг (х х х2 х Итак, й2у ху — ух Лх2 хЗ З Ь АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВОЙ 4. Переход и новым системам координат при параметрическом задании кривой.
Если повернуть систему координат на угол а в положительном найравлении, то новые прямоугольные координаты $, т) связаны со старыми х, у соотношениями: х=всоза — ЧЗИ1а, С=хсоза+уМпа, у = в яп а+ г) соз а, т) = — х яп а+ у соз а. Поэтому, вместе с х н у, новые координаты $ н т) также представлены в виде функций параметра 7, Дифференцируя, получаем: х=йсоза — т)япа, в= хсоза+узша, у=сМпа+т)соза, т~= — хйпа+-усоза и т. д. Представим себе, что кривая -задана в полярных координатах в параметрическом виде: г = г (г), 6 = б (г).
формулы перехода от полярных координат к прямоугольным х=гсозд, у=гз|пб сразу дают параметрическое представление этой кривой в прямоугольных координатах с тем же параметром зь х = г (Г) соз б(Г), у = г (т) зга д(7), Дифференцируя эти уравнения по 7, получим следующие соотношения: х = г соз 8 — г з! и б Ь, у = г з1п б+ г соз б ° Ь, (*) которые часто применяются при переходе от прямоугольных к полярным координатам. В качестве примера рассмотрим уравнение кривой в полярных координатах г = у'(()), которое, например, получено путем исключения параметра г из параметрического заданнч г = г (г), б = 6(7).
Покажем, что угол (г между радиусом-вектором любой точки кривой н касательной к кривой в этой точке дается формулой тд )ь = у (о) у'(о) ' Для доказательства представим себе, Рис. 87. что кривая имеет в прямоугольных координатах уравнение у = г"(х), и примем специально в качестве параметра 7 = д, так что Ь = 1, г = )'(д); тогда у' = — = тд а = —. ду,, у г~ие+г и'х х г — г(ЕО (См.
рис. 87 и формулы (*),) ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ 818 л(злее, имеем )!=а — б, так что !а )ь !да — !Яб у' — !дб г+г!Кгб г 1+!йа!Еб 1+у'1КФ г+г!Яаб р Эту формулу легко также вывести и геометрическим путем. 8. Замечании общего характера. При исследовании заданных кривых рассматривают порою такие свойства, которые нисколько не характеризуют формы кривой, а только лишь сообщают что-иибудь о положении кривой относительно системы координат. Таково, например, наличие горизонтальной касательной, выражаемое равенством у=О, или же наличие вертикальной касательной, выражаемое равенством х=О. При повороте системы координат такие свойства не сохраняются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
