1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ЧП, мы рассмотрим практическое применение этих соображений к выполнению приближенных вычислений. Здесь же мы лишь попутно заметим, что, всходя из этого приближенного прелставления приращения Лу с помощью линейного выражения йу'(х), можно дать логически безупречное определение понятия «дифференциал», как это впервые сделал Коши. Несмотря на то, что понятие дифференциала как бесконечно малой величины не имеет смысла и что столь же бессмысленно рассматривать производную как отношение двух таких величин, можно, однако, добиться такого толкования равенства у'(х) = —, при котором йх ' выражение — можно будет понимать не только как цельный символ йу йх производной, но действительно как частное двух величин ду и дх. Для этого даем сперва определение производной у'(х) с помощью нашего предельного перехода, прелставляем себе далее х фиксирован- т' ным, а приращение й =Ах переменным.
Называем теперь это приращение дифференциалом от х и пишем й = дх. Определяем, наконец, в качестве дифференциала функции у выражение йу=у'йх=йг'(х), т. е. опять-таки число, которое не имеет ничего общего с бесконечно малыми величинами. Теперь производная у' = у'(х) действительно яв- Рис. 43. ляется отношением дифференциалов йу и йх, но в этом утверждении уже нет ничего удивительного, это — простая тавтология, иное выражение определения терминов.
Таким образом, дифференциал т(у есть линейная часть прираисения Ьу (рис. 43). 11. Дифференциалы высших порядков. Если исходить не из первоначального определения дифференциала как линейной части приращения функции, а из формулы йу=йг'(х)= г'(х)йх, гл. и. основные понятия (12 то можно также ввести понятия лифференциалов второго и высших порядков. Именно, прелставим себе, что выбрано какое-то л=Ьх= =л)х, и притом одно и то же лля всех значений х; тогда дифференциал лгу = Йу'(х) =)'(х)л)х будет функцией от х, от которой можно в свою очередь вычислить лифференциал. Полученную величину называют дифференциалом второго порядка нли вторым лифференциалом функции у =у (х) и обозначают символом лггу = Фу(х).
дифференцяал от второго дифференциала называется дифференциалом третьего порядка или третьим дифференциалом и обозначается символом ((зу = с(зу (х) и т. д. Вообще, дифференциалом а-го порядка называется дифференциал от лнфференциала (и — 1)-го порядка: (((' 'у) = ("у=а'У(х). Итак, второй дифференциал лгу ((л)у) )(ьл~ (х)) (Ц~ (х))л ь лгал(х) Третий дифференциал (гзу л) ()(гу) (((ьгул (х)) = 1))гул (х))' )) = взу'л (х).
Продолжая в том же духе, получим, применяя полную индукцию: (1"у= (([д" у) = г([Ь,)' (х)[ = [л" ) '" (х)] Ь =))"~" (х), Таким образом, дифференциалы различных порядков выражаются так: гг( .) ) лг гл( .) (.г (л г(л)( .) г л Теперь можно уже обозначение Лейбница для производной и-го порядка у(л) ( ллу л(лу'(х) — ,~лл яхл рассматривать как дробь, а именно: Производная п-го порялка равна частному от деления а-го дифференциала функции на п-ю степень дифференциала независимой переменной. 12. Замечания относительно применения наших понятий в естествознании.
В приложениях математики к явлениям природы никогда це приходится иметь дело с вполне точно определенными величинами. Равняется ли определенная длина точке метру — вопрос, который не может быть разрешен никаким экспериментом и потому не имеет «физического смысла». Столь же мало смысла с физической точки зрения говорить о том, что длина некоторого материального бруска рациональна пли иррациональна; мы можем измерить эту длину с желательной степенью точности с помощью рациональных чисел. э 3. ПРОнзводнля и при измерении нам главным образом интересно, можно ли при этом обойтись рациональными числами со сравнительно небольшими знаменателями или нет. Подобно тому, как вопрос о рациональности или иррациональности в строгом смысле «точной математики> (Ргйх!з)опвша(пеша11«) не имеет физического смысла, так и действительное выполненпе предельных переходов в приложениях математики обычно представляет только математическую идеализацию.
Значение такой идеализации для приложений заключается прежде всего в том, что благодаря ей все аналитические выражения становятся существенно проще и удобнее, Например, гораздо проще и удобнее оперировать с понятием мгновенной скорости, которая является функцией только одного определенного момента времени, чем с понятием средней скорости между двумя различными моментами. Любое теоретическое изучение природы при отсутствии математической идеализации было бы обречено нз безнадежное усложнение и должно было бы остановиться на самой начальной стадии. Я,, однако, не собираюсь вдаваться здесь в рассуждения об отношении математики к действительности; хочу только подчеркнуть по поводу наших новых понятий, что в приложениях всегда имеем право заменить производную отношением приращений и наоборот, если только рассматриваемые приращейия настолько малы, чтобы гарантировать достаточную точность приближения.
