1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Если это условие не выполнено, то при применении формулы аамены переменной легко прийти к неправильным результатам. Чтобы избежать затруднений такого рода, следует в том случае, когда в отдельных точках промежутка интеграции ср'(и) = О, разбить этот промежуток на части так, что гр'(и) = 0 только на концах этих отдельных промежутков, и выполнить подстановку в каждом таком промежутке отдельно.
Применяя этот метод, нетрудно получить следующий полезный во многих случаях результат: если производная ~р'(и) обращается в нуль в конечном числе точек, но функция остается монотонной, то формула замены переменной под знаком интеграла сохраняет силу. $ 3. Дальнейшие примеры интегрирования методом замены переменной В этом параграфе кратко приводится ряд дальнейших примеров. которые читатель должен тщательно проработать в качестве материала для упражнения. С помощью подстановок и=1 ~ х', як= е 2хдх получаем: — з+С, 1 "" = — '1н ~1~ ~+С.
)'Т~ х' 4 1 ~ х' 2 В этих формулах надо во всех трех местах одновременно брать или знак +, илн знак— С помощью подстановки и =ах+ Ь, ли =аах (а +О) мы получаем: = — 1п ! ах+ Ь ! + С, 1-+. =-. 4х 1 (ах+ Ь) ах = (ах -(- Ь)аьг + С (а + — 1), а(а+1) з!н (ах+ Ь) ах = — — соз (ах+ Ь)+ С. 1 а 16ч 244 ГЛ. ПА ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Подобным же обрззом с помощью подстановки и = созх, ам= — з!охах получаем !Е х ах = - !и ! соз х )+ С, а с помощью подстановки и=а!пх. аи сов хах имеем с!плах=!и )з!пх)+С (ср. стр. 238). Путем совершенно аналогичных подстановок и снх, пи =зпхггх я и= ай х.
ам = ейхдх получаются формулы гй хг(х=1п (си х)+С= !паях+С с!их ах= !п ! зн х)+С. При помощи замены переменной а а ах и= — !ех, аи= —— Ь ' Ь совах мы получаем две формулы: 1 1 г(х 1 ~ 1 ~х а' з!язх-+Ь' соз'х Ьз,) аз соз'х Ь 1 ! аи 1 !а — — — агс!д ! — !и х) + С а»,) 1+и' аЬ !! Ь вЂ” ( а)+ г(х 1 (а а'з!п'х — Ь'соз'х аЬ (» - )+ = — — аг!Н ( — !ох~+С'). Интеграл Ых х х х, х вычисляют, представляя з!пх в виде 2з!и — соз — = 2!Š— созз — и пола- 2 2 2 2 х 0х гая и = !Š—, следовательно, ли = 2' х ; тогда 2 созз— 2 ') Эта формула применима.
если ~ — !цх ~ < 1, т. и в интервале » Ь Ь ! а — агс!и — < х < агсгц —; если же ( — !их ~ > 1, то интеграл равен а а' ~» — — агс!Ь !1 — !и х) + С аЬ !1Ь (см. формулу !7 на стр. 236). 5 3. пРимеРы интеГРиРОВАния методом ЭАмены пеРеменнОЙ 245 Если в этой формуле заменим х через х+и/2, то формула перейдет в следующую: — ! (!й(2+ 4)~+С, Подстановка и 2х приводит, если принять во внимание известные тригонометрические формулы 2созэх 1+соз2х и 2 зги'х 1 — соз2», и часто употребляющимся формулам созе хгГ» — (х+ з!н хсозх)+С 1 2 1 3(лг х лх (» 3!и х соз х) + С.
2 С помощью замены переменной х= сони, откуда и = агссоз х, или более обшей х=асови (а+0) интегралы 1гг1 —,х'г(х и ~ ~аз — х'с(х приводятся к предыдущим. Таким образом, получаем )г'аэ — хаг(х = — а агссоз — + х )Уа~ — хз+ С. 2 а 2 Подстановка же »=аз!Пз, г(»=асов(Ш дает ~ '!Газ — хзегх= а' х х =. — агсз!и — + — 1/ай: хз+ С .1 Совершенно аналогично путем подстановки х=а с)г и получается формулаг) г у х' — аз г(х = — а ащЬ х + х ')/хз — аз+ С, 2 а 2 а с помощью подстановки х= аз)ги — формула аэ ')геаз+ хз г(х = — агз)г — + — риаз + хз+ С, 1) В формуле замены переменной функции х = ф (и) и и = Ф (х) лолжны быть однозначно определены. Поэтому и агой — есть одное значная положительная ветвь обратной гиперболической функции Агсй— х а (ггрилг.
