1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 34
Текст из файла (страница 34)
На основании замечания на стр. 93 опрел.+ со деленная таким образом функция ха непрерывна при х) О, чего мы и здесь не станем доказывать. Стало быть, выполнены условия последней теоремы. Так как здесь а ф — 1, то можно без ущерба для ГЛ. Н. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ общности принять, что ни одно а„не равно — 1. Теперь ь ь х" бх= Вщ 1 х" с(х= Вщ (дк + — а" ), „+, з „, и+1 ь ь и, следовательно, ь ь вкругими словами, при х) 0 формула интегрирования, установленная раньще для степени хк с рациональным показателем, годится и при любом иррациональном показателе а.
В силу основной теоремы стр. 137 отсюда вытекает, что и формула дифференцирования — (Хк ! 1) = (а + 1) Хк дх выведенная ранее для рациональных значений а, справедлива и при иррациональных значениях показателя а (при х) 0). Упражнении 1. Найти промежуточное значение с, фигурирующее в теореме интегрального исчисления о среднем значении, дла нижеследующих интегралов н результат истолковать геометрически: ь ь ь ь р ах а) ~ 1ах; б) ~ хах; в) ~ х" ах; г) ь к а а 2. Дано, что 1'(х) — непрерывная функция.
Доказать с ломо!пью теорема интегрального исчисления о среднем значении, что производная от ) 1 (и) Ли равна 1(х). ь 3. а) Вычислить 1к ) хп" ах. Каков Нщ 1лг Истолковать геометрии.+со е чески. б) Сделать то же самое дла 1„ = ~ х" ах. о 4ь. Функция у(й) непрерывна при всех значеннкх $, а функцив р(х) определена равенством Ь „р, „уу, 1 26 -ь где Ь вЂ” произвольное положительное число. Доказать, что: дополнгнне к главе и а) функция Р(х) имеет непрерывную пронзволную при всех значениях х;, б) з любом фиксированном интервале а ( х < б можно сделать 1 Р (х)— — у(х)! < е, где е — произвольное заранее заданное положительное число, выбирая для б достаточно малое число.
б'. Неравенство Шварца для интегралов. Доказать, что для всех непрерывных функций У(х) и в (х) ь ь ь 12 ~ (у(х))глх ~ (й(х))гдх)~ ~ г'(х) я(х) их а а а ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ Н ф 1. Доказательство существования определенного интеграла от непрерывной функции Теперь приведем аналитическое доказательство теоремы, что определенный интеграл от непрерывной функции у(х). в пределах от а до Ь (а < Ь), всегда существует. Для этого вспомним обозначения гл.
11, 9 1, стр. 104 — !05, и рассмотрим сумму а Р» = ХУД)бхж Вполне очевидно, что г"„= ~~~„у(о )Лх, < Р, < ~~~~ у'(и,)гьхе = с „, где У(о ) означает наименьшее, а !'(и,) — наибольшее значение функции у(х) в ч-м частичном интервале. Задача заключается в том, чтобы доказать, что Р„стремится к определенному пределу, не зависящему от специального характера разбиения на частичные интервалы и от выбора значений $„, когда с возрастанием и длина наибольшего из интервалов Ах, стремится к нулю. Для этого, очевидно, необходимо и достаточно показать, что оба выражения г'„и Р„ сходятся к одному и тому же пределу.
В силу равномерной непрерывности функции г"(х), каково бы ни было наперед заданное положительное число е, в любом достаточно малом интервале еколебапие» ) У (и,) — У(о,)~ функции У(х) будет меньше, чем е. Так как г"(и,) ) у(о,), то символ абсолютной величины можно адесь опустить и пйсатьо у (й,) — 1(о ) < е. Пбэтому, если интервал [а, Ь) разбить на достаточно мелкие частичные интервалы, то 0 < Рв — Р, =,'~~ Лх, 1у(и ) — у(о,)1 < е(Ь вЂ” а). ч-т гл.
и. основные понятия Отсюда видно, что эта разность с возрастанием в стремится к О. и можно поэтому ограничиться доказательством сходимости Р'„. Эта сходимость будет доказана, если покажем. что ! Рж — Р„( может быть сделана сколь угодно малой, коль скоро в обоих соответствующих разбиениях, которые мы будем называть «разбиением и» и «разбиением и», выберем интервалы достаточно малыми. Итак, мы предполагаем, что оба разбиения выбраны настолько мелкими, что колебание функции 1(х) в каждом иа частичных интервалов меньше е; переходим теперь к третьему разбиению, точки деления которого получаем, взяв все точки деления как разбиения т, так и разбиения л.
Пусть зто новое разбиение состоит из 1,частичных интервалов. Отметим его индексом 1 и рассмотрим соответствующее значение Рп Мы сможем оценить выражение Р— Р„ если нзйдем оценки для выражений ( Р— Р,( и ~ Р„ — Р,). 1(окажем сначала, что имеют место следующие два соотношения: Р„<Р, <Р„ Справедливость этого непосредственно вытекает из смысла нан.их выражений. рассмотрим, например, ч-й частичный интервал, принадлежащий разбиению и. Этому интервалу соответствует один или несколько интервалов из разбиения 1; все соответствующие слагаемые при последнем разбиении состоят из двух множителей, первый из которых есть некоторая разность Лх, а второй во всяком случае не больше 1"(и,) и не меньше у(пч).
