1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Теперь дадим общее определение: Если е интервале а (х-~Ь функции Г" (х) непрерывна, за ь исклачетгем, быть можепг, крайней точки Ь, то ) Г (х) йм 21 $ а. ОБОБщение пОнятия интеГРАлА 287 определяют как предел: ь ь-е ~ у' (х) йх = 1нп ~ у" !х) йх е+о е « !при атом Ь вЂ” е стремится к Ь изнутри интервала), при условии, что втот предел сущвсгпвует, В этом случае мы говорим, что ~ Г 1х)йх есть сХодлщийся ив- а собственный интеграл. Если же предела не существует, то мы говорим, что несобственный интеграл ) )'(х)йх не существует или а расходится. Аналогичное определение дается для того случая, когда подынтегральная функция обращается в бесконечность не на правом, а па левом конце промежутка интеграции, т. е. на нижнем пределе интеграла.
Ы несобственный интеграл можно геометрически интерпретировать как площадь. Хотя на первый взгляд не имеет никакого смысла говорить о площади такой области, которая «простнрается в бесконеч- У вость», ио можно все же попытаться определить такую площадь с помощью предельного перехода от областей с конечной площадью. Например, предыдущий результат, относящийся к функциям 11хк, гласит, что площадь, ограниченная осью х, прямымн х = 1 н х = е и кривой у = 11хк при ь -» 0 стремится к конечному пределу, если а < 1, и неограниченно возрастает, если р а) 1. Этот факт выражают словамн просто так: площадь, Рнс. 82.
заключенная между осью х, осью у, нашей кривой и прямой х=1, конечна'при а < 1 и бесконечна при а) 1, Интуиция не может, конечно, дать никаких точных заключений о конечности или бесконечности плошади простирающегося в бесконечность куска плоскости. Можно только сказать, что идущий в бесконечность кусок плоскости тем вероятнее будет иметь конечную площадь, чем уже он стягивается по мере удаления в бесконечность.
В етом смысле рис. 82 иллюстрирует тот факт, что при а < 1 площади над нашими крнвымн остаются конечными, между тем как при а) 1 они становятся бесконечно болыпнми. Лля того чтобы узнать, можно ли для функции у Гх), обра- щаю!цейся в бесконечность при х = К продолжить промежуток 288 Гл.
1ж пОстРОение интеГРАльнОГО исчисления !2 интеграции до точки Ь, часто можно обойтись без особого исследо- вания, пользуясь следующим к р и т е р и е и: Пуслгь в интервале а (х (Ь функция Г(х) имеет положи- тельные значения '), и пусть 11ш У'(х) = ОО. Тогда интеграл х.+ ь ь Г(х) дх сходится, если существуют такое положительное а число ч(1 и такое постоянное, не зависящее олг х число М, М что во всем интервале а (х(Ь функция у(х)(,, т. е., (ь — х) иными словалсгг, если функция Г(х) в точке х=ь обращается в бесконечность ниже первого порядка, Напротив, интеграл расходится, если существуют число ч)~1 и положительное число гч' тиков, что Г(х))~ дг (Ь вЂ” х) ~ т. е., другими словами, если порядок обращения функции в точке х=Ь в бескокечность не ниже первого. Локазательство почти непосредственно вытекает из сравнения с простейшим разобранным раньше случаем. Чтобы доказать, напри- мер, первую часть теоремы, мы примем во внимание, что при О(е(Ь вЂ” а ь — е О ( ~ у'(х) дх ( ~ ~, дх.
а а 1 Интеграл в правой части получается из ~ — (стр. 286) простым Г дх х о изменением обозначений: х на Ь вЂ” х, а на ч и О на Ь; при е -э О он сходится и потому остается ограниченным; заметим еще, что значеь-е ния ~ Г(х)сгх при е -+ О монотонно возрастают. Так как зти значения а ь ограничены, то они стремятся к пределу, т. е. ~ у'(х)дх сходится.
