1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 28
Текст из файла (страница 28)
5 3. производнля Если й положительно, то я „ ( 0; заставим теперь й ч (я -1- в) — ч (з) стремиться к нулю по положительным значениям, и мы получим в результате предельного перехода, что правая производная «р' (~) (О. чй+л) — чй) С другой стороны, если тг отрицательно, то в )~0, и, стало быть, заставив й стремиться к нулю по отрицательным значе- ниям; получим ас' (В) ~ О.
По условию теоремы функция имеет произ- водную всюду внутри интервала. Следовательно, ч' (в) =ф',(з) =р'(в) и, значит, одновременно г(у'(в) ( О и гр'($) )~ О. Стало быть, гр' Я) = О. Однако, надо еще рассмотреть и тот случай, когда т=М. Но тогда гр(х)=т=сопз(, а гр'(х)=0 во всем интервале, так что любую внутреннюю точку интервала можно принять за $. Итак, теорема Ролла полностью доказана. Теоремой Ролля мы воспользуемся в следующем же и' для доказательства теоремы о среднем значении.
Хорошим упражнением на применение доказанноп теоремы может служить доказательство нижеследующей обобщенной теоремы Р о л ля: Если функяия Е(х), имеющая в данном интервале первые и производных, принимает равные значения в и+ 1 различных отопках хе, хн ..., х„этого интервала, то внутри интервала обязательно сущесптвует такая точка $, в которой производная порядка и обращается в нуль: т ои(В) =О.
Для доказательства представим себе, что значения хз, х,, хг,..., х„ расположены в порядке возрастания. Тогда, по теореме Рояля, первая производная р'(х) должна обратиться в нуль, по крайней мере по одному разу, в каждом нз и частичных интервалов (хь н х ). Применив то же самое рассуждение к производной Г'(х) в каждом промежутке между ее корнями, докажем существование и — 1 точек„ в которых обращается в нуль вторая производная Ек(х).
После п таких шагов обобщенная теорема Ролля будет доказана. Эта теорема понадобится в Дополнениях к гл. аУ!. 9. Теорема о среднем значении'). Между производнои — = ч йх =у'(х) и отношением приращений существует простое соотношение, которое с пользой применяется для многих целей, Это соотношение, иавестное под названием теоремы о среднем значении, получается следующим образом. Рассмотрим отношение приращении Г (хт) — у (х,) Ьу х,— х, дх ') В советской литературе зту теорему чаще называют теоремой Лагранжа плн теоремой о конечных приращениях.
(1Урим. перев.) 9 Р, курант ГЛ. Н. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ для функции Г'1х), причем предполагаем, что З (х) непрерывна при х, ( х ( х и имеет производную в каждой точке промежутка х, ( х ( хг, так что ее график имеет определенную касательную в каждой точке. Отношение приращений равно угловому коэффициенту секущей, т. е. тангенсу угла а, указанного на рис.
41. Сообщим теперь секу1цей перемещение параллельно самой себе; тогда она, .по крайней мере один раз, займет У такое положение, когда она коср нется кривой в точке, абсцисса которой лежит между х, н хг, и уж непременно в той точке р а дуги кривой, которая наиболее лгхг/ удалена от секущей. Таким обра- зом, существует такое промежуРг;/ точное значение $, что хз х Л1 — Л, ~ )' Рис. 41. Это утверждение носит название теорелсы о среднем значении в дифференциальном исчисленви. Промежуточное число $ можно записать в следующем виде: э = х, .+ О гхг — х,), где Π— некоторое число, лежащее между 0 и 1.
В приложениях теоремы о среднем значении мы часто столкнемся с фактом, что О невозможно определить точнее, чем здесь сказано, да в этом и нет надобности. Точная формулировка теоремы о среднем значении такова: Если функция З гх) непрерывна в замкнутом интервале х, ~( х < хг и дифференцируема в каждой точке открытого интервала х, < х( хг, то существует по крайней мере одно такое значение О, причем О( О < 1, что У< ' =У'1х,+Е 1х,— х,)).
хл — х, Эту формулу, выражающую теорему о среднем значении, можно представить и в другом виде, если заменить х, через х и хг через х+Ь: У1 +") У1' =у'<р) = Г'1х+Ей), О < О <1. Подчеркнем существенную важность того, чтобы функция у'гх) была непрерывна и на границах интервала, между тем как существование производной на концах интервала-не обязательно. Это заэ1ечанне кажется незначительным. однако его полезно иметь в виду во многих приложениях. з з. пяоизводнля Если производная ие существует хотя бы в одной внутренней точке интервала, то теорема о среднем значении может оказаться несправедливой, как видно из примера < (х)=(х[ на стр. 123.
