1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 49

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

2 2. Метод замены переменной (метод подстановки) Первым из этих приемов интегрирования является метод введения новой переменной (метод замены или преобразования переменной, метод подстановки). Соответствующая формула интегрирования представляет не что иное, как правило дифференцирования сложной функции, выраженное в интегральной форме. 1. формула замены переменной.

Представим себе, что в функцию гт(х) введена с помощью уравнения х=ф(и) новая переменная и, так что Р(х) становится сложной функцией от и: с (х) = с' [я) (и)] = 0 (и). Согласно правилу цепочки й0 йг и х™ йи йх Если напишем теперь Р'(х) = у (х) и 0'(и) = й(и) илн, что равносильно, с'(х) = [ у'(х)йх и 0(и)= ~ й(и)йи, то, с одной стороны, формула дифференцирования (1) примет вид й (и) = у' (х) )р' (и), а с другой стороны, по определению 0 (и) = Р (х), т, е. [ й (и) йи = ) у (х) йх, и мы получаем, таким образом, формулу'интегрирования, эквивалентную формуле дифференцирования сложной функции: ] ) [<р(и)]я)'(и)йи= ] у(х)йх, где х=)р(и).

(2) Это основная формула для введения новой переменной под знаком интеграла. Она гласит: если нужно найти неопределенный интеграл функции от и, заданной в специальной форме /[<р(и)]гр'(и), то можно вместо этого найти неопределенный интеграл от функции у (х) аргумента х и после выполнения интегрирования вернуться к переменной и подстановкой х=)р(и). 238 ГЛ. 1Ч. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ !1 Применив, например, зту формулу к подынтегральной функции — непосредственно получаем: «р' (и) «р(и) ' лги = ~ сх = 1п ( х (+ С = 1п ~ 1р (и) (+ С ~ «р'(и) ( а«х «р (и),1 х нлн, если вместо и писать х, Заменяя в втой важной формуле «р(х) различными конкретными функциями, например «р(х) !пх, или «р(х)=з!пх, или «р(х)=созх.

получаем: — =!и (!пх!+С, х!и х с12 х йх = 1и | з1п х (+ С, ~ !Е х «!х — ! и! соз х ! + С '). Дальнейшим примером служит следующий интеграл, в котором У («р) = «р« хт 1 «р (и) я' (и) аи = ~ йх = — +С вЂ” («р (и))'+ С. Отсюда, например, при «р(и) !пи получаем 1пи 1 — «ти — (1и и)з+ С. и 2 Наконец, рассмотрим нрнмер з! и" и соз и а«и.

Здесь х=з!пи=«р(и), «тх=«р'(и)«ти соки«ти, и мы получаем х" е' з!пл+ «и ! з! и" и сок и «ти = х" «!х = — + С = — + С. и+1 и+1 Во многих случаях, однако, мы будем применять нашу общую формулу в обратном направлении, отправляясь от интеграла ) у(х)с!х, стоящего в правой стороне, Тогда задача состоит в том. чтобы вычислить или упростить заданный неопределенный интеграл гт(х) = = ~ у (х)л«х, вводя с помощью формулы преобразования х =ф(и) новую переменную интеграции и. Для етой цели находят неопреде- «) Проверьте правильность этих и, следующих формул, показав, что дифференцирование результата приводит каждый раз к подыйтегральной функции.

Впрочем, и тогда эти формулы верны лишь постольку, ппскольку встречающиеся в иих выражеииа имеют смысл. и э г. мвтод злмвны пвгвмвнноп )матод подстлновки) эзо ленный интеграл 0(и)= ] У[ц)(и)]ц)'(и)йи и в полученную перво- образную 0(и) подставляют выражение переменной и через х. .Чтобы иметь возможность выполнить этот последний шаг, мы должны быть уверены, что каждому значению х соответствует вполне определенное значение и, т. е. что функция х =)р(и) обратима. Ввиду этого мы теперь рассматриваем переменную х как первойачальную и предполагаем, что в рассматриваемом интервале функция и=ф(х) есть монотонная дифференцируемая функция, производная которой ф'(х) нигде не обращается в нуль.