а Совершенно аналогичное доказательство второй части теоремы предоставляется читателю в качестве упражнения. Таким же образом легко убедиться в том, что соответствующие теоремы имеют место и в том случае, когда подынтегральная функция обращается в бесконечность на нижнем пределе интеграции. Если подыптегральная функции обращается в бесконечность во внут- ') В Дополнениях к восьмой главе мы увидим, что зто ограничение относительно знака можно легко устранить. 289 з! э а.
ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА ренней точке рассматриваемого интервала, то достаточно только этой точкой разбить промежуток интегрирования на два частичных интервала и к каждому из них применить предыдущие рассуждения. В качестве дальнейшего примера рассмотрим эллиптический интеграл 1 (лт < И 1 (à — ')Н вЂ” т' Ч о Сразу видим из тождества 1 — х' = (1 — х) (1.+х), что при х = 1 подынтегральная функция обращается в бесконечность только порядка 1)2, откуда следует, что несобственный интеграл сходится. 3. Бесконечный промежуток интегрирования.
Другое столь же важное обобщение понятия интеграла заключается в том, что один из пределов интегрирования берут бесконечно большим. Чтобы точно выразить зто обобщение понятия интеграла, мы вводим следующее обозначение! если интеграл ~ у (х) с(х и при фиксированном значении а стремится к опрелеленному пределу, когда положительное число А неограниченно возрастает, то этот предел мы обозначим символом ~ у (х) с1х а и назовем несобственным интегралом с бесконечпыч промежутком интегрирования от функции у(х). Само собою разумеется, что такой интеграл не всегда существует или, как говорят, не всегда сходишся. Простые примеры возможных прн этом случаев опять дают нам функции У(х) =1/хн1 отсюда выводим, исключая сперва случай а = 1, что при а > 1 этот интег- рал с бесконечным пределом сходится, а именно: напротив, в случае а < 1 интеграл уже не сходится.
В случае а=! интеграл, очевидно, тоже не сходится, так как !пх возрастает неограниченно вместе с х. Итак, мы видим, что по отношению к интегрированию по бесконечному промежутку функции 1/хн ведут себя иначе, чем при интегрнро- 19 Р. Курант 290 ГЛ. !Ч. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (3 ванин от точки нуль. И здесь тот же рнс. 82 дает некоторое наглядное подтверждение этого факта. В самом деле, мы видим, что чем больше и, тем ближе подходят кривые прн больших значениях х к оси абсцисс, тзк что становится понятной конечность соответствующей площади прн неограниченном возрастании А, если показатель а достаточно велик. Для решения вопроса о сходимости интеграла с бесконечным пределом интегрирования можно пользоваться следующим критерием, причем мы опять будем предполагать, что прн достаточно больших значениях х, скажем при х)~а, подынтегральная функция имеет постоянный знак'), который мы можем, не ограничивая общности, считать положительным.
Этот критерий гласит: Интеграл ~,: :г" (х) с(х сходится, если функциа у(х) обращается в беснонечности в нуль порядка выше первого, т. е. если существует такое число и „ь 1, что при всех значениях х, как бы М велики они на были, имеет место соотношение ~У(х)~ ( —, х где гИ означаепь некоторое фиксированное число.
не зависящее от х. Интеграл расходитса, если функция ( (х) остается положительной и в бесконечности обращается в нуль порадка не выше первого, т. е. существует такое постоянное положительное число Л(, что ху(х)))~(!(. Доказательство этого критерия, которое совершенно аналогично доказательству в предыдущем пункте, предоставляется читателю. Г 1 Простейший пример представляет интеграл г( — г(х, (а > О).
Подынтегх' а ральная функция имеет в бесконечности исчезание второго порядка. И действительно, сразу видно, что интеграл сходится, так как л 1 1 1 — их= — — —, ха а А' откуда 1 1 — ах = —. х' а Столь же прост пример 1 и — их= (нп (агс(е А — агс(ЕО) = —. (+ха л 2 о ') Это ограничение относительно постоянства знака будет устранено в Дополнениях к восьмой главе, й 3.
$8. ОЗОЕЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА 291 л -хй Интегралы ~ е х лх н ~ хле " Мх тоже сходятса, в чем нетрудно убе- о о днться с помощью нашего критерия. 4. Гамма-функция. Дальнейший, особенно важный для анализа пример представляет так называемая гамма-функция Г(и) = ~ е-ххл-'е(х (и) 1). о Й здесь критерий сходимости выполнен; в самом деле, 11ш е — ххл — 1хя О х +со так как показательная функция е " при х — лсо обращается в нуль более высокого порядка, чем любая степень 1/ххл (ш) 0). [При и ( 1 рассматриваемый интеграл делается несобственным по дзум причинам: в силу наличия бесконечного верхнего предела и вследствие обращения подынтегральной функции при х = О в бесконечность. Для выяснения вопроса о сходнмости гамма-интеграла при и ( 1 разбиваем его на два интеграла: Е-хХл-1Г(Х И ~ Е-хХл-11(Х о 1 Гамма-интеграл сходится в том и только в том случае, если сходятся оба этих несобственных интеграла.
Но второй из них сходится при любом и (это доказывается приведенным выше рассуждением). В первом же интеграле подынтегральная функция обращается при х — ьО в бесконечность того же порядка, что и степень 11х1 "; стало быть. интеграл сходится в том и только в том случае, если 1 — и(1. т. Е. И) О. СЛЕЛОВатЕЛЬНО, И ИСХОдНЫй ИНтЕГраЛ [ Е-хХА-' 11Х СХО- о дится при и > 0 н расходится при и (О, т. е. функция Г(и) определена прн 0( и ( со и только в этом промежутке.
Этн сведения понадобятся в гл. 10 второго тома.] Этот интеграл (гамма-функция), который можно рассматривать как функцию чйсла и (не обязательно целого), удовлетворяет замечательному соотношени1о, которое получается с помощью правила интегрирования произведения следующим образом: е — ххл-'11х = — е-ххл-'+(и — 1) ~ е ххл тих. 1дл 292 ГЛ. Ш. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 15 Произведем интегрирование в пределах от 0 до со, т. е.
сперва от 0 до А, а затем станем неограниченно увеличивать А; тогда в пределе получим Г (п) = (и — 1) ~ е- х"-гг(х = (и — 1) Г (и — 1) о и из этой рекуррептной формулы, если 15 — целое число и 0 с, р ( и, Г (и) = (и — 1) (п — 2) ... (и — 15) Г (п — 15). В частности, если п — целое положительное число, то Г(и)=(и — 1)(и — 2) .. „3 ° 2 ° 1Г(1), и так как Г (1) = ) е "' 5(х = 1, о то окончательно получаем Г(и)=(и — 1)(и — 2) ... 2 1=(и — 1)1, если и — натуральное число. Это представление факториалов с помощью интеграла играет большую роль в очень многих приложениях. 8.
Интеграл Дирихле. Важным сходящимся несобственным интегралом, имеющим многочисленные приложения, является интеграл Дарихле СО г= ~ — ах, Г мох х о но его сходимость нельзя установить с помощью нашего критерия. Несмотря на наличие знаменателя х в подынтегральной функции, точка х = О пе является особой для этого интеграла, так как 9!в х -ь 1 при х -ь О. Сходимость этого несобственного интеграла х обусловлена периодическим чередованием знака подынтегральной функции, приволящим к тому, что слагаемые интеграла, происходящие от соседних промежутков длиной и, почти компенсируют друг друга. Для того чтобы использовать это обстоятельство, исследуем выражение в 1 51ПХ ~~Аз ) А Так как Влв — — Вов — г;)ОА, то, согласно критерию Коши (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
