1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

(ха+ 2(ггх+ с,)" (хт+ 2дтх+ ст)п ... ') Совершенно таким же образом можно найти интеграл от функции 1 л( — ! — -л, приведя его аналогичным рекуррентным процессом к интегралу л'х =- агй х+ С (или агсй х+ С). з! 5 Б. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЪ|Х ФУНКЦИИ 271 При этом числа а,, аз, ... являются действительными н различными корнями уравнения В(х) = О, а целые положительные числа 1..., указывают кратность этих корней; множители (ха+ 2дах+с ) означают определенные квздратичные выражения (среди которых нет двух одинаковых) с сопряженными комплексными корнями, а целые положительные числа г,, гз, ... указывают кратность этих корней.

Допустим, что знаменатель л'(х) либо с самого начала дан в виде такого произведения, либо мы привели его к этому виду путем вычисления действительных и мнимых корней. Предположим, далее, что степень числителя(" (х) меньше степени и знаменателя (см. стр. 267); тогда теорема о разложении рациональной правильной дроби на элементарные гласит: для каждого множителя (х — а)', где а — любой из действительных корней а,, а 1 есть соответствующий показатель 1,„ можно определить выражение вида — '+ ' + + х — а (х — а)з (х — о)~ с постоянными коэффициентами А,, ..., АР а для каждого входящего в знаменатель квадратичного множителя Я(х) =ха+ 2дх+с, кратность которого равна г, можно определить выражение вида В, + С,х ~ В~+ Сзх, ~ Вг+ С„(х) таким образом, что функция — равна сумме всех этих выражеу (х) л (х) ний.

Иными словами, дробь — может быть представлена в виде у (х) Р (х) суммы «элементарных» дробей, каждая из которых принадлежит к одному из типов, рассмотренных в п' 2. Наметим здесь вкратце основную мысль доказательства возможности такого разложения. Если а (х) = (х — и)а А (х) н А (а) Фь О, то можно определить постоянную Р таким образом, чтобы разность У(х) Р У(х) — РА (х) А'(х) (х — а)" (х — а)»Ь(х) представлялась в виде рациональной функции, знаменатель которой содержит множитель х — а в степени не выше (к — 1). Это ведет к требованию, чтобы числитель У(х) — РЬ(х) делился без остатка на х — а нли, что рдвноснльно, при х=а обращалСя бы в нуль: у(а) — РА(а) =О; вместе с тем, так как А(а) ~ О, получаем Р = —.

Продолжая идти тем же путем, мы у (и) Ь (а) можем понижать степень (х — а) в знаменателе, пока наконец этот множитель совсем ие исчезнет из знаменателя. Применяя тот же прием к остающейся после этого дроби, для другого корня знаменателя А (х), н повторяя его столько раз, сколько различных корней имеет уравнение л (х) =О, мы приходим в конце концов, принимая во внимание н мнимые корни, к полному разложению рациональной дроби на элементарные.

Гл. !и, пост'Роснис интнГРлльнОГО псчислныия !4 272 В отдельных случаях такое разложение искусственного приема. Если, например, 6 (х) 1 (х+1) — (х — '1) 1 хт — 1 2 (х+ 1) (х — 1) 2 легко выполнить с помон!ью =х' — 1, то 1 1 1 х — 1 2 «+1 так что Вообще, если и (х) = (х — а)(х — ()), т. е. если д (х) является неопределен- ным квадратичным выражением с двумя различными действительными кор- нямн а и б, то непосредственно получаем 1 (х — О) — (х — а) (х — а) (х — ()) (а — р) (х — а) (х — (!) 1 1 1 1 а — б х — а а — () х — (! так что ! ! л'х 1 !х — а~ = — !и +С.

(х — а) (х — !3) и — () ! « — () ! 4(Г 1 1 1 1 ) лх 6(х — а) (х — Ь) 6(а — 6) (х — а х — Ь следовательно, интегрируя, получаем 1 )х — а! 1 а — х 66= — 1п~ !+с= — !п — +е, ибо х<а<6, а — Ь !!х — 6~ а — Ь Ь вЂ” х причем постоянную интеграции с определяем из условия, что при Г = О нет 1 а еще продукта реакции (х=О), т.

е. 1и — +с=О. а — Ь Ь х 1 —— 1 а Окончательно 66 = — !и , или, разрешая относительно х. а — Ь х 1 —— 6 получаем искомую функцию аЬ (1 — е(а-6> ш) (~) = а-6! Ш Ь вЂ” ае(а 4. Пример. Химические бимолекулярные реанции. Простой пример применения только что полученного простого разложения на элементарные дроби представлшот так называемые билшлекулярные реакции. Если имеем два исходных вещества, начальные концентрации которых, выраженныс в молях на единицу объеиа, равны а н Ь, причем мы предполагаем, что а < Ь, и если за время Г образуется х молей продукта яииической реакции, то по закону действии масс (стр. 2!1) для простейшего случаи, когда соединяется по одной молекуле каждого из обоих веществ, участвующих в реакции, эта величина х, кан функция времени, будет возрастать со скоростью 4(Х вЂ” =6(а — л)(6 — х); задача заключается в нахождении функции х(!).

пг Будем рассматривать, наоборот, Г как функцию от х, тогда Ь 5. интсГРиРОВАниг РАциОнАльных Функция б. Дальнейшие примеры разложения ма простые дроби (метод неопределенных коэффициентов). если знаменатель А (х)= = (х — а,)(х — а,) ... (х — а„), где а, + а» прн ! Ф л, т. е. если л (х) имеет только простые действительные корни, то разложение на элементарные дроби имеет следующий вид ~предполагается, что прау (х) вильпая дробь несократима|: Ат (х) у(х) а, а,, ан с(х) х — а, + х — аа ' ''' х — а„' Мы получим тотчас же явные выражения для коэффициентов а», если умножим обе части равенства на (х — а»), сократим общий множитель знаменателя и числителя в левой части и в л-м члене правой части и затем положим х =а».

