1610915371-a84da1750128740556f10d864a75d9a7 (824747), страница 32
Текст из файла (страница 32)
эту ординату проектируют на какую-нибудь прямую, параллельную оси ординат, например на ось у: В таком случае направление касательной к интегральной кривой получают, соединяя точку х=О, у=у(х) с точкой х= — 1, у=О (рис. 47 и 48). Перенося эти Рис. 46. направления параллельно самим себе.; строят ломаную линию, вершины которой лежат над заданными точками деления оси х и направление каждой. стороны которой совпадает с направлением интегральной кривой в начальной точке соответствующего частичного интервала. Если разбить весь интервал на достаточно мелкие части, то полученная ломаная будет сколь угодно точным приