1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 59
Текст из файла (страница 59)
96 †1. з Г1+) х Г х' — 1 4 Г 1+)' х Уе +1 96 х Дх . 101. [ 4(Х [тг[+ — У!+ — ' ) х(х+1) ... (х+а)' Вычислить интегралы в упр. 102 — 107. я/т 1 Г х'"+' !Гх 102. ~ соз х!Гх. Гбб. л! У1 — х' о о я!а 1 1ОЗ. ~ соз'ЗОВ!и'601(0. 106. ~ хт)' ! — хенх. о о 1 ! 104. ~ ° 107. ~ х! (1 — хт) А 4(с. Ут — х' о о Вывести рекуррентные формулы для интегралов в упр. 108 — 1!2. 106. [ хе (!и х)44 г(х, 111. ~ еае з!! Ьх т(х.
109. [ х"е"" з!и Ьх 4тх. 112. ~ еах с)! Ьх а!х. 11О. [ хееаг соз Ьх !(х. т(х 113. Вычислить интеграл ~ тремя различными способами и У а' — х' сравнить результаты. те 114'. Пусть Р„(х) = — — (х' — 1)". [Эти многочлены степени и 2"и1 4(хе называются полиномами Лежандра (ср.
упр. 92 и 94, стр. 232),) Доказать, что для любого многочлена / (х) степени т ~ а [ Р„(х) у' (х) !Гх = О, -1 ! В частности, [ хе!Ре(х)!тх=О при т(а. -1 300 ГЛ. 1Ч. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ПБ. Показать, что ) Рм(х) Р„(х) ах=О, если гл + л, т. е. что Рю(х) -1 и Р„(х) прн гл ~ л ортогональны (стр. 247).
1 2 116, Доказать, что Рт (х)с(х = — . 2л+1 ' -1 1 117. Вычислить ~ х"Рл(х) г(х. -1 Выяснить, сходятся ли или расходятся несобственные интегралы в упр. 118 — 131. л л 118. ~ . 125. ~ х!и з1п х их, «х Г' аХ вЂ” Х' о о ПО, ~ . 126.
~ е кФх. 1 О 1 ьО ! тл тл-1 -к' 129. ~(! — ) И. 127. х" е х с!х. х) о ! лж 121. ) х'л (!и — ) Лх. 128. о о !22. ~ е кхл'(!и х)" ах. 129. 1+х'з!и'х ' о е л СО 123. ~ 1и к!п х т!х. 136. ~, хлх 1+х' з!и'х ' о о Г 1 Г х" г(х 124. ~ — 1и а!п х Их. 131*. ~ х ~ 1(.бз!птх о о 132".
Доказать теорему: если ~ — Их сходится при любом положи- Г у(х) х а тельном значении а н если Г(х) стремится к пределу 1. при х-ьО, то Фх сходится и равен 7.!и —. х о о СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1Ч 133. Пользуясь теоремой предшествующего упражнения, показать, чтов е л" — е Ех () Г совах — сов бх а) ах =1п —; б) ~ Лх = 1и —. х а' х а а 13Е*. 1(оказать теорему: если ~ — сходится прн любых положнтель- Г У (х) л ных значениях чисел а и Ь и если у (х) стремится к пределу М при х-ьсо и к пределу Ь при х -ьО, то СО 'И ) — У(бх), (, М)1„б х а о 133.
Вывести следующие выражения для гамма-функции: Ш 1 ,л-1 а) Г (л) = 2 ~ хт" 1е х лх; б) Г (л) = ~ 1и ( †) лх. о о ГЛАВА К ПРИЛОЖЕНИЯ Имея теперь в своем распоряжении известный запас сведений из области дифференциального и интегрального исчисления, мы покажем в настоящей главе, что полученные результаты применимы к различного рода вопросам геометрии и физики. 9 1. Аналитическое задание кривой 1. Параметрическое задание кривой. Как мы видели в гл.
1, стр. 32, представляя кривую как график функции у = у'(х), мы должны каждый раз ограничиваться однозначной ветвью кривой. Поэтому во многих случаях, особенно для заихнуглых кривык, более удобно польаоваться другими способами аналитического задания кривой. Самой обшей и в то же время наиболее удобной формой представления является параметрическое задание кривой. Вместо того чтобы рассматривать одну прямоугольную координату как функцию другой, обе координаты х и у выражают в виде функций от третьей независимой переменной 1, так называемой вспомогательной переменной или параметра; при этом точка с координатами х и у описывает кривую, когдз 1 пробегает известный интервал. С такими параметрическими представлениями кривых мы уже встречались.
Так, например, для окружности ха+уз=па мы имели парзметрнческое представление х=асозс, у=аз)пс. Геометрически Г, как известно, означает здесь центральный угол окружности. Точно так же для эллипса ха уа — + — =1 аа За получается параметрическое аадание х = а соз 1, у = Ь з(п 1. где 1 означает так называемую эксцентрическую аномалию, т. е. центральный угол, соответствующий точке описанной окружности (рис.
83). лежащей над или под точкой Р эллипса. В обоих случаях точка с координатами х. у описывает всю окружность или, соответственно, весь эллипс, когда параметр 1 пробегает интервал от 0 до 2п. В общем случае мы можем пытаться изобразить заданную нам кривую, полагая х=Ч(С)=х(1). у=ф(1)=у(1), т.