Физик, биолог, техник или всякий другой, кому приходится практически иметь дело с этими понятиями, имеет поэтому право, в пределах требуемой точности, отождествить производную с отношением приращений. И чем меньше приращение Ь = с(х независимой переменной, тем с большей точностью он сможет представить приращение Лу = у(х+ И) — г(х) с помощью дифференциала ду=лг'(х). Пока он при этой замене остается в границах точности, которые ему каждый раз поставлены в его задаче, он привык называть приращения ~ух=6 и Иу=1гГ'(х) «бесконечно малыми величинами». Эти «физически бесконечно малые» величины имеют точный смысл.
Это, безусловно, конечные, отличные от нуля величины, только выбранные в рассматриваемом вопросе достаточно малыми, например меньше какой-то доли длины волны или меньше расстояния двух электронов в атоме н т. п., вообще меньше некоторой желательной степени точности. Упражнения 1. Найти промежуточное значение а в теореме о среднем значении для следующих функций и дать графическую. иллюстрацию; а) 2лз б) хй в) 5х'+2»л г) —, д) хпз, ля+1 ' 2. Показать, что теорема о среднем значении теряет силу для следующих функций, если абсциссы концов интервала выбрать с протнвоположнымн знаками, например л, = — 1, х, = 1: а) 1!х; б) )л(; в) хжз.
Лать графическую иллюстрацию в сравнить с предыдущим упражнением. гл. и. основныв понятия 188 й 4. Неопределенный интеграл, первообразная функция и основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления Как уже было упомянуто, краеугольным камнем дифференциального и интегрального исчисления является связь между задачей интегрирования и задачей дифференцирования. К установлению этой связи мы теперь и переходим. 1. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Значение определенного интеграла функции у (х) зависит от выбора обоих пределов интеграции а и д. Интеграл является функцией как нижнего предела и, так и верхнего предела д.
Чтобы ближе изучить эту зависимость, представим себе прежде всего, что нижний предел и есть определенное постоянное число; обозначим переменную интеграции не через х, а через и, что, конечно, совершенно безразлично (см. стр, 108), а верхний предел интеграции обозначим через х (вместо д), чтобы отметить, что мы хотим его рассматривать как переменный и иссле- довать значение интеграла как функцию его У верхнего предела. В силу этого полагаем УМ ~ г" (и) ди = Ф (х) .
а Эту функцию Ф(х) называют неопределенным интегралом функции у(х). Ясно, что функция Ф(х) не является Ы х единственным неопределенным интегралом от функции у'(х), так как за нижний предел интеграла вместо и можно взять произвольные другие значения, в связи с чем изменяется и значение интеграла. Геометрически неопределенный интеграл выражается для каждого значения х площадью (рис. 44) ограниченной кривой у=т(и), ординатами и=и и и=х и отрезком оси и, причем знак плошади устанавливается, конечно, по указанным выше (Э 1, п'3, стр. 1Об) правилам.
Выбирая для нижнего предела вместо и другое значение а, мы получаем неопределенный интеграл х Ч'(х) =- ~ г'(и) ии. а разность х х х а а Ч'(х) — Ф(х)= ~ у(и)г1и — ~ /(и)г(и= ) + ~ = ) у'(и) ди а а а х а ч а неопРедЕленныи интеГРАл, пеРВООБРАзнАя гзт и является, следовательно, постоянным числом, поскольку а и и постоянны. Таким образом, Ч" (х) = Ф (х) + сопя й т.
е. различные неопределенные интегралы от одной а той же функции различаются между собой только аддитивной постоян- ной (т. е. постояннмм слагаемым). Можно было бы подобным же образом рассматривать интеграл как функцию нижнего предела. введя функцию ~р(х) = ~ у(и)йи, « где Ь вЂ” постоянное число. И здесь два интеграла с различными верх- ними пределами Ь и Р различаются между собой только на адднтив- ную постоянную ) г" (и)йи. 2. Производная неопределенного интеграла. Поставим теперь вопрос имеет лн неопределенный интеграл Ф(х) производную по переменной х? В результате исследования получится следующая теорема: Неопределенный интеграл Ф (х) = ~ у" (и) йи а от непрерывной функции з (х) имеет всегда производную Ф'(х), причем Ф'(х) =У(х), т. е. дифференцирование неопределенного интеграла от заданной непрерывной функции Г'(х) дает обратно ту же функцию /(х), [Можно сказать и так: производная интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интеграции подставлен верхний предел.) Этот, факт образует основу всего дифференциального и интегрального исчисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
