1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Таким абрах зом, формула (1) дает Г х !п х ах = х !п х — ~ — Лх = х !и х — х+ С. Последнее выражение есть, следовательно, первообразная логарифма, что нетрудно проверить дифференцированием, В применении к определенному интегралу формула интегрирования произведения принимает такой вид: ь э ~ У (х) й' (х) а!х = ~ (х) й' (х) /, — )г Г' (х) е (х) дх = а а = Г(Ь) д(Ь) — ~(а) а(а) — ~ Г' (х) е'(х) ах. а В самом деле, для того чтобы из формулы неопределенного интеграла получить формулу для определенного интеграла, надо только (см.
стр. 143) в найденную первообразную подставить вместо переменной интегрирования сперва верхний предел х= Ь, затем нижний предел х = а и из первого результата вычесть второй. 250 ГЛ. Пл ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 12 формуле определенного интегрирования произведения можно дать простую геометрическую иллюстрацию, если наложить некоторые ограничения на участвующие в ней функции. Предположим, что функции у = 7 (х) и г = 8'(х) либо обе монотонно возрастающие, либо обе монотонно убывающие. Пусть 7(а)=А, 7'(Ь)=В, е (а)=а, д(Ь)=р. Если выразить обратную функцию для у'(х) и подставить ее в а=А" (х), то получим з как функцию от у.
Эта функция будет монотонно возрастающей, и ее график изображен на рис. 78 кривой РД2. Так как г(у= 7'(х)дх и с(я=8'(х)дх, то формула интегрирования произведения и ь ~ Е'(х)7' (х)с(х+ ~ 7(х)д (х)с(х=)'(х)я(х)~ и и запишется в следующем виде: в а ~ з ПУ+ ~ УПЕ =У(Ь) 8(Ь) — 7 (а) Я(а) =ВР— АО. А а Эта формула наглядно подтверждается на рис. 78: пл. РзРДДз+ил. Р,РДД, = пл. О('2Д21ез — пл. ОР,Р,Рз. * Читателю рекомендуется сделать аналогичный чертеж для того случая, когда одна из функций Г'(х) и 8'(х) монотонно возрастающая, 4 а другая — монотонно убывающая на [а, Ь), и наглидно проверить на нем последнюю формулу.
2. Другая запись формулы инРр тегрирования произведения. Воспользуемся обозначением автора 8'(х) = ф (х) и введем обозначение $~ им - и Ь-": Ми- =-1~(и~.-~ь). -" Рис. 78. 1 внизу символа функции означает интегрирование. Тогда формула (1) интегрирования произведения запишется в следующем виде: ~ у(х)ф(х)Их=,у(х)ф,(х) — ~ у'(х)ф,(х)г(х. (А) Словесно ее можно формулировать в виде следующего правила: Интеграл от произведения двух функций равен произведению одного из сомножителей 7(х) на первообразную ф,(х) от другого множителя минус добавочный интеграл опять-таки от произведения— только что найденной первообразной на производную от первого множителя. а е интеГРиРОВАние НРоизВедения 251 Целесообразно пользоваться именно этой словесной формулировкой, и тогда, если производная )" (х) и первообразная ф)(х) легко вычисляются в уме, результат запишется сразу, П р и м е р.
) (ах + ()) соз х с(х = (ах+ Ь) з) п х — ) а ° з( п х г(х = г' <к) ч (х) ч,(л) =(ах+()) з(их+а созх+С. В применении к определенному интегралу формуле интегрирования произведенйя можно придать следующий вид: Ь ь ь )Нот~ )е =Л)М.)( — ) Г~. т( )т' а а а 1 1 У(х)= —, ф(х)=1, У'(х)= — —, ф,(х)=х1, получим х хт ' изведения — й ) — . 1 ах = — ° х — ц — — ) х ах, т. е. х х )( х/ 1Ф='+1Ф. (т) Г ах Наивно сокращая ~ —, получим 0=1. В чем здесь дело) В свете сках р с)х ванного выше зсе понятно. С одной стороны, если под символом ~— х понимать все множество первообразных для функции 1)х, то равенство (т), Замечание по поводу формулы интегрирования произведения я.
В формуле (А) ф, (х) есть одна из первообразнык для функции ф (х). Эта формула утверждает, что если под символом интеграла, стоящим в левой части,' разуметь все множество первообразнык для произведения у(х) Ф (х), а под символом интеграла в правой части — все множество перво- образных для функции У'(х)чь(х), то семейство функций ) т(х)ф(х)г(х, с одной стороны, и совокупность функций у(х)р, (х) — ) у'(х)ф, (х)ах, с другой стороны, тождественны. Но можно под символом ) У(х) ф (х) ах понимать одну, котя и любую, из первообразиык для У(х) ф (х).
В таком случае под символом ) У'(х) ф, (х) т(х в правой части формулы (А) надо разуметь тоже одну из соответствующих первообразиых, но уже не произвольную, а надлежащим образом выбранную, чтобы формула (А) была верна. Вообще, из двух явно записанных знаков интеграла в формуле (1) и в равносильной ей формуле (А) один может означать произвольно выбранную первообразную своей подынтегральной функции; по тогда другой знак интеграла означает уже не любую перво- образную своей подынтегральной функции, а некоторую первообразную, предопределенную предыдущим выбором. Забвение этого обстоятельства может привести к недоразумениям.
Возьмем, например, известный нам инте- Г с)х грал ~ †, но попытаемся его найти по правилу интегрирования прох ' 252 гл. пл постеоеиие иитегяхльного исчисления !з справедливо, нбо, прибавляя к каждой из первообразных единицу, мы вновь получим ту же всю совокупность первообразных. Но, с другой стороны. Г л» Г а» сокращать ! — нельзя, так как если понимать под символом ~ — слева Х .1» какую. либо одну первообразную, то тот же символ справа должен означать тоже одну нз первообрааных, но уже не произвольную, а надлежащим образом выбранную, чтобы равенство было справедливо; в данном случае, очевидно, а'» — справа означает первообразную, точно на единицу меньшую той перво» образной, которая взята произвольно в левой части., Подобным же образом получается х з1пх а~х= — х созх+з!их+С хсозх ~)х =ха!их+снах-+С. При у(х) =1п х.
~р(х) =й»(х) =х получаем »"е' ( 1 х"!их с!х = — 11п х — — !+ С. а+! 1 а+1 ! При этом предполагаем. что а чь — 1. Если же а= — 1, то — 1п х ах = (! и х)з — а! 1п х — ! 1 Г а'х. х » (а) перенося интеграл из правой части в левую, получим — 1пха(х = — (1п х)а+С. 1 1 х 2 Иа стр. 238 этот интеграл вычислен другим путем. Интеграл ~ агсз!пх ~ух вычислим, полагая Г(х) = агсз!их, ~р(х) = =и'(х)=1, Тогда ха» агсз!и х с(х х агсз!п х — ~ У1:х' интеграл в правой части уже вычислен на стр, 243 (первый пример в э 3), и, следовательно, агсз!их г(х =х агсз!пх+ р»1 — ха+ С.
3. Примеры. Следующие примеры помогут читателю овладеть этим методом, Полагая Г(х) =х, ~р(х) = д'(х) = е», откуда Г'(х) = 1, грг(х) = = А"(х) = к», получаем хв г(х = е'(х — 1).4-С. 3 Е ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 253 По тому же способу вычисляется также интеграл агс!Е х«!х =х агс!Ех — —, !п(1+хе)+С 1 2 и многне аналогичные интегралы. Упражнения Вычислить следующие интегралы: 1. " ах.
2. ~ х е ах. 3. ~ ласок(х )«(х. з1па х Г х' «гх 4. ~, двумя способами; а) методом подстановки; б) методом (1 — х')а интегрирования произведения. 5. ~ хае" ах. 6. ~ х' соз х «Гх. 7. ~ ха совах«гх (л — целое). й. ) ха в!пахах (п — целое). й. ~ а ах (л ~ 1). 1О. ~ ха«!ох«Гх («и чЬ вЂ” !). 11. ~ хт (!пх)т «Гх. Р 1пх 4. Своеобразный случай интегрирования произведения. Несколько иной характер имеют следующие интегралы, В этих примерах двукратное применение метода интегрирования произведения приводит снова к исходному интегралу, и, таким образом, для него получается уравнение.
Решая это уравнение, находим искомый интеграл. С помощью двукратного интегрирования по частям получаем е згиьх«х= — — е созЬх+ — а«е созЬх«(х= аа 1 а ! Ь Ь = — — е "созЬх+ —,е з1ВЬх — —, ~ е з!ЕЬх«тх! (В) определяя из этого уравнения исходный интеграл ~ е з!ПЬх«(х, имеем е з!пЬх«(х=, ~, е (аз!пЬх — ЬсозЬх)+С. а'+ Ьа Таким же образом получаем е'"созЬх«!х=,, е' (а созЬх-+Ьз!пЬх)+С.
аа+ Ьа е Общее аамечанне по поводу уравнений (а) и (й). ю формулах (а) и (б) имеется то общее, что каждая из них рассматривается как уравнение первой степени с одним неизвестным, из которого 254 Гл. Ие постРОение интеГРАльнОГО Исчисления !ч лх и определяется искомый интеграл: ~ !и х — из уравнения (а) и К е'Кз)пбхе2х из уравнения (5). Между тем из замечания на стр, 251 мы знаем, что символ интеграла от одной и той же подынтегральной функции в обеих частях какого-либо равенства (первой степени отно- сительно этого интеграла) может означать различные первообразные! Мы сейчас покажем, что тем не менее приведенные здесь вычисления приводят каждый раз к прзвильному выражению искомого интеграла. Пусть каким бы то ни было путем получено уравнение вида ~ и (х) а2х = Г (х)+ л ~ и (х) 2!х, (') где й — постоянная.
Если Гз = 1, то с (х) должна сводиться к по- стоянной (не обязательно к нулю, см. парадокс в замечании на стр. 251). Если же й~ 1, то обозначим первообразную, стоящую в левой части, через 1. Тогда в правой части надо подставить вместо ) и (х) а2х выражение !+- А, где А — некоторая постоянная: /= Р(х)+й(У+ А), откуда 2'= +— Р(х) ЛА 1 — А 1 — а' ЕА Так как А — постоянная, то и — есть постоянная, а стало 1 — Ф быть, 1 А также является первообразной функцией для и(х), Р (х) а потому неопределенный интеграл и (х).с!х = — + С.
г (к) 1 — Ф Но такое же выражение для интеграла получается иэ уравнения (*), если вообразить, что символ ~ и(х) 2ГХ имеет одинаковый смысл в обеих частях этого уравнения, Опираясь на только что доказанный результат, так всегда и решают уравнения типа (*). Пример 1. ~ )Г а~ — хяг!х= ~ 1 ° у'аз — Х22ГХ= 22,.~Х ХУа — — ~ х = 12'а — + ~ 2)2л2 — х' I )2 л2 — к' =х~/а~ — хе — ~ " 2!х+а' ~ Так как е' — х' р лк, к 2(Х = ! Угле — хза2Х, а ! = аГСГИП вЂ”, )2 л2 — х' У а2 — К' а $4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ то 1/ав — хэг1х =х1/аз — хэ — ~ 1/аэ — хэагх+аз агсз|п —.
а ' Из этого уравнения находим 1/ аэ — хв агх = — 1/ аэ — ха + — а ге з! и — + С. 2 2 а Пр имер 2. ~ '1/хз+Ьг|х= ~ 1 ° ф'х~+Мх = =х "Ь/хэ+Ь вЂ” ~ х ах=х'!! хв+Ь вЂ” 1 4(х = 2)/хв-1-Ь а р'х~ 1 Ь =хт/хв+Ь ~ х т в агх'+Ь ~ Но + дх = ~ !/хт+Ьг/х, ггх=!п(х+ у'х~+Ь) Ргх'-1- Ь (см, стр. 243)г Следовательно, ~ )/ха + Ь г|х = х 1/ха+ Ь вЂ” ~ '!l хэ + Ь г|х + Ь |и (х + ~/хз-)- Ь). Решая это уравнение, находим '!/хз + Ь г(х = — 1/ хэ + Ь + — 1п (х + '!/.хэ + Ь) + С.
(А) Упражнения Методом интегрирования произведения вычислить следующие ннтегралыг 1. ~ 'г'х'+а'гГх. Отв. — )Гхв+ав+ — агвп — +С. 2 2 а х — ав х 2. ~ 1/х' — ав гГх, Отв. — )/хв — а' — — асс|4 — +С. 2 2 а р. стр. 245). еб. Обобщенная формула интегрирования произведения (интетрирования по частям). Прн вычислении интегралов в и' 4 правило интегрирования произведения пришлось применять последовательно два раза. Это наводит на мысль проделать повторное интегрирование произведения в общей формуле (А) (стр.
250): ~ /(х) ф(х) г|х =/(х)гр (х) — ~ у'(х)ф (х) г(х 256 ГЛ. ПЛ ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 15 К интегралу в правой части применим вновь правило интегрирования произведения. Введя обозначение ~ фг(х)а!Х =фа(х) (причем имеется в виду какая-либо одна из первообразных функций), получим ~ У'(Х)ф! (Х) а'Х = Г'(Х) <РЗ (Х) — ~ Ге(Х) фг(Х) а!Х. Подставив этот результат в (А), имеем ~ У (Х) ф(Х) г(Х = У'(Х) ф! (Х) — Г"'(Х) фг (Х)+ ~ Гв (Х) фэ (Х) АГХ. К интегралу в 'правой части можно вновь применить правило интегрирования произведения и т.
д. Введя дальнейшие обозначения ) фг(х)а!Х=фг(х), ... и вообще ) фв г(х)дх=ф„(х), так что индекс )г у фв(х) показывает, что над функцией ф(х) выполнена последовательно Гг раз операция интегрирования, получим обобщенную форлгулу интегрирования произведении; г (Х) ф (Х) ЙХ г (Х) ф! (Х) г (Х) фг (Х) + г (Х) фг (Х) + ... +( — 1)" ' У!" ' (х)фв(х) — ( — 1)" ' ~ Уч"!(Х)фв(х)а!х. (В) При этом предполагается, конечно, что все входящие сюда производные и интегралы существуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
