1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Теорема доказана. Вместе с тем ясно, что экстремальное значение у'Я) является наибольшим или наименьшим значением функции У'(х) в любом солержащем точку й интервале, в котором производная, кроме точки $, больше нигле не меняет знака. Теорема о среднем значении. Иа которую только и опиралось наше доказательство, справедлива и в том случае, если функция )г(х) не имеет произволной на границе интервала, к которому она применена, при условии, что Г(х) дифференцируема во всех внутренних точках интервала.

Поэтому наше доказательство сохраняет силу, если у'(х) не существует в точке х = $, т. е. когда кривая у = Г"(х) имеет прн х = $ угловую точку или острие (точку заострения). Мы приходим, стало быть, к следующему несколько более общему результату: если функция Г (х) непрерывна в интервале, содержащем точку а, и дифференцируема в нем повсюду, с возможным исключением самой точки й, то функция имеет в этой точке экстремум в том и только в том случае, если точка я отделяет друг от друга два интервала с различными знаками производной г'(х).

Например, функция у = )х ! имеет в точке х = 0 минимум. потому что у' ) 0 при х ) 0 и у' < 0 при х < 0 (ср. рис. 36 на стр. !23). Функция у = 'у'ха тоже имеет 1 прн х= О минимум, хотя в этой точке производная у'= — х-'д 3 обращается в бесконечность (ср. рис. 39 на стр. 124).

Подчеркнем еше раз: задача нахождения максимумов и минимумов не является безоговорочно равносильной задаче нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутом интервале. Монотонная функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения на границах интервала, и эти значения вовсе не являются максимумом и минимумом, так как эти последние понятия всегда относятся к полной окрестности рассматриваемой точки. Так, например, функция ,г(х) = х в интервале О ~( х < 1 имеет в точке нуль наименьшее, а в точке 1 наибольшее значение, и аналогично обстоит пело с любой монотонной функцией. Функция у = агсгн х, имеющая произволную ! у = 1,, является в интервале — со < х <+оп монотонной !+ха ' 192 гл, иь днееегвнциговлннн и ннтяггняовлнне 1з функцией и не имеет в этом открытом интервале ни максимума или минимума, нп наибольшего или наименьшего значения (ср.

рис, 57 на стр. 179). Если корни производной г" (х) вычислены и желательно получить уверенность, что тем самым найдены и точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение, то можно часто воспользоваться следу юшин критерием: Во внутренней точке Ь замкнутого интервала, в которой производная у'(х) обращается в нуль, функция у(х) обязательно принимает свое наименьшее (наибольшее) значение, если во всем интервале у'к(х) ) О (ул(х) < О).

Действительно, если «+и есть любая отличная от с точка интервала, то по теореме о среднем значении у'(й+й) =7'д+й) — 7'(й) =луч(ь+ОЬ), О < Е С1. Следовательно, прояэводпая у'(х) имеет в точке ь-+ Ь тот жс знак, что и й, если ук(х) ) О, и противоположный, если у" (х) ( О. Стало быть, точка й делит весь интервал на две части с различными знаками произволной 7"'(х), отсюда и вытекает наш критерий.

* Можно рекомендовать следующий общий способ нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у(х), непрерывной в замкнутом промежутке (а, Ь). Предполагается еще, что у(х) имеет производную в (а, Ь), за исключением, быть может, конечного числа точек. Прежле всего надо определить: 1) все точки, в которых производная у'(х) обращается в нуль, 2) все точки, в которых производная не существует. Пусть всего оказалось л таких точек (обоих типов): хь х„..., х„. Надо вычислять значения функции во всех этих точках, а также значения функции на границах промежутка: у(а), у(х,), у(х,)...„у(хв), у(Ь).

Наибольшее из этих чисел н есть наибольшее значение у(х), а наименьшее из них — наименьшее ее значение в (а, Ь). 3. Примеры максимумов н минимумов. Задача 7. Среди всех прямоугольников, имеющих данную площадь, требуется найти прямоугольник с наименьшим периметром. Пусть площадь прямоугольника равна а', одна сторона равна х (прн этом х приходится рассматривать в интервале О ( х ( со), тогда другая сторона равна ат/х, а полупериметр равен а« 7(х)=х+ —.

Имеем У (х) =-1 — —,7" (х) = —.. Уравнение У'(х) = О имеет единственный положительный корень й=а, Прн этом значении у" (х) положительна (как, впрочем, и прн любом положительном значении х); следовательно, при х = а периметр получает наименьшее значение, н мы получаем весьма естествен- % К МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ный результат, что из всех прямоугольников с заданной плошадью наименьшим периметром обладает квадрат. Задача 2. Среди всех треугольников с заданным основанием и заданной плошадью надо найти тот, который имеет наименьший периметр. Для того чтобы решить 'эту задачу, мы рассматриваем данное основание АВ как часть оси х, а середину его О берем за начало координат. Длину заданного основания обозначим через 2а.

