1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

диФФеРенциРОВАние и иитГГРиРОВАнпГ !2 2. Обратная функция от степенной функции. Простейший пример обратной функции представляют функции у = хл прн целом положительном значении л, причем будем рассматривать эти функции только прн положительном значении переменной х. Тогда у' всегда положнтелыю, поэтому для положительных значений у всегда можно образовать однозначную положительную обратную функцию л х =. р' у = у '". 1'л Производная этой обратной функции получается путем следующего вычнсления: 1гх 4 (у ) 1 ! 1 лу "у ~~у лхл 1ГХ теперь по общему правилу 1 — 1 а у л-1 у л если обозначить теперь опять независимую переменную (вместо у) через х, то окончательный результат будет л 1 гГ 1л 1 (х1ул) = хи лх лх и который совпадает с результатом, выведенным ранее прямым путем (стр.

120). Особого рассмотрения требует только граничная точка х= О. Когда х и (,1Гл) приблпигается к нулю со стороны положительных значений, то пх прп и > 1, очевидно, возрастает неограниченно, что соответствует тому обстоятельству, что провзводная степенной функции У (х) = хл при и > 1 обращается в нуль при х = О.

Геометрически это значит, что кривые у = х '" .11л прп и > 1 все касаются в начале координат оси у (см. рис. 17 на стр. 52). Заметим, что при нечетном и можно отбросить условие х > 0 и рассматривать функцию у =хи для всех значений х; при этом монотонный характер ее возрастания и существование однозначной обратной функции х = у цл не нарушаются. Формула дифференцирования 1 — (у'л) = — ул лу и остается в таком случае справедливой и для отрицательных значений х; гг (хл) при х= 0 производная — =0 (если и > 1), что соответствует беско- г!х пх печному значению производнбй — от обратной функции при у = О.

Пример случая перво~о рода представляет функция у =- хт прн х= О, а пример второго случая дает функция у.=ха при х= О. Рис. 51 и 52 наглядно изображают поведение обеих функций прн переходе через начало координат н вместе .с тем показывают, что функция у.=. хз имеет однозначную обратную функцию в окрестности начала координат, а у=--хэ не имеет. 4 з. опрятная аункция и ге производная 3. Обратные тригонометрические функции. Лля того чтобы построить функции, обратные тригонометрическим, рассмотрим еще раз графики з!их, созх, 1пх и сгцх. Из рис. 14 и 15(стр.

40 — 41) мы тотчас же видим, что для каждой из этих функций необходимо выбрать определенный интервал, если хотят получить однозначную обратную функцию; в самом деле, прямые у = с, параллельные оси х, пересекают эти кривые (если только опн вообще встречают их) в бесконечном множестве точек. Лля функции у=агах производная у'=созх остается, например, положительной в интервале — п,'2 < х < п12. В этом интервале функция з!пх имеет, следовательно, однозначную обратную функцию, эту обратную синусу функцию мы обозначаем х = агсз!и у (произпосится арксинус у и означает: дуга (угол), синус которой есть у).

Эта функция монотонно возрастает от — п12 до + п12, когда у монотонно возрастает от — 1 до +1. Если хотят словесно подчеркнуть, что имеют в виду обратную функцию от синуса именно в этом интервале, то говорят о главном значении арксинуса. Если Рис. 53. обратить функцию з!пх в другом интервале, в котором она монотонно изменяется, например в интервале п)2 < х < Зп12, то получается «другая ветвь» арксинусз; без точного указания интервала, в котором должны лежать значения обратной функции, арксинус вреде~валяет многозначную и лаже бесконечно многозначную функцию, обозначаемую символом х = Агсгйп у.

Вообще, многозначность функции Агсз!ну выражается в том, что одному и тому же значению у синуса соответствуют, кроме угла х, также и угол 2дп+х и угол (2н-(-1)и — х, какое бы целое значение (положительное или отрицательное) мы ни дали числу й (рис. 53). Лифферепцирование функции х = агссйп у можно теперь провести по общему правилу с помощью следующего небольшого вычисления: ггх 1 1 1 1 иу у' соз х )г1 — з1п' х )г1 — ут 12 р. курант 17Б Гл. н!. ДиФФеРенциРОВАниГ и интеГРиРОВАние !з причем надо брать положительное значение корня, ибо х изменяется в интервале ') — и/2 < х < и/2.

Если опять независнмук! переменную вместо у обозначим через х, то получим формулу дифференцирования функции агсзгпх в следующем виде: 1 — агсз)п х = чх )' 1 — к' При этом имеется в виду, что агсз1пх заключается между — н/2 и +и/2 (рис. 55), и поэтому надо взять положительный знак корня. Ряс. 54. Совершенно таким же обрааом получаем для обратной функции от у=созх, которую мы обозначаем через агссозх (рис. 56), формулу дифференцирования 1 — агссоз х =— вх Р' 1 — х' Здесь надо брать положительный знак корня, так как значения агссозх берут в интервале от 0 до н (рис.

