1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Найденное соотношение (*) делает естественным некоторое расширение понятия неопределенного интеграла. Именно, отныне мы будем называть неопределенным интегралом от у(х) всякое выражение аида к с+- Ф(х) = с + ) у' (и) би. в Иными словами, отныне мы нв будем делать различия между неопределенным интегралом и множеством первообразных функций. Но для правильного понимания взаимной связи между этими понятиями, безусловно необходимо ясно представить себе, что интегрирование и обращение дифференцирования первоначально две совершенно различные вещи и что лишь установление связи между ними дает право применять к первообразной функции также и термин «неопределенный интеграл».
Для неопределеьшого интеграла принято обозначение, которое само по себе, быть может, не совсем ясно. Именно, пишут х Р (х) = с+ ~ у (и) йи = ~ у (х) йх, в т. е. опускают верхний предел х и нижний предел а, а также алдитивную постоянную с и обозначают переменную интеграции через х, чего, собственно, следовало бы избегать, чтобы исключить возможность смешивания с верхним пределом х, который является аргумен- 4~ Э 4.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ПЕРВООБРАЗНАЯ 14З том для Р(х). Употребляя обозначение ) У(х)бх для неопределенного интеграла, вы всегда должны помнить о связанной с ним неопределенности, именно о том, что этот символ обозначает всю совокупность первообразных функций, 4. Применение первообраэной функции к вычислению определенных интегралов. А(опустим, что нам известна какая-нибудь первообразная функция г(х) от У(х) и мы хотим вычислить опрее деленный интеграл ~ у (и) би. а Мы знаем, что неопределенный интеграл к Ф (х) = ~ г (и) йи, а поскольку он также является первообраэной функцией для У (х).
может отличаться от Г(х) только аддитивной постоянной (т. е. постоянным слагаемым). Поэтому Ф(х) = Г(х)+ с, и аддитивная постоянная с тотчас же определяется, если заметить, что неопределенный интеграл к Ф(х) = ) у(и)аи а прн х= а должен получить значение нуль. Следовательно, 0 = Ф (а) = Р (а) + с, с = — Р(а), а Ф(х) = Р(х) — Р(а); отсюда в частности, при х = Ь имеем Ф (Ь) = )Г У'(и) аи' = Г(Ь) — Р(а).
а Эта формула, известная под названием формулы Ньютона— Лейбница, выражает важное правило: Пусть 4о(х) — какая-либо (безразлично какая) переообразная функция для функции У(х); тогда определенный интеграл от у(х) е пределах от а до Ь раеен разности р(Ь) — р(а). ГЛ. П. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 144 При пользовании этим правилом, часто применяют специальный символ ] [так нааываемый символ двойной подстановки) для обозна» чения разности Р(Ь) — Р(а), т.
е. пишут » [ у (х) г(х = Р (х) ]~ = Р (Ь) — Р(а), а так что вертикальной чертой (с индексами а внизу н Ь наверху) отмечают, что в стоящее перед ней выражение надо подставить вместо х сперва Ь, потом а и, наконец, из полученного первого числа вычесть второе'). Пользуясь соотношением Р'(х) = г(х), можно найденную формулу [Ньютона — Лейбница] привести к следующему виду: » » Р(Ь) — Р(а)= ~ Р'(х)ах= ~ „(х) ах. Эту формулу можно легко понять и доказать прямым путем.
Разделим промежуток а (х(Ь на частичные интервалы Лх,, Лхю ... жч ЛР ..., Лх„и рассмотрим сумму 1 — Лх,. (По внешнему виду она дха напоминает интеграл в правой части формулы: отношение днфферепа'Р циалов — заменено отноп[ение»г приращений, символ пх заменен а'х через Лх, а знак интеграла — знаком суммы ~.) С одной стороны, эта сумма равна а лл ЛР(х,)=[Р(х,) — Р(хе)]+[Р(х,) — Р(х,)]+... т 1 ... + [Р(х„) — Р(х„,)] = Р (х„) — Р (х») = Р (Ь) — Р (а) независимо от расположения точек деления интервалаз).
С другой » стороны, предел этой суммы равен ] Р'(х)г(х. В самом деле, по а теореме о среднем значении — = Р' Я,), где са есть точка, проме- ЛР жуточная между концами х,, и х интервала Лх . Поэтому Х. =Х' ° ЛР— Лх, = т Р' Д,) Лх,, а это выражение, по определению ч ') Для двойной подстановки употребителен также символ [Р(х)~~~, ') Это можно, впрочем, понять н без вычислеияй: сумма всех последовательных частичных приращений функции Р(х) равна полному приращению этой функции. 5! 4 а. неОпРеделенный интеГРАл, пеРВООБРАзнАя 143 э интеграла, имеет своим пределом ) г"'(х)т)х, когда все Ох, стреа матея к нулю.