е. рассматривая две функции параметра 1 (мы будем впредь пользоваться более короткой записью х(1) и у(1) всюду, где это не сможет Э Ь АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КЕИВОИ привести к недоразумениям). При этом обе функции ф(Г) и ф(Г) должны быть для заданно» кривой выбраны так, чтобы совокупность пар значений функций х(Г) и у(Г), соответствующих заданному интервалу значений Г, давала все точки данной кривой и только эти точки. Если кривая первоначально задана в форме у = у (х), то можно получить такое параметрическое задание, полагая сперва х =ф(г), где ф(г)— произвольная, непрерывная и монотонная функция, которая принимает в некотором определенном интервале каждое из интересующих нас значений х ровно Ат один раз; тогда у = у [ф (г) [ = ф (Г), т. е. д вторая функция ф (Г) полу.
чается как сложная функция, составленная из у и ф. Мы. видим, что произвол в выборе функции ф предоставляет нам большую свободу прн параметрическом представлении заданной кривой; в частности, можно положить Г=х, так что перво- Рис. 83. начальное задание у = у'(х) можно рассматривать как параметрическое представление с помощью параметра Г=х. Преимущество параметрического задания заключается как раз в возможности использования остающегося произвола в целях упрощения аналитического выражения.
Так, например, кривую у=тг' ха можно задать параметрическими уравнениями х =Гз, у=Ге, так что ф(Г) =Гз, ф(г) =(э. Тогда точка с координатами х, у пробегает всю рассматриваемую кривую (полукубическую параболу), когда Г изменяется от — ОО до +со. Обратно, если кривая заранее задана в параметрической форме х = ф(Г), у = ф (Г) и хотят получить обычное уравнение кривой в прямоугольных координатах, то достаточно исключить из обоих уравнений х=ф(Г), у=ф(г) параметр г. для приведенных выше параметрических уравнений окружности и эллипса это удается просто путем возведения в квадрат и использования тождества з|пзг+ созаГ=[ (другой пример см.
ниже). В общем случае надо было бы выразить г из уравнения х =ф(г) с помощью обратной функции г =Ф(х); подставляя в у =ф (г), получаем уравнение у =ф [Гр(х)[ = у (х) '); ') Прн этом, однако, может случиться, что полученное таким образом уравнение у = у (х) определяет большее число точек, чем первоначальное параметрическое задание. Так, например, уравнения х = а зщ Д у = Ь з!пт Ь определяют только конечный отрезок прямой у = — х, заключающийся а между точками х= — л, у= — Ь я х=а, у =Ь, тогда как уравнение Ь у= — х представляет всю прямую.
ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ впрочем, исключая г, необходимо в общем случае ограничиваться только частью кривой, а именно одной ветвью ее, не пересекающей больше одного раза ни одной прямой, параллельной оси ординат. С параметрическим заданием связано определенное направление на кривой — то направление, в котором кривая описывается при возрастании параметра П мы будем его называть положительным направлением. Если параметр 1 пробегает свой интервал значений убывая, то соответствующая точка описывает кривую в отрицательном направлении.
Если, например, точка х=х(г), у=у(г) опиСЫВаЕт ДУГУ КРИВОЙ С, КОГДа 1 ПРОбЕГаЕт ИНтЕРВаЛ Гв~(( <Гп И значениям гв и г, соответствуют крайние точки дуги Р„и Р,, то положительным является направление от Р, к Р,. Введем новый параметр т = — П тогда дуга кривой Р,Р, будет соответствовать значениям — Го,~м т ). — 1, ново~о параметра т, точка Ре будет соответствовать значению т= — — (з, а Р, — значению г=- — (Р При движении вдоль кривой от точки Р, к Р, кривая пробегается в направлении убывании параметра т, т. е. в отрицательном направлении. Вообще, преобразование параметра Г = Г (т) сохраняет направление пробега кривой, если 1 (т) — монотонно возрастающая функция, и изменяет его на противоположное, если Г(т) — люнотонно убывающая функция. 2. Физическое истолкование параметра.
Преобразование параметра. В очень многих случаях параметру г можно приписать непоСредственный физический смысл, например рассматривать г как время. Всякое движение точки на плоскости математически выражается тем, что координаты х и у являются ле функциями времени. Эти У две функции определяют, таким образом, движение 17 по траектории в пара- метрическом виде. ПоРяс, 84. этому-то все кривые, к ко- торым приводят механические или кинематические исследования, естественным образом появляются в параметрическом предстзвлении.
Таковы, например, разного рода циклоиды, получающиеся, когда круг катится (без скольжения) по прямой или по окружности другого круга. Каждая точка катящегося круга описывает при этом циклоиду того или иного типа. Мы здесь ограничимся простейшим случаем, когда круг радиуса а катится по оси х и изучается движение точки, лежащей на самой окружности катящегося круга.
Кривая, описываемая этой точкой, называется обыкновенной циклоидой. Если выбрать начало координат и начало отсчета времени так, что движущаяся точка в начальный . момент находится в начале координат. то получим (рис. 84) следую- % Ь АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВОЯ щие параметрические уравнения циклоиды: х = а(Ь вЂ” в!пй), у = а(1 — сов!) а — у . I (а — у)' Ь = агссоз —, в!и ! = + 1гг !в а а' а — у соз! = а откуда х =а агссов —" ! 'у (2а — у)у, а т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