Наглядное рассуждение можно дополнить следующими соображениями. Если кривая не совпадает со стягивающей ее хордой во всем интервале х, ~(х~(хг (в случае совпадения отношение приращений всегда равнялось бы производной), то на кривой обязательно должна существовать точка Р, наиболее удаленная от этой хорды (рис.
42). 4' В этой точке кривая, согласно условию. имеет определенную касательную, и эта касательная непременно должна быть параллельна хорде. В самом деле, касательная представляет предельное положение секущей, которое мы получаем, соединяя точку Р с точкой Я на кривой н приближая «; неограни- г< а) с ,г~ ченно к точке Р.
Так как, согласно Рис. 42. допущению, Р удалена от хорды ие менее, чем <;<, то продолжение отрезка Р<,< в направлении от Р к <,< должно или встречать прямую, на которой лежит хорда, или быть ей параллельным, причем безразлично, с какой стороны от Р взята точка <е; а это возможно лишь в том случае, если предельное положение секущей параллельно хорде, соединяющей точки [х,, )'(х<)[ и [хг, у'(хг)[. Обозначим абсциссу точки Р через В.
Угловой коэффициент ~' Я) касательной в точке Р равен, следовательно, угловому коэффициенту хорды ; стало быть, в качестве числа з в формулировке тео- х,— х, ремы можно принять абсциссу точки Р. Си<розог доказзтельство теоремы о среднем значении проводится с помощью теоремы Ролла. Применяем теорему Ролла к вспомогательной функции ') <р(х) у(х) — у (х<) — ' [г(хг) — < (х,)) в промежутке х, ~х~~хг. Эта функция удовлетворяет, очевидно, условиям <р (х,) = <р (хг) = 0 и имеет форму <р(х)= у(х)+ах+Ь ') Эта функция, как читатель сам легко убедится, равна расстоянию от точки [х, /(х)) кривой до секущей, деленному иа соз а (рис. 41), т. е.
иа число, не зависящее от х. ГЛ. П. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ [20 [З2 с постоянными коэффициентами а и Ь, причем а =— х,— х,' Согласно и' 4, стр. 122, цг'(х)=у'(х)+а, и, следовзтельно, по теореме Ролла, существует такое промежуточное значение с, что О= р'а=У'(у+а, откуда УI (гь) У (хг) У (хг) хг — х, и теорема о.
среднем значении доказана. В качестве первого из многочисленных приложений теоремы о среднем значении докажем следующую теорему: Пусть функция у(х) непрерывна в замкнутом интервале а(х (Ь и имеет производную у'(х) в кагкдой точке открытого интервала а (х (Ь. Тогда, если производная У'(х) пологкительна всюду в а (х( Ь, функция у'(х) является монотонно возрастающей в интервале а (х (Ь. и, аналогично, если г'(х) отрицательна в а(х(Ь, то у'(х) является монотонно уйываюгцей. Докажем первое утверждение (второе доказывается таким же путем). Предположим, что ~'(х)) О, и пусть х, и хг) х,— любые два значения х из замкнутого интервала. Тогда, по теореме о среднем значении, [',х,) — у(х[) =(х, — х,) у'(з), где х, ( в(хг, Так как оба множителя в правой части положительны, то у(хг)) г'(х,); следовательно, у(х) — монотонно возрастающая функция.
1О. Приближенное представление любой дифференцируемой функции с помощью линейной. Дифференциал. Равенство !нп у (х + Л) — у (х) =у (х), а.ьо л являющееся определением производной, равносильгю следующему равенству: У (х+Ь) — у'(х) =и|'(х)+зй, (2) или Л [" (х) = г' (х) Лх + е Лх, (2а) или также У(х+Лх)=у+Лу=~(х)+У'(х)Лх+ВЛх, (2б) где е — величина, стремящаяся к нулю вместе с Ь=Лх. Представим себе на минуту значение х фиксированным, а Лх — переменным; тогда этими формулами приращение функции, т. е.
величина Лу, разбивается на два слагаемых: одно слагаемое Л~'(х), пропорциональное Й («линейная» часть), и второе слагаемое («погрешность»), которое там а з. пгоизводнля меньше по абсолютной величине по отношению к И, чем меньше ~ й!. Итак, функция у'(х+й) при постоянном х тем точнее представляется в своей зависимости от й линейной частью у(х)-+Ау'(х), чем меньшим интервалом вокруг точки х мы ограничиваемся. Этому приближенному представлению функции у (х+ й) с помопгью указанной линейной функции от й геометрически соответствует замена кривой ее касательной в точке х. Позже, в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