56; а не как у агсзгпх между — н/2 и +и/2). Рнс. ББ. Рис. ББ. Надо скззать еше несколько слов относительно концов х= — 1 и х=+1 интервала, в котором изменяется х. Производные неогра') Если вместо этого выбрать интервал и!2 < х < Зп,'2, что соответствует. замене х через х+ и, то надо будет взять отрицательное знаЧение корня, потому что сов х в этом интервале имеет отрицательное значение.

а з. оэялтнля екнкпня н вг. пяонзводнля 179 з 1 1 х = агсс(а' у; — = — з(пз х =- — — = —— >Гу 1+ с>я> х 1+ у' или, наконец, если опять независимую переменную обозначим через х, 1 и 1 — згс1е' х = >гх 1+х> ' >гх ; — агсс1э. х =— 1+х' ' 4.

Соответствующие формулы интегрирования. Только что выведенные нами формулы, выраженные на языке неопределенного интегрирования, имеют следующий вид: е(х = — агссоз х+ С; 1 $>1 хз — >7х = — агсс(а х+ С. 1' 1+х> >Гх = а гез)п х + С 1 )> Ъ вЂ” х' — л1х=агс1я х-+С; 1 1+х' 12л ниченно возрастают при приближении к этим концам, в соответствии с тем, что кривые, изображающие агсз1пх и агссозх, имеют в этих точках вертикальные касательные, так как соз(+ и/2) =О и, соответственно, гйп О = О и з! и и = О (рис. 55 и 56). Совершенно аналогично рассматриваем обратные функции от гдх и с(а.х.

Функция у= та'х, производная которой 1/совах везде при х + и/2 + /гп положительна, имеет, очевидно, однозначную обратную функцию в интервале — и/2 < х < и/2. Эту обратную функцию обозначают х=агсгиу или, меняя роляии буквы х и у, у = агсга>х, На рис. 57 сразу видно, что первоначальная многозначность обратной функции. т. е. многознач>юсть, имеющая место, если не фиксировать точно интервала для значений Агс(их, выражается в том, что всякому значению х можно было бы вместо значения у отнести также значение у+ Ап при любом Ркс.

57. целочисленном значении А. Для функции у=-сгпх обратная функция х= агссга у (или у=агсс(а х, если поменять ролями х и у) будет олнозначно определена, если значения этой функции ограничить интервалом от О до и; многозначность же функции Агсс(ях такого же рода, как и функции Агс(ях. Формулы дифференцирования получаются следующим образом: х=агс)яу; — = — =сов х= 3 лу лу -)- я х ч-у >гх 1аб гл нн дифегванцнговлния и интпггивованнв [а Между двумя формулами левого столбца и двумя формулами правого, которые относят неопределенным интегралам две на первый взгляд совершенно различные функции, нет никакого противоречия.

Мы должны помнить, что в неопределенном интеграле остается в нашем распоряжении произвольная адлитивная постоянная. Если мы из этой постоянной выделим ее часть п12 и заметим, что п12 — агссозх=агсз1пх и точно так же и/2 — агсс1пх=агсгпх, то эта формальная несогласованность тотчас разъясняется. Эта неопределенность покоится, следовательно, исключительно на том, что Рис. 58, ~ г" (х) Нх = Р (х) ~ г (х) Нх = Г (х) + с.

писать всегда Ради краткости часто не пользуются этой более длинной записью; но следует постоянно иметь в виду эту неопределенность, когда пользуются сокращенной записью (см. также стр. 141). Из формул неопределенного интегрирования тотчас аге вытекают формулы для определенных интегралов, если только ввести, согласно стр. 143, 144, пределы интеграции. В частности, получаем: ь — = агс1К х )ь = агс1К Ь вЂ” агс1К а. ггх 1+ хг а И неопределенный интеграл представляет не одну определенную функцию, а целое семейство функций, отличающихся между собой произвольными аздитивными постояннымн.

Когда иы пишем, что неопределенный интеграл равен некоторой функции, то мы тем самым определяем только одно из его значений. Хорошо поэтому всегда отмечать этот факт, записывая каждый раз произвольную постоянную явно, т. е. змее~о 4 Е ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 181 т! Если положим а=О, Ь=1 и заметим, что тнО=О и 1нн/4=1, то получим аамечательную формулу: 1 о Число н, которое первоначально появилось при рассмотрении окружности, приводится этой формулой в очень простую связь с ра- 1 циональной функцией 1, и истолковывается как удвоенная площадь криволинейной трайеции, изображенной на рис. 58. Упражнения 1, Для функции у =ха/4 значению х= 8 соответствует у=!6.

Найти гту значение — при х = 8; решить уравнение у = хв14 относительно х и затем гсх ах найти — при у = 16. Показать, что знзчения этих произзолных согласуются с правилом дифференцирования обратных функций. 2. Доказать, что: а) агсв1п а+ акын Р = агсв1п (а Гг! — Р' + 6 Гг1 — а ), б) агсвша+агсв1пр= агссов1 Т вЂ” и'~Т вЂ” 61 — ар), в) агс1е и+ агс1Е 6 = агсге 1 — ар В упр. 3 — 10 продиффереицировать указанные выражения и написать соответствуюшие формы интегрирования. и ггх 1+х 4.

Характеристики

Список файлов книги