Из этого предположения вытекает, что для функции и = ф (х) существует однозначно определенная обратная функция х = ф(и), производная которой ф (и)= —,. Итак, получаем следующую основную формулу для 1 Чг'(х) ' введения новой переменной и под знаком интеграла: ) г (х)йх = ) У[ф(и)]<р'(и)йи [и=ф(х)].

(3) Неопределенный интеграл ]' у'(х)йх получится, если найти неопределенный интеграл ~ У'[)р(и)])р'(и)йи и заменить в нем обратно переменную а через х с помо)цью уравнения и=ф(х). Следовательно, нельзя просто выразить в подынтегральной функции старую переменную х через новую переменную и и затем интегрировать, а необходимо еще перед интегрированием выразить дифференциал старой переменной х через дифференциал новой переменной и. Из формулы (3) вытекает соответствующая формула для определенного интеграла: Э1Ю ~ у(х)йх= ~,г [)р(и)])р'(и)йи, е э гв) т, е. в новом интеграле надо писать новые пределы интеграции для новой переменной и так, чтобы они соответствовали по формулам преобразования х=гр(и), и=ф(х) старым пределам интеграции.

Большей частью в,применениях подынтегральная функция Г(х) с самого начала дана как сложная функция, скажем у(х)=й(и), где и =ф(х). Тогда удобнее записать нашу формулу несколько иначе, отождествляя выражение у'[ц)(и)] с функцией й(и). Если сделаем подстановку и =ф(х), х=ф(и), то наша формула преобразования (3) примет следующий вид: й [ф (х)] с[х = .~ Ь (и) — „с[и. 240 ГЛ. «Ч. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЪНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ !2 В качестве первого примера рассмотрим ! з!п2х«(х. ЗдесьУ(х) = э!п2х, следовательно, и=ф(х) =2х, а д(и) = э!пи. Прн этом «ти «!х 1 — =ф'(х) =2, йи 2' Введем новую переменную и = 2х, тогда интеграл переходит не в ~ э!пи«2и, а в 1 Р 1 1 — ~ э«пи«!и= — 2 сов и+С = — — соэ 2х+С, 2 что, разумеется, легко проверить дифференцированием правой части.

Вычислим определенный интеграл в пределах от х=о до х=п(4; тогда соответствующими пределами для и будут и =О и и = и(2; получаем 4 «« — Г= э!п2хих = — ~ э«пи«!и= —, сов и~ э э Г «(х Второй простой пример представляет интеграл ! —. Здесь мы берем и = ф(х) =)' х. Следовательно, х = ф(и) = и'. Так как, далее, ф'(и) =2и, то мы получаем ч 2 2 — =2~ — =2~ пи=2. 2. Другое доказательство формулы преобразования переменной.

Формулу интегрирования путам замены переменной можно доказать еще другим, прямым путем, а именно выводя ее для определенного интеграла из его значения как предела суммы. Для того чтобы вычислить интеграл 1 А (ф(х)1 Ых, и можно положить в основу какое угодно разбиение интервала а ( х ( Ь на частичные интервалы, которые мы дальнейшим подразделением неограниченно уменьшаем.

Выберем это разбиение следующим образов!. Если предположить, что функция и =ф(х) монотонно возрастает, то интервалу а ( х -( й оси х соответствует взаимно однозначно интервал а ( и ( В для соответствующих значений функции и=ф(х), причем полагаем а=ф(а) и р=ф(Ь). Этот интервал переменной и мы делим на и равных частей длины б«и '); этому разбиению ') Допущение, что этн частичные интервалы равны между собой, впрочем, совершенно несущественно для доказательства. з я ынтод замены пвпвмвннон >ынтод подстановки> р41 соответствует разбиение интервала переменной х на части, которые.

вообще говоря, между собой не равны. Обозначим точки деления итого разбиения через а, х,, хг, ..., х„ = Ь. а соответствующие длины интервалов — через Лх>, Лхю .... Ьх„. Рассматриваемый интеграл представляет предел ') суммы Х Ь[ф(Ыь)[А ь, ь-1 где значения $ь можно выбрать совершенно произвольно в й-м частичном интервале разбиения х. Эту сумму запишем следующим образом: е ~)~Ь(иь) ли Ли ь=> где иь=ф(сь). Но, по теореме о среднем значении из дифференЛхь циального исчисления, — =>р (>)ь), где х =ф(и) есть обратная функция для и=ф(х), а >)ь есть некоторое промежуточное значение переменной и в >г-м частичном интервале разбиения и.