Если С вЂ” вершина треугольника, й — его вполне определенная высота и (х, й) — координаты вершины С, то периметр треугольника выразится так: ,1 (х) = (уг(х+ а)'+ йз-+ "р'(х — а)э+ Ь'+ 2а; далее имеем: х+а х — а ун+2'Фн н Гн — тт н — (х+а)т 1 — (х — а)' * гГГ*-ь- рт '3' гэчр +и тт — ртами~ тп — угн-Р О'(*.~- т-нну (г< — у.~- юу Мы сразу видим: во-первых, 1'(0)=0, во-вторых, /н(х) всегда положительна; поэтому при х=О действительно имеем минимум; так как уа(х)) О, то у'(х) постоянно возрастает и потому не может равняться нулю ни в какой иной точке. Следовательно. при х=О получается действительно наименьшее значение периметра. Стало быть, наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник. На примере этой задачи можно дать ясную иллюстрацию того факта (см. стр. 191), что если функция принимает свое наименьшее значение на границе интервала, то ее производная не обязательно обращается там в пуль. Попытаемся решить эту же задачу, пользуясь формулой элементарной геометрии Я=рг, где р — полупериметр треугольника, 5 — его площадь, г — радиус вписанной окружности.

Здесь плошадь 5 в заданная постоянная, так что полупериметр Я Р = —. г является функцией от г. Производная этой функции ар Я Кг гт пе обращается в нуль ни прн каком значении г. Несмотря на это, 'Как мы уже знаем, наименьшее значение полупериметра р существует! 13 Р. курант 194 ГЛ, >П. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ !з Это кажущееся противоречие объясняется тем, что для треугольника постоянной плошади 8 радиус вписанной окружности г не превышает некоторого положительного числа ге, так что функция р (г) определена лишь при г ( ге.

Так вот полупериметр принимает свое наименьшее значение как раз при г = г„. Отсюда видно, что задачу о наименьшем значении этой функции р (г) невозможно решить определением корней производной У р' (г). Задача 3. Доказать, что иэ всех треугольников, имеющих данный периметр и данное основание, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник. Решение, аналогичное решению задачи 2, предоставляется читателю.

Задача 4, Закон отражения. На данной прямей найти точку, сумма расстояний которой от двух данных точек была бы наименьшей. Пусть дана прямая и две точки А и В по одну сторону от прямой. На прямой ищем такую точку Р, чтобы сумма расстояний АР+ ВР была наименьшей. Данную прямую примем за ось х и воспользуемся обозначениями, отмеченными на рис.

63. Тогда искомая сумма расстояний равна /( )=)/ 2+из+1/(х — )2+из и мы имеем, далее, /() — + 1/ха+из 1/(х — а)2+из Ь'Р4Р>' ~'~->Р (Гт:>'>-Р)г 1 И2 Из 1/( )2 + Из (~/ 2+ И2 )3 (У" ( )2 + И2 )3 Уравнение /'Я) =0 дает а — 3 )/$ +и )>г(я — а) +и, или сова = совр, а это означает, что обе прямые РА и РВ должны образовать с данной прямой равные углы.

В том, что мы при этом получаем действительно наименьшее значение. убеждает нас положительный знак уа(х). 4 а, мАксимумы и минимумы 1/»2+ ха и уг»2+ (а — х)' и время, требующееся для прохождения этого пути. получается делением этих длин на соответствующие скорости. Стало быть, это время равно У(х) = — '~/» +ха+ — '~l»2+(, е, Е2 Отсюда, дифференцируя, получаем: 1 а — х 1 х у'(х) — — .

е, ~/»2+ 2 Е2 фг»2+ ( )2 »2 уа(х) = — ° с, (У»2+ 2 1 ' »2 + Уравнение /'(х)=0. т. е. 1 а — х 1 х 1 У» +ха 2 У»г+(а — х) 13' Решение этой зздачи находится в самой тесной связи с ааконом отражения в оптике. Согласно важному принципу оптики, так называемому принципу Ферма о кратчайшем времени распространения света, путь светового луча характеризуется теи свойством, что время, которое требуется свету, чтобы при известных условиях прин~и из точки А в точку В, должно быть кратчайшим.

Если на луч света наложим условие, чтобы он на своем пути проходил через точку заданной прямой (скажем, зеркала), то мы увидим, что кратчайшее время прохождения достигается таким лучом, для которого угол падения равен углу отражения. Задача 5. Закон преломления. Пусть даны две точки А и В по разные стороны от оси х.

Характеристики

Список файлов книги