1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

) х сов'х. 7. агсв1п х агссов х 1+ агс1нх 1 — агс1нх агсв$п х агс1н х 1+3~ х 1 — ггх 6. —. 10, б агссгя х+ $.т г 1 1 — гях агссов х 1 11. Построить график функции у = — в крупном масштабе. Найти 1 +х' 1 ч'х —, подсчитывая число миллиметровых квадратиков, и таким образом 1+ха' а получить приближенное значевие для и/4. 1Ср. упр. 1в на стр. 149.) $4.

Дифференцирование сложной функции 1. Правило дифференцирования сложной функции — правило цепочки. Предыдущие правила дифференцирования дают возможность проднфференцировать любую функцию, которая может быть выражена в виде дробно-линейной функции от функций, производные которых !В2 гл, нь диеегвенцировлние и интегоивовлние [! нли известны. Но мы можем сделать еше весьма существенны шаг вперед, который даст возможность дифференцировать все сложные функции, составленные из функций. производные которых нам известны. Пусть функция ф(х) лнфференцируема в интервале а ( х (Ь н принимает там все значения из интервала а «([р.(([. Возьмем теперь другую дифференцируемую функцию д([р) от независимой переменной [р, у которой эта переменная [р пробегает последний интервал от а до р, и будем рассматривать в (ф)=д([р(х)) = у(х) как функцию от х в интервале а«(х(Ь.

Тогда функция у(х)=я'([р(х)) называется сложной функцией') независимой переменной х в интервале а«(х«(д, составленной из функций й' и [р. Если. например, ц(х) =1 — х', а ц(~р) = )«р . то эта сложная фуикцив будет просто У(х) = Р 1 —.к'. В качестве интервала а <х«<Ь возьмем здесь интервал Ок(х <1, тогда совокупность значений фуйкпии й(х) заполняет весь интервал О < ц- " 1; таким образом, сложная функция у(х) = р 1 — х' определена в интервале О <х <1.

Другой пример сложной функции представляет У(х) =)' 1+х'; ова составлена из функций й(х) =1+х' и я(э) =рв; прн этом значение функции ц(х)„'> 1 и, соответственно этому, функция о(ц) определена для всех значений х. При составлеиии этим путем сложных функций надо, разумеется, всегда ограничиваться такими интервалами а <х < Ь, иа которых сложная функция определена в каждой точке.

Например, сложная функция )~[ — х' существует только в области — 1 < х < 1 независимой переменной х, ио ие в области 1 <х < 2, потому что когда х лежит в последнем интервале, то совокупность значений ц (х) состоит из отрицательных чисел, для кото:рых функция ц (ц) не определена. Кроме сложных функций, составленных с помощью двух функций, мы можем и должны, конечно, рассматривать и такие, в которых этот процесс составления повторяется несколько раз. Например, такова функция у(х) =$'"!+атеях' которая определяется следующим процессом составления: в(х) =х', ф(й)=1+а[с[яр, о(ф) =)Я(ц) =У(х).

Для дифференцирования сложных функций имеется следующая основная теорема: Функция у(х)=й ([р(х)) дифференцируема, и производная ев дается равенством /'(х) = й'([р) [р'(х) «ли, в обозначениях Лейбница, иу иу [[ц йх ив их ' ') Или функцией от функции. Э ь днфеиввнцивовлнив сложнои эвикции Это правило дифференцирования сложной функции мы будем называть правилом цепочки. Словесно оно выражается так: производная сложной функции ровна произведению производных тех функции, из которых она составлена. Доказательство этого правила получается с помощью формулы (2а) стр.

132. Всякому приращению Лх Ф О соответствует приращение Лгу, а этому Лф соответствует приращение Лд. Когда Лх стремится к нулю, то и Лф — »О, а вместе с Лгу также н Лд стремится к нулю. Дифференцируемость функции д(гр) означает следуЮщее: существует такая величина е„ стремяшаяся к нулю вместе с Лгу, что Ля =я'(гр)Лф+еЛгр. Так как Лй'=Лг (х), то ж = Лх =(й"'(ф)+') Ь., ЛУ Ле бй Заставим теперь Лх стремиться к нулю, и мы тотчас же получим требуемый результат, так как е стремится к нулю при Лх — »О, левая часть стремится к пределу Гг(х), а 1нп — ~ = гр'(х)'). лл.»О бх Применяя полученное правило последовательно несколько раз, можно его распространить на случай.

когда сложная функция составлена из нескольких промежуточных функций. Если например, у = д (и), и = ф (о), о = ф (х), то можно рассматривать у как функцию от х: у=-у(х); дифферен- цирование втой функции производится по правилу цепочки: и аналогично обстоит дело для любого числа промежуточных функ- ций. Доказательство этого можно предоставить читателю. 2. Примеры. В качестве простейшего примера, рассмотрим функцию у = хе, где и= р/е, причем е — целое положительное число, а р — положительное иан отрицательное целое число, так что а означает любое положительное илн отрицательное рациональное число. Считаем х > О.