Таким образом, находим у (а») (໠— а,) (໠— аа) ... (о» вЂ” а»,) (໠— а»„.,) ... (໠— аа) Читатель сам легко проверит, что знаменатель есть не что иное, как и'(а»), т. е. производная функции л'(х) в точке х = а», а следователыю, ໠—— †, и разложение на элементарные дроби дается у (а») = а" (Р») следующей формулой: а у (х) ~~ 1 у (а») д (х) у'и' х — а» д' (а») » 1 Эта формула пригодна и для комплексных корней: каждая пара элементарных дробей, соответствующая паре комплексно-сопряженных корней, объединяется в одну действительную дробь с квадратичным знаменателем.

В качестве типичного примера знаменателя Р (х) с кратными корнями 1 рассмотрим функцию, знаменатель которой ичеет двойной корень ха(х — 1) ' х =и. В данном случае мы приходим к мели, полагая, согласно п' 3, 1 а Ь с х' (х — 1) х — 1 +'х ( х' ' умножая обе части этого равенства нз х'(х — 1), мы получаем для определения коэффициентов а, Ь, с равенство 1 = (а+ Ь) х' — (Ь вЂ” с) х — с, которое должно быть справедливо для всех значений х. Ввиду этого все коэффициенты трекчлена (а+Ь) х' — (Ь вЂ” с) х — с — 1 должны быть равны нулю, т. е. а+» = Ь вЂ” с =с+1=0, откуда с = — 1, Ь = — 1, а=1.

Мы получаем, таким образом, разложение 1 1 1 1 х'(х — !) х — 1 х ха 18 Р. Курант 274 ГЛ. НД ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ )5 н отсюда находим л'х 1 = !п! х — 1 ) — 1и )х!+ — +С, хт (х — 1) х В качестве примера дроби, знаменатель которой имеет комплексные 1 корни, рассмотрим функцию, ! п представим ее в виде х(х'+1) 1 а Ьх+с х(х'+1) х х'+1 Лля определенна коэффициентов, получаем уравнения а+ Ь = г = = и — 1 = 0; следовательно, а = 1, Ь = — 1, с = О и дробь 1 1 х х(ха+1) х х'+1 ' поэтому йх 1 х (х'+ 1) =- 1и ! х ! — — (п (х' + 1) + С. 2 1 В качестве третьего прил1ера рассмотрим функцию —, интегрнрох'+1 ' ванне которой доставило еще Лейбницу большие затруднения. Знаменатель можно представить в виде произведения двух квадратт1чныл множителей: х'+ 1 = (ха+ 1)' — 2х' = (х'+ 1 + )' 2х) (х' + 1 — Г' 2х), а потому разложение запишется в следующем виде: 1 ах+ Ь сх+к х'+1 х'+)Г2х+1 хт — !'2х+1 Лля определения постоянных а, Ь, с, Ф получаем равенство (а + с) х' + (Ь + к' — а У2 + с )' 2 ) х' + + (а + с — Ь г' 2 + е' )~ 2 ) х + Ь + е — 1 = О, которое будет тождествол~ относительно х при значениях 1 1 1 1 а= —, Ь= —, с= —, т1= —.

2У2 2 2)Г2 2 Поэтому 1 1 х+)т2 1 х †)'2 хз+1 2)'2 ха+3/2х+! 2)'2 х' — ЬГ2х+1 и с помощью метода, указанного в п'1, получаем — = — 1и ~х'+ЬГ2х-)- 1! — !и ) х' — К2 х-(-1! + х'+1 4)'2 4)' 2 1 . — 1 + агс!29Г2х+1)+ — агс1йф"2х — 1) 4-С 2)/2 — результат, который легко проверить путем дифференцирования. н $6, ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРУГИХ КЛАССОВ ФУНКЦИЯ 275 Упражнения Проинтегрировать й 6. Интегрирование некоторых других классов функций 1. Предварительные замечания о рациональном представлении тригонометрических и гиперболических функций. К интегрированию рациональных функций приводится тактке интегрирование некоторых других общих классов функций.

Мы лучше всего поймем это приведение, если предварительно уясним себе несколько элементарных фактов относительно тригонометрических и гиперболических х функций, Полагая 1=!К вЂ”, с помощью элементарной тригонометрии 2' получаем следующие формулы: 2! ВЦ!Х = —, 1+Р ' т. е. Вбпх и сов х выражаюглся рационально через величину 1=!а —.

2' х Из равенства Г = !я — дифференцировапиел! получаем 2 1+Р с!х, х 2 2 сов 2в 2 1 х Р ! х — = соэ' —, — = в!и' —; отсюда сов х= 1+Р 2' 1+Р 2' 1 — Р х х х х И +, в!их=2в!п сов — 2!И вЂ” сов — = + ') В самом деле х х 2 = сов' — — в!и' — = 1Зв всх — Зх' х' — х Зс(х х(х+1)Я х'+х+1 Зхс — 2х — 5 с!х (х — 1)'(х'+1) ' х' с!х (х — !)с(хс-(-1) ' тв ' (х — 4) (х2 + 1) (х 2) 1О. + с(х. (хв — 1) (х+2) хв 11 !1 слх 1 — х' 13. х' х4+ х' — 2 с(х. 14. лх х' (хс+1)с следовательно, Лх 2 лт =1+и' л'х т. е. и производная — выражается рационально через 1, лт Геометрическое значение и наглядную интерпретацию наших формул дает рис.

Характеристики

Список файлов книги