1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Но такого числа не существует. Ла и помимо только что указанного обстоятельства, легко видеть, что функции могут и не иметь определенного х' (а!и х)'+ х ясно порядка роста. Например. функция,, с возрастахг(соз х)т+х нием х не будет стремиться к определенному пределу; в самом деле, ли при х=пп (и — целое число) значение функции равно и'и'+ ли 1 , а при х = (и+ 112) и оно равно (а+ 1/2) и + 1. Хотя числитель и знаменатель, каждый в отдельности, обращаются в бесконечность, однако не имеет места ни один из трех указанных выше случаев, а именно: при неограниченном возрастании х значения функции не остаются заключенными в определенных положительных границах и не стремятся ни к нулю, ни к бесконечности; следовательно, на основании нашего определения невозможно сказать, имеет ли больший порядок роста числитель или знаменатель или они оба имеют одинаковый порядок.
4. Порядок роста функции в окрестности произвольной точки. Совершенно таким же образом, как исследовалось поведекие функций при неограниченном возрастании х, ставится вопрос: можно ли ') Наметим еще другое очень простое доказательство. Прн х > 1 и е > О к л = 1 — ' < ! де-' ат, =-(х'- 1); 1 1 если выбрать число е > О меньшим, чем а, и разделить обе части полученного неравенства на х", тотчас же получим, что ири к-ьов выражение 1и х — -ь О.
ха 222 Гл. Ц!. диФФВРенциРОВАние и интеГРиРОВАние !3 различать функции, которые Вточке х = Э обращаются в бесконечность, по характеру их возрастания и как это сделать? Мы опять скажем: 1 функция у(х) = 1х — Е! в точке х = $ обращается в бесконечность 1 первого порядка, и, соответственно, функция у (х) = , абра!х — $(~ щается в бесконечность порядка а, если а — положительное число. 1 Тогда снова увидим, что функция е!х-1! обращается в бесконечность более высокого порядка, а функция !и ~ х — ~ ( — в бесконечность более низкого порядка, чем все эти степени, т.
е. что имеют место следующие предельные соотношения: 1 !!а !х — В!ае! — М =ОО и !!ш~х — ~!«!пах — Э!=О х.+1 х-+1 при всяком значении а » О. 1 Чтобы убедиться в этом, достаточно только положить = у, (х — с! и тогда наши утверждения сводятся к теоремам, доказанным в и' 2, так как 1 1х — Э! е! -1! = —, и !х — $! !п1х — $~= — —,, а а !и у у у' а значениям х, стремяшимся к $, соответствуют неограниченно возрастающие значения у. Между прочим, метод, сводящий исследование в конечной точке 1 к исследованию в бесконечности с помощью «подстановки» ! =У !х — с! оказывается часто полезным и в других случаях. б. Порядок малости функции.
Обращение функции в бесконечность характеризуется с помощью понятия о порядке роста; таким же путем мох!но точнее характеризовать и стремление функции г (х) к нулю. Так, например, говорят: порядок исчезания, нли порядок малости, функции 1!х при х — з.ОО равен единице, порядок малости функции х-", при положительном значении а, равен а. Тогда опять 1 оказывается. что порядок милости фунниии — ниже порядки !их милости любой степени х-а, т, е, что при любом положительном значении а имеет место соотношение Пш х-'1пх=О.
х.+ са Аналогично скажем, что при х-ь$ порядок исчезания функции х — $ равен единице, порядок исчезания )х — Э~ равен а. Соотношения 1 Пв !х1~!п1х~ =О, !!Гп )х~ е "' =О. к-+О -+о дополнвния к глава гп которые легко доказать на основании предыду!пего, выражают обычно 1 словами так: порядок малости функции — пои х«0 ниже (п (х) порядка малости любой степени ) х~; порядок малости показа! тельной функции е ! 1 при х — «О выщв порядка малости любой степени ! х (.
Упражнения 1. Выяснить порядок роста следующих ниже функций по сравнению со степенями переменной х при х-« со: а) е»а — 1; б) (!пх)а; в) в!пх; г) взх; д) х' в!пх агс!йх; е) х в1п х+ в 1; ж); 3) х» — 1; и) !п(х(их). 1и х' сов' х е х'+1 ' ! в-1?» ' 2. Сравнить функции упр. 1, в смысле порядка роста, с функциями вв», в», (1пх)". 3.
Сравнить фувкции упр. 1 со степенямн переменной х при х -«О. в» 4. Существует ли 1пп е е ' ? — е» е 5. Каковы пределы функций е ' и е' при х -«со? б. Пусть у(х) — непрерывная функция, обращающаяся в нуль вместе со своей первой производной при х=О. Показать, что У(х) имеет более высокий зарядов исчезания, чем х, при х -«О, 7. Показать, что функция а,х" +а,х"-'+ +а ~~ )=Ь, +Ь,х -~+ „, +Ь где аь ь О, Ь, Ф О, имеет при х-«оз такой же порядок роста (или исчезания), как х"-'". 8*. Доказать, что в» не является рациональной функцией.
9*. Доказать, что функция е» не может удовлетворять алгебраическому уравнению, коэффициенты которого — целые многочлены, зависящие от х. ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1П $1.' Рассмотрение некоторых конкретных функций На примерах не раз было показано, что в общем понятии функции таятся многочисленные возможности, кажущиеся странными и чуждыми нвшей наивной интуиции. Эти примеры, как правило, не представлялись едиными аналитическими выражениями.
Поэтому мы теперь покажем, что с помощью очень простых выражений, составленных из элементврных функций, можно представить как типичные разрывы. так и аномальные особенности. Начнем, однако. с примера, в котором нет разрывов. 1 Функция у=в О».
Эта функция (рис. 73), которая вначале определена только дая всех отличиык от нуля значений х, имеет, очевидно, при х-«О пределом О; в самом деле, с помощью преобразования 1/ха=а йаща 224 ГЛ. 1И. ДИФФЕРЕНИИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ функция переходит в у = а 1, а !нп е 1 =О. Таким образом, имея целью 1-+со дополнить нашу функцию так, чтобы она оставалась непрерывной и при х=О, мы определяем ее значение при х=О равенством у(0) =О. Производная нашей функции при х О, на основании правила цепочки, равна у'= —, е . Когда х стремится к нулю, то и производная тоже стре- -11л' лз мится к нулю, что сразу следует на основании стр. 222. В самой точке х = 0 производная — 1,.Л' ,( Вш у(и) — у(0) Вш л «-ьо л л+с Ь тоже равна нулю.
Если вычислим производные высших порядков сперва при х ~0, то получим, очевидно, всякий раз произведение функции е Ры На цЕЛуЮ рациональную функцию от 1,'х и, переходя к' пределу при х — РО, получим всегда значение О. И в самой точке л = 0 все производные высших порядков так же, как и производная у'(0), равны нулю. Рис. 73. Мы видим, таким образом, что наша функция непрерывна и диффереицируема сколько угодно раз при всех значениях х и в точке х = 0 обращается в нуль вместе со всеми своими производными (см. также 6 2). Исключительный характер зтого факта еще яснее обнаружится перед нами позже (см. Лополнения к гл.
Ч1, й 1). Х Функция у = е О». Нетрудно убедиться, что зта функции имеет для положительных значений л тот же общий характер, что и предыдущая функция; когда х, оставаясь положительным, стремится к нулю, функция стремится к нулю, и то же справедливо для ее производнои любого порядка. Если принять, что при х=О значение функции у(0) =О, то все правые производные будут иметь в точке я = 0 значение О. но совершенно иначе обстоит дело, когда х приближается к нулю со стороны отрицательных значений, тогда функция и все ее производные растут неограниченно и, следовательно, не существует левых производных в точке л = О.
Функция имеет, таким образом, в точке х = 0 замечательный вид разрыва (рис. 74), иной, чем те бесконечные разрывы, которые мы рассматривали в гл. ! у рациональных функций, стр. 39 и 76. 3. Функция Р=1Ь вЂ”. Мы уже видели на стр. 73, что из простых 1 х' функций путем предельного перехода можно получить функции с конечными разрывами. Определенная на стр. 201 показательная функция и принцип образования сложных функций дают другой метод построения функций с такого рода разрывами из злементарных функций — прямын путем, не поль- ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛЛВЕ П1 зуясь новыми предельными переходами. Примером может служить функция 1!х, — 1/т -С Е11» -+ Е у =гн — = и поведение ее в окрестности точки х=О.
Прежде всего, зта функция ие определена в втой точке. Если неограниченно приближаться к точке Рис. 74. х=О со стороны положительных значений х, то получается в пределе 1; если же приближаться к х=О со стороны отрицательных значений х, то получим в пределе — 1. Точка х=О является, следовательно, точкой разрыва функции, при переходе через которую функция делает скачок, равный 2 (рис. 75).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
