1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 42
Текст из файла (страница 42)
4. Обратная функция от логарифма (показательнаи функция). Так как функция у =- 1и х, х ) 0; является монотонной функцией от х, принимающей все действительные значения, то обратная функция, которую мы сперва обозначим х = Е (у), есть функция однозначная, монотонная, определенная для любого значения у; она дифференцируема, потому что !Ях — дифференцируемая функция (см. ~ 3, стр. 174).
Поменяв между собой обозначения зависимой и независимой переменных. займемся подробныи изучением этой функции Е (х). Прежде всего, видим, что зта функция при любом значении х должна иметь положительное значение. Далее, Е(0) = 1, так как это равенство равнозначно тому, что логарифм единицьг равен нулю. Из теоремы сложения для логарифма вытекает непосред. ственно теорема .умножения Е (а) Е (р) = Е (а + р).
Для доказательства нужно только заметить, что равенства Е (а) = а, Е (р) = Ь, Е (а + р) = с эквивалентны равенствам: а=!па, !1=!пЬ, а+б=!пс. Но так как по теореме сложения для логарифма а+в = 1п(аЬ), то с =аЬ, что и доказывает теорему умножения. Из втой теоремы вытекает основное свойство функции у=Е(х). .Которое дает нам право назвать ее показательной функцией и представить символически в виде у=е". 202 ГЛ. Н!. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ [4 Чтобы получить это свойство, мы примем во внимание, что должно непременно существовать такое число, назовем его е'), для которого [п е = 1.
Этому эквивалентно определение Е(1)=е. На основании теоремы умножения для показательной функции отсюда вытекает для любого целого положительного значения а Е(п) = е", и таким же образом при целых значениях т и п ~«л) ы что, впрочем, можно было бы вывести непосредственно из теоремы сложения для логарифма.
Равенство Е(г) =е', доказанное таким образои для положительных рациональных значений г, на основании равенства Е(г) Е( — г) =Е(0) = 1 справедливо и для отрицательных рациональных значений г. Итак, функция Е(х) непрерывна при всех значениях х и совпадает при всех рациональных значениях х с функцией е". Этот факт позволяет обозначать эту функцию через е и при любых иррациональных значениях хэ).
(Заметим, что при этом определении непрерывность функции е», как обратной функции от непрерывной монотонной функции, известна заранее, между тем при элементарном определении непрерывность приходится доказывать.) Дифференцирование показательной функции дается формулой — е =е» или у'=у.
й» !) Мы докажем в и' 6 этого параграфа, что это число е тождественно с числом е, которое мы рассыатрнвалн в гл. !. ') Тем самым доказано, что данное нами определение дает ту же самую показательную функцию с основанием е, которая была ранее элементарно определена с помощью возведения в степень, В самом леле, прн том элементарном определении функцию е» при иррациональном значении » рассматрнвалн как предел выражений е ", где х„ пробегало последоэзтельность «л рациональных чисел, стремящихся к х. Так как Е(»,) = е ", а вследствие непрерывности Е(х) имеем Е(») = [[гя Е(х„), то элементарное определение функции е» повсюду согласуется с данным теперь определением.
При этом мы, забегая вперед, полагаем, что введенное здесь число е совпадает с тем числом, которое обозначалось этой буквой ранее, но это будет доказано в я'б. з! т е, лОГАРиФмическАя и ИОкАзлтельнАя Функции 203 Эта формула выражает важный факт, что производная показательной функции равна самой функции. 7!оказательство крайне простое. Именно, имеем х = !п у, откуда, принимая во внимание формулу дифференцирования логарифма, выводим пх 1, йу у' следовательно, по правилу дифференцирования обратной функции имеем У х ех дх как мы и утверждали. График показательной функции е', так называемая экспоненциальная кривая, получается просто путем отражения логарифмической кривой относительно биссектрисы положительного квадранта.
Он представлен на рис. 67. 6. Общая показательная функция а" и общая степенная функция х'. Рис. 67. Мы определяем Гпеперь показательную функцию а», при произвольном положительном основании а + 1, просто с помощью равенства у — ак — ек!пп что согласуется с элементарным определением, ввиду того что е~пп а С помощью правила цепочки сразу получаем ах — ех!и и ех !с а 1и а и и Пх дх — а =а !па.
х к еГх Обратную функцию от покааательной функции у=ах называют логарифмом при основании а и записывают так: х=!оспу, 'между тем как логарифм, который мы ввели раньше, называют, там где их нужно различать, натуральным логарифмом или логарифмом при основании е. Непосредственно из определения получаем соотношение х1па=!па ° !олпу=!ау или 1оа у=— 1п у 1па ' 204 гл.
нк диееагвнцивоваиив и интвггигованив !о которое показывает, что логарифм числа у при любом положительном основании а + 1 получается из натурального логарифма этого числа путем умножения его на число, обратное натуральному логарифму а; это число называется модулем системы логарифмов при основании а '). Вместо нашего прежнего определения обобщенной степени х'(х) О) вводим теперь определение с помощью равенства ха еа~ И здесь непосредственно очевидно, что это определение согласуется с элементарным определением. Новое определение обладает тем преимуществом, что оно определяет ха сразу для всех значений а и не нуждается в предельном переходе для иррационального а (ср.
стр. 92). Правило дифференцирования степени х' получается на основании этого определения непосредственно с помощью правила цепочки; действительно, Ха — Еа !а» еа !а» = Пха — 1 Л а лх что совпадает с нашим прежним результатом. 6. Представление показательной н логарифмической функций в виде пределов. Теперь мы в состоянии просто установить важные предельные соотношения для введенных выше величин. Исходим из определения производной: ~.(„) 1,„у(~+ь) — у! ) а.+о сюда мы подставим /(х) =1пх, /'(х) =1/х.
Имеем !п(х+Ь) — !пх . ! х+Ь . ! ! Ь ! — = 1!ш = 1нп — !п = !пи — 1п!1+ — !. ь,о ь кол х коЬ х Положив 1/х=л, получим я =1!ш — !п(1+лЬ). 1 л.+о " Так как функция е» непрерывна при всех значениях х. отсюда вытекает 1 ! 1 лт -а!»н,»оо а ~ай+»м о» оа.+о" =!нп е =1!гп(1+ гЬ) (А) ь.+о «-+о ') Прн а = 10 получаются знакомые со средней школы «бриггозы» логарифмы, которые преимущественно применяются для чксленкых расчетов. 61 6 6, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИИ 205 Если, в частности, Ь пробегает последовательность значений 1, 1/2, 1/3, ..., 1/и, ..., то получится В ш (1 + — ) = е'. л.+л (В) Подставим вместо е частное значение г = 1. Тогда формулы (А) и (В) дают л 1 11ш (1+ Ь)" = е, 1нп 11 + — ~ = е. ».+о л-Лло Зги формулы выражают следующий важный факт: Выражение (1+ Ь) «ри Ь вЂ” ь О и выражение (1 + — / ари Ц» Г 1)л л) и-»ОО стремится к числу е как к саоему общему пределу.
Отсюда вытекает, что введенное здесь число е совпадает с тем числом л, которое мы рассматривали на стр. 62 как пример числа, определяемого предельным переходом. Из формулы дифференцирования для а" а'+" — а' (а')' = а" 1п а = 11 гп л получаем при х = О формулу ໠— 1 1п а = 1нп »-ло х'Ых= (Ьл~~ — ил~1) (а '> О, Ь > О).
л Нам всегда приходилось исключать адесь случай а= — 1. Теперь же мы можем проследить, что произойдет, когда число а, стоящее в обеих частях этого равенства. будет стремиться к пределу — 1. Если подставим а = 1, то левая часть, на основании нашего определения логарифма, будет иметь пределом » — =1пЬ'); 1 1) Предельный переход и -1 — 1 мы совершили непосредственно пол аваком интеграла (см. по этому поводу рассуждения в гл. П, 6 7, в'3).
которая непосредственно выражает логарифм числа а с помо1цью предела. Заметим еше по поводу этого равенства, что с его помощью можно удовлетворительным образом дополнить ранее полученное соотношение: 206 ГЛ, Н1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ р поэтому и правая часть равенства должна при а — ь — 1 стремиться к тому же пределу. И этот факт согласуется с формулой 1ЕЬ=!!щ Ье — 1 а -ге достаточно только заменить а + 1 через !е. Таким образом, мы устранили исключительное положение числа а = — 1 в этой формуле интегрирования, которую мы столь часто рассматривали. Хотя формула (е) при а = — 1 теряет смысл. зато она сохраняет свое значение как предельная формула при а †» — 1. 7.
Заключительные замечиния, Резюмируем вкратце хол рассулкдений в этом параграфе. Мы прежде всего дали определение натурального логарифма у= !их при х ) О с помощью интеграла и отсюда же сразу вывели формулу дифференцирования, теорему сложения и существование обратной функции. Затем мы исследовали обратную функцию у =е» (где число е означало то число, логарифм которого равен 1) и вывели для нее формулу дифференцирования, а также предельные выражения для нее и для логарифма. Введение функций у = хя = е" '"» и у= а»= е»'"' получилось при этом само собой, При данном здесь построении, в противоположность «элементарному» изложению, не возникает никаких затруднений в вопросах о непрерывности, так как логарифм с самого начала характеризуется как интеграл и тем самым как непрерывная дифференцируемая функция своего аргумента, а непрерывность обратной функции вытекает сама собой.
Упражнения 1. Построить график функции у =1/х (1~(х(2) в крупнолл масштабе на миллиметровой бумаге и найти !п2, подсчитывая квадратики. Продифференцировать функции в упр. 2 — 5: 2. х(1пх — 1). 4.!п(х+Р !+хе). 3. 1п !в х. 5. 1л (3~ 1 + 1п х — е1п х). Р х'+1 б. Продифференпнровать !п,: а) пользуясь правилом цепочки Р»2+ х и правилом лифференцирования частного, без предварительного упрощения втой функции; б) после упрощения"с помощью теорем о логарифмах (правил логарифмирования). 'у'7хл+1 7. а) Пролифференцировать у= 4 Ух — 2 Ух'+! б) Продифференцировать эту же функцию после предварительного ее логарифмирования и упрощения. 84. Дано Пше» О.
1(оказать, что Пш !1+ е„— ) =*1. ».л~ ( .„) 11 $7, некОтОРые пРилОжения показательной Функции 2ОТ 9. Показать, что функция у = е ""(а сов х+Ь э!ах) удовлетворяет уравнению у" +2ау'+(а'+1) у = О при всех значениях а и Ь. 1О . Показать, что — „„(е ') = — „е, если хчьо, где Р„(х)— -Н«э ' «(Х) -17Н многочлен степени 2п — 2. Вывести «рекуррентиую формулу» Р, (х) = (2 — Зпхэ) Р„(х) + хзР„(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