Но сумма всех разностей Лх более мелкого разбиения 1, принадлежащих рассматриваемому ч-му интервалу более грубого разбиения и, как раз равна Лх . Мы видим, таким образом, что соответствующая часть суммы Рг заключается между Лх,.у(и ) и Лх 1(о ). Суммируя теперь по всем а интервалам, мы сразу получаем первое из вышеуказанных неравенств, а второе получается точно таким же путем, если исходить не из разбиения и, а из разбиения т. Мы раньше видели. что Р, — Р', < е(Ь вЂ” а); аналогично Рм — Р„; < е(Ь вЂ” а). Из доказанных неравенств относительно Рг следует поэтому, что 0<Є— Р,<з(Ь вЂ” а) и 0<Р— Р,<е(д — а).
Вместе с тем, конечно, следует, что )(Є— Р,) — (Р— Р,))=! Є— Р„! < 2е(Ь вЂ” а). Так как е может быть задано сколь угодно малым, то из этого соотношения на основании критерия сходимости Коши, стр. 58, вытекает сходииость наших чисел Р,. Вместе с тем из нашего рас- дополнеьпуе к Гльве !1 1Гу1 смотрения непосредственно видно. что предел совершенно не зависит от способа разбиения. Таким образом, существование определенного интеграла от непрерывной функции доказано. Наш способ доказательства дает еще больше. Он обнаруживает, что во многих случаях и несколько более общие предельные переходы приводят к интегралу. Если, например, У(х)=гр(х)ф(х) и промежуток интегрирования от а до (у раабит точками деления х, на н частей, то мы рассмотрим теперь вместо суммы ~уф,)бх более общую сумму где Ц и а" ,уже не являются непременно совпадауощими точкамн - ч-м интервале.
И эта сумма с возрастанием и стремится к пределу ь ь ) у (х) !ах = ) г!у(х) ф (х) Лх, если только длины всех частичных интервалов стремятся при этом к пулю. То же справедливо для всех аналогичным образом построенных сумм; например, сумма а ~ч'~ )! гь($')а+ ф(1",)'Лх, стремится к пределу ) 1у ф(х)э+ф(х)эс!х. а Доказательство этих положений ведется совершенно так же, как только что приведенное доказательство, и поэтому нет надобности излагать еро особо. ф 2. Связь между теоремами о среднем значении дифференциального и интегрального исчисления Между теоремой о среднем значении дифференциального исчисления и соответствующей теоремой интегрального исчисления существует простое соотношение, которое получается из основной теоремы и которое мы здесь выведем в качестве поучительного примера применения этой теоремы.
Если возьмем теорему о среднем значении интегрального исчисления в ее специальной форме ь )г Г" (х)ьГх=((у — а)уя), а а., с а. (у, а 11 Р, Кураат ГЛ. П. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 162 то, положив ~ у'(х)бх = Р(х), следовательно Р(х) = Р'(х), получим непосредственно как выражение этой теоремы равенство Р,(Ь) — Р(а) =(Ь вЂ” а) Р'Я) или Р (Ь) — Р (а) Ь вЂ” а При этом мы в качестве функции Р(х) можелг выбрать произвольную функцию, производная которой Р'(х)=у'(х) непрерывна; тем самым доказана для таких функций теорема о среднем значении дифференциального исчислении. Более общая теорема о среднем значении из интегрального исчисления ~ у'(х) р (х) с[х = Р(~) )г р (х) бх, а ( В < ь, где р(х) — непрерывная функция.
не меняющая знака на [а, Ь[, а Р(х) — произвольная непрерывная функция на этом интервале, приводит к обобщенной теореме о среднем значении дифференциального исчисления. Если положим ~ г(х)р(х)бх=Р(х), т. е, ~'(х)р(х)=Р'(х); [ р (х)с(х = 0 (х), т. е. р (х) = 0'(х), то предыдущая формула примет вид Р (Ь) — Р (а) = [О (Ь) — 0 (аИ у ($) или, тяк как Г (х) = Р' (х) 6'(к) ' Р (Ь) — Р (а) Р' (Ц) 6 (Ь) — 6 (а) 6'(1) при а ФЬ. Эта формула, в которой В опять означает некоторое промежуточное значение между а и Ь, носит название обобгценной теорема о среднеи значении дифференциального исчисления или теоремы Коши. При этом выводе надо, очевидно, только предположить, что Р и 0 — непрерывные функции с непрерывными производными и что, кроме того, 0'(х) всюду в интервале имеет положительное значение (или всюду отрицательное).
В самом деле, цри этих предположениях можно непосредственно обрзтнть предыдущее рассуждение. Заметим. что данные здесь доказательства теорем о среднем значении дифференциального исчисления заставляют вводить более ограничительные предположения, чем это необходимо по существу (ср. гл. !1, 9 3, п' 9, стр. 130 и далее стр. 229), 155 сжщнАннъ1е РНРАжнення к ГлАВе и Упражнение !. Показать, что если 7 (х) имеет непрерывную производную в интервале а<х<Ь, то функцию 7(х) можно представить как разность двух монотонных функций, СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ П 51'. Локазать прямым вычислением, что функция ~ хт з!и — пйи хт--О, у(х) = 0 при х=О имеет производную в любой точке н эта производная 1 1 7"' (х) = — соз — +2х з!и — прн х ф О, х х (о прн х=О.
Показать, что котя производная у' (х) имеет разрыв прн х = О, тем не менее *еорема о среднем значении сохраняет силу. Свойство, изложенное в упражненни 57 (ннже), тоже имеет силу для этой функции(см. стр. 226 и 227 текста). бж Построить график функции х з!п — прн х чь О, 1 7'(х) = 0 при х=О н найти ее производную при х ~ О. Показать,'что при х = 0 эта функция У (х) — У (0) не имеет производной, но что отношение приращений при х -РО х имеет нижний предел — 1 и верхний предел 1 (см. стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