Распорядимся теперь значениями $ь так, чтобы они как раз соответствовали значениам т>ь, т. е. чтобы $ь=>Р(т>ь), т>ь=ф(йь); тогда наша сУмма примет вид Х Ь(Ч )ф'(Чь)би ь-! Если перейдем к пределу в сумме, записанной в атом виде, то непосредственно получим в качестве предела, т. е. в качестве значения рассматриваемого интеграла, выражение з Ь (и) — сГи, лх а'и а в полном согласии с формулой предыдущего номера. Таким образом, доказана следующая теорема: Пусть Ь(и) — непрерывнап функция от и в интервале а(и(й. тогда, если фуннция и=ф(х) непрерывна, монотонна и имеет пи непрерывную.

нигде не обращаюиьуюся в нуль производную— лх в а ( х ( Ь и ф (а) = и, ф (Ь) = р, то ь ь в Ь [ф (х) ! а>х = ~ Ь (и) дх = ~ Ь (и) — „„с(и. ') Этот предел (при Ли-эо) существует и равен нашему интегралу, так как, з силу равномерной непрерывности функции л = ф (и), при Ли -+ О стремится к нулю и наибольший из Лхь. 16 ж кшаит 242 Гл. Нл постРОение интеГРАльнОГО исчисления !з При выполнении преобразования ф(х)=и надо еще выразить аах лх через ааи: аах= — ааи! кроме того, надо написать новые пределы аи интегрирования, заменив первоначальные пределы (значения х) соответствующими значениями переменной и.

3. Примеры. Формулы интегрирования. С помощью метода замены переменной можно во многих случаях вычислить заданный интеграл ) /(х) г!х, сводя его путем подходящего преобразования к одному из элементарных интегралов нашей таблицы. Существуют ли такого рода подстановки и как их найти, по этому поводу никаких общих указаний дать нельзя; здесь систематический метод уступает. свое место сноровке и ловкости, лх Интеграл ~ мы вычислим, например, с помощью под"г' аа — ха х становки х=ф(и)=аи, и= —, аах=аа!и и таким образом, принимая во внимание 13-й интеграл нашей таблицы, находим Лх Г а ага = агсз1п и+С = агсз!и — + С при ~ х ! ч. а, х 1/а' — ха,~ а71 — иа а причем в этом и в четырех следующих примерах можно принять, без ограничения общности, а ) О. Таким же образом, с помощью той же подстановки, получаем (при а чь 0): аГх а а Ли 1 1 х аа+ ха 3 а' (1+ и') а — агс!и и+ С = — агс!а — + С, а а Лх х Г а'х х =ага!а — +С, а! =агсЬ вЂ” +С при (х(>а, Уаа+х' а .

Уха — а' а — аг!!а — +С при 1х((а 1 х — агс!!а — +С при ( х ) > а а а (Функция ащй — =!е ( — + 1/ —, + 11=!Е(х+ 1/ха+ аг) — !па, х /х /ха а функция ащй — = !и ( — + 1/ —,— 1) =1п(х+ !/х~ — аг) — 1па. Так как !па есть постоянная, то !п(х+1/хг — аг) является одной из первообразных для функции —, а 1п(х+1/х — аг)— 1 г 3/ха -!- аа 1 первообразной для . Зги два факта можно объединить г' х' — а' в одном утверждении, что 1п(х + 1/ха+а) является первообразной $ 3, пРимеРы интегРНРОВАння метОдОм замены пеРеменнОЙ 2аз 1 для функции, и. следовательно, )' х2 -(- Ь =1и (х-+~/хз-(-Ь)+С При любом Ь чь О, как положительном, так и отрицательном, Если Ь(0, то можно положить Ь= — аз, а ) О.

н тогда х должен. быть ограничен условием 1х)~а, Эти формулы, которые очень часто встречаются, легко, впрочем, проверить путем дифференцирования правых частей.] В заключение подчеркнем еще раз следующее обстоятельство. Совершив замену переменной, мы предполагали,.что зо всем рассматриваемом интервале <р'(и) Ф О, откуда следует, что подстановка х = ф (и) имеет однозначную обратную функцию и = ф(х).

Характеристики

Список файлов книги