В. Примеры. Только что найденную связь между определенным интегралом, неопределенным интегралом и производной мы теперь иллюстрируем рядом простых примеров. В силу теоремы нз и' 2, стр. 137, из каждой формулы интегрирования, выведенной прямым путем в $2, стр. 108 — 113, можно получить формулу дифференцирования. На стр. 112 мы получили формулу интегрирования э ха дх = (Ьаа! — аа+1) а+1 а для любого рационального показателя а ~'= — 1 и при любых положительных значениях и и Ь.
Заменим переменную интеграции буквой и, а верхний предел обозначим через х; тогда последняя формула запишется так: к иа аи = — (ха+! па+1) а+1 а Отсюда, ио нашей основной теореме, следует, что производная от правой части равнз подынтегральной функции, в которую вместо переменной интеграции подставлен верхний предел. Таким образом, получается формула дифференцирования — (ха+!) = (а+1) ха, Нх справедливая прн всех рациональных значениях а, кроме а = — 1, и для всех положительных значений х. Прямой проверкой убеждаемся, что эта формула верна и ирн а = — 1.
Полученный результат вполне совпадает с результатом, полученным на стр. 121 путем непосредственного дифференцирования. Таким образом, после того, как выведена формула интегрирования, можно было бы, опираясь на основную теорему, сэкономить труд, затрачен- ный на стр. 121 на дифференцирование.
Далее, из показанной на стр. 113 формулы интегрирования сов и аи = в!и х — в!и а а ау следует формула лифференцировання — в!их = сов х, что совпадает с резульа'х татом, полученным нз стр. 121, Но можно и, обратно, каждую доказанную прямым путем формулу дифференцирования Р'(х) =у(х) рассматривать как соотношение между первообразной функцией Р (х) и производной функцией У (х), т. е. рассматривать ее как формулу неопределенного интегрирования, и затем по правилу и" 4, стр. 143, получить определенный интеграл от У (х), Как раз этим методом, как мы увидим в гл.
!Ч, очень часто пользуются. В частности, можно псхолить из результатов $ 3, стр. 120, и получить из них, с помощью 1О Р. Курант ГЛ. П. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ основной теоремы, формулы интегрирования нз й 2, стр. 108. Так, например аь! а хаэ~ на стр. 121 мы узнали, что — х =(а+1) х". Следовательно, — прелйх а+1 стзвляет первообразную функцию или неопрелеленный интеграл от х, если аф — 1; тем самым получается прнвеленная выше формула интегрирования. Упражнения !. г!з формул дифференцирования, полученных прн решении уяражнелия 1, стр.
122 и упр. 1, стр. 135, вывести соответствующие формулы интегрирования. 2. Вычислить: 1 1 лх !' 2х ах ~ (х+1)'' 3 (х'+1)'' О о 3. Используя упр. 2, доказать иа основании определения определенного интеграла, что 1 1 1 1 1 ) „.+ ~(л+1)'+ (л+2)! + '''+ (2л)э) 2 ' 1 2 л 1 1 ((лэ+1)1 + (в!+21)'+'''+ (лэ+л')') 4 $ б. Простейшие методы графического интегрирования Неопределенный интеграл или первообразная функция от у (х) есть функция у=Р(х), которую мы наглядно изображали в виде площзли, но можно, конечно, представить ее графически, как и всякую другую функцию, в виде кривой. Из определения наших понятий непосредственно вытекает простой способ приближенного построения этой кривой, которая дает наглядное представление об интегральной функции. Прежде всего надо принять во внимание, что эта кривая определена не однозначно, а лишь с точностью ло параллельного перемещения в направлении оси у, благодаря наличию аллитивной произвольной постоянной.
Поэтому можно еще потребовать, чтобы интегральная кривая проходила через определенную, произвольно заданную точку, например, если х = 1 приналлежит к интервалу определения функции у (х), через точку с координатами х = ! и у = О, Тогда интегральная кривая вполне опрелелена требованием, чтобы направление ее ') в каждой точке х давалось соответствующим аначением функции у (х), Чтобы дать приближенное построение кривой, уловлетворяющей этим условиям, пытаются построить вместо кривой, уравнение которой у = Р(х), ломаную, вершины которой лежат над заданными точками деления оси х к стороны которой приближенно дают на соответствующем участке направление искомой кривой.
С этой целью делят рассматриваемый интервал на оси х ') То есть угловой коэффициент касательной !Яа'= Р'(х)=у(х). (Прим. лэреэ.) з а. пРОстейшие метОды ГРАФИЧЕСКОГО интЕГРиРОВАния 147 с помощью точек х 1, хп х,, ... на некоторое число частей, не обязательно равных, и проводят через точки деления прямые, параллельные оси у. Лалее проводят (рис. 46) через точку (1, О) прямую с угловым коэффициентом, разным у'(1); через точку пересечения этой прямой с прямой х=х, проводят прямую с угловым коэффициентом 7" (х,) ло пересечения с прямой х=хт и продолжают этот процесс. Для того чтобы практически построить прямые с данным угловым коэффициентом, откладывают от каждой точки деления по вертикали У ординату кривой у =7(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