иерее.) 246 гл. ю постиоенне интвгялльного исчисления а а а Подстановка и = —, х = —, Их = — —, ди приводит к формулам: х' и' из а'х хнах' — аз пх хр аз:х 1 . а — — агсяц — + С, а Х вЂ” — агам — + С, 1 а а х 1 а — — агсЬ вЂ” + С. а х Рассмотрим, наконец, есце следуюц1ие три интеграла: в!птхз!ппхс(х. ) яптхсозпх4х, ~ совтхсозпхах. По известным тригонометрическим формулам: 1 з!и тх з!п пх = — [сов (т — п) х — сов (т + и) х[, 2 в1п тх соз пх = — [з!и (т+ и) х+ яп (т — п) х[, 1 2 сов тх соз пх =-, [соз(т+ и) х+ сов(т — и) х[ 1 2 з!птхз!пихтах = 1 ( з!и (е — л) х з!и (л+ е) х ) 2 [ е — л т+л если т + и, )+с если т=и, з!п тх соз пх Их = 1 (сов (е+л) х [ сов(т — л) х) 2[ е+л и — л 1 соз 2ех 2 2е если т + и.
если т=и, соз тх сов пх <(х = ' (""'"+"'" ""' и') С 2'( т+л е — и если е чь и, 2тх + ) С если т = и. можно каждый из этих интегралов разбить на два. Пользуясь подстановками и = (т+ п) х и и = (т — и) х, получаем систему формул: З з, пгимегы интеГРиРОВАния метОдОм ВАмены пеРеменнОЙ 247 Предположим теперь, что т н а — целые положительные числа. и проинтегрируем от — и до +и; тогда из этих формул получатся чрезвычайно важные соотношения: (О, з! и тх з! и пх ах = ~ з!птхсозпхйх =О, +а О, соз тх соз пх ах = -л если т+ а, если т=п, (2) если т+и, если т = и.
(3) (ИВ (2) и (3) при и =О, т Ф формулы +а з1птхах=О, О получаются как частные случаи соз тх ах = О, (4) О п р ел е л е н и е. Две функции ф(х) и ф(х) называются ортогональными в интервале а(х (5, если ь ~ ф(х) ф(х)йх=О. а Рассмотрим бесконечную последовательность функций 1, созх, з1пх, сов 2х, з!п2х, ..., совах. з!ппх, ... (5).
Из формул (1) — (4) видно, что функции втой последовательности попарно ортогональны в интервале — и (х(п. Короче принято. говорить так: эта последовательность является ортогональной системой функций в интервале — п.(х(п.! Первые из формул (1) и (3) и формулы (2) и (4), устанавливающие ортогональность системы (5), называются соотношениями ортогональности системы тригонометрических функций (5). Все формулы (1) — (4) понадобятся в гл. 1Х.
1 ~хех их 2 ~ хзе-х" их 3. ) х' Р 1 !- хе их. — х. Упражнения Вычислить следующие интегралы и результаты проверить дифференцированием: 248 ГЛ. 1Ч. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ !1 л — целое положительное число, мето- о .дом замены переменной. ф 4. Интегрирование произведения (интегрирование по частям) Второй метод интегрирования дает формула дифференцирования произведения (уе')' = Г'д + 78'. !. Общие соображении. Если записать зту формулу в виде формулы'интегрирования, то получим (ср, стр. 170) 7' (х) д (х) = ~ д (х) Г' (х) оах+ ~ у (к'! е' (х) «Гк илн ~ у (х) а' (х) пах = Г (х) д (х) — ) у' (х) д' (х) ах. (1) лх х (!н х)а ' ЗЛХ 9ка — Ек+2 ' 7. $ 3Ф вЂ” ач-а 6х 9. ) «х. Г х+1 )' 1 — х' пе Дх $'5+ 2х+х' 11.
Р 3 — 2х — ха хах ха — х+1 13. х нх )/х' — 4х+ 1 16. х' +х+1 16. х' — х+1 17. ех ха+2ах+Ь ' 1 2н9. Вычислить ~ (1 — х)" а!х, где Г х' ,а „Г 1 — х 19. ~ з!пах сова хйх. 29 ~ з!на х соза х аах. 21 ~ ха (У"1 — ха)з 1!х. 2а. ~ йх. 1 1 весах „ 3 1+ха о 24. ~ соз" хз!их а!х, е х нх е К 1+ Зх' ь ,1 (1+ х')' а ха 27, — и'х (1 <а< Ы. 1 — х нгз 28. ~ ха!п2ха Лх. о $ К ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 249 Эта формула называется фарг!улой интегрирования произведении илн интегрирования по частям.
Она дает возможность привести один интеграл к другому. Делается это так. В интеграле ) ю(х) ~х представляют подынтегральную функцию в виде произведения ю(х) = = Г(х)ф(х), н если мы умеем найти с помощью элементарных функций неопределенный интеграл е'(х) = ~ ф (х) е(х от множителя ф(х), так что ф(х)=у'(х), то формула (1) приводит интеграл ~ ю(х)а!х=) у(х)ф(х)Фх= ~: ,Г(х)к'(х)е(х к другому ' интегралу ~ Г'(х) е'(х)е(х, который может оказаться более простым, чем первоначальный.
Так как данную подынтегральную функцию. можно различными способами представить в виде произведения у (х) ф(х) =Г(х) д'(х). то формула (1) дает широкую возможность для преобрааования интегралов. Поясним этот метод на следующем примере: !и х Лх = ~ !п х - 1 ° ах. Этой записью подынтегральной функции мы отмечаем, что намерены ноло- 1 жить у(х) = !их и !Г' (х) = 1, гак что у'(х) = — и «(х) = к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