Если положить в=х ') Это правило можно было бы также доказать, записывая отношение. приращений в виде — = —. — и переходя к пределу при бх-»0, Ле Ля ЛЧ Лх бв Лх а стало быть, н Ьн-»О. Однако путь, указанный в тексте, следует предпочесть, так как при ием мы избегаем особого рассмотрения для случая ц'(х) =О н связанной с иим возможности Ли=О. 184 Гл.

И1. диФФеРенциРОВАние и интеГРиРОВАние то ..разило дифференцирования сложной функции дает !з 1 Р— 1 — -1 у =-рФР— х = — х Р 1 З Р Ч Ч и, таким образом, для любого рационального значения а получается формула дифференпировзния а е — х =ах ГГ» что совпадает с результатом, найденным другим путем на стр. 121. В качестве второго примера рассмотрим функцию у= — )'1 — х' или у=)11г, где 1Р = 1 — х' и — 1 < х < + 1.

Правило цепочки дает 1, х у = — ( — йх)=— 2 г' р )'Т вЂ” х' Е1це несколько примеров: 1. у = агсз1п К 1 — х', Лу 1 Л~"1 — х 1 — х 1 1) пх Г' 1 — (1 — х') кх !х! Г1 — х' )1 — хт к'х г" 1+» 2 )~ ! + х (1 — х)' (1 -)- х)111 (1 — х)згт ФЗ. дифференциал сложной функции. Иивариаитиость дифференциала. Пусть дана сложная функция у = у (и), и = ср(х), или у = у (1р (х)], ') Знак минус берется для интервала О < х < !.

Если же — 1 < х < О, 'то — = х лу , так как в этом случае кх !' 1 — х' + у" ! — (1 — х') = У х' = ! х / = — х. Правило цепочки для дифференцирования сложной функции можно представить и в виде формулы интегрирования, ибо всякой формуле дифференцирования соответствует вполне эквивалентная ей формула интегрирования. Однако мы ее здесь приводить не станем, так как она еще не понадобится в этой главе и к тому же в свое время нам все равно придется (гл.

1'11, б 2) ~ подробно ею заняться. 5 ь диФФеРенциРОВАние сложной Фгнкцин 185. у которой независимой переменной является х. Вычислим дифференциал сложной функции. Согласно определению (стр. 133) он равен ду=у' дх, где дх=Лх. По формуле цепочки у,' = — у„' ° и„', и, подставив это выражение в последнюю формулу. получим ду=у' и' дх. Заметим теперь, что стоящее справа множителем выражение и' дх. к есть как раз дифференциал функции и=ср(х), так как ди = и„'Лх = и„' дх, Поэтому ду) = у„' да. Сравнивая оба выражения для дифференциала сложной функции: ду=у'дх и ду=у„'ди, приходим к следующему важному заключению.

Правило: дифференциал функции равен произведению произ- водной на дифференциал аргумента сохраняет силу незав исимо от того, является ли величина, по которой взята производная, неза- висимой переменной или же только промежуточным аргументом, который сам зависит от другой, уже независимой переменной, Различие между обеими записями: ду = и,', ди и ду = и' дх лишь в том, что когда производная берется по независимой переменной х, то дх есть независимое приращение Лх; если же производная берется по промежуточному аргументу и, то ди есть не приращение Ли, а дифференциал функции и =~у(х), т.

е, линейная часть прира- щения Ли. Вто свойство дифференциала функции называется инвариантностью дифференциала. * 4. Еще раз об интегрировании и дифференцировании х" при ирра- циональном значении п. Соответственно элементарному определению сте- пени х", прп иррациональном а с помощью равенства хв = Нш х ", Т где . " Ав представляют последовательность рациональных чисел, стремящихс» пределу о., могло бы явиться искушение провести дифференцирование х" путем прямого перехода к пределу в формуле »» — х"=г х" в 166 ГЛ.

Н!. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ а Это было бы оправдано лишь в том случае, если бы из сходимостн х" к х св б а вытекала сходимость — х" к — х . Но в законности такого предельного йх дх перехода возникают серьезные сомнения принципиального характера. Ведь в любой сколь угодно малой окрестности кривой можно провести другие кривые, направление которых в любых точках сколь угодно сильно отличается от направления первоначальной кривой; например, прямую линию можно приближенно представить с помощью волнистой ливни, проходящей сколь угодно близко к ней, но пересекающей ее каждый раз под углом в 45'(рис. 59).

Другими словамн, этот пример показывает, что только из того факта, что две функции всюду очень мало разлиРис. 59. чаютск между содой, нельзя заключать, чта и их производные всюду близки друг другу; и это возражение запрещает выполнить напрашивающийся предельныи переход без дополнительного обоснования. Совершенно Но-иному, чем у производной, обстоит дело у ивтеграла. Мы видели в гл. П, 6 7, и' '2, что если две функции во всем интервале ото до Ь различаются между собой меньше чем на с, то их определенные интегралы различаются между собой меньше чем на г(Ь вЂ” а). С помощью этой в теоремы мы там вывели сначала формулу интегрирования ~ ха бх для а иррациональных значений а и уже из нее с помощью основной теоремы стр.

Характеристики

Список файлов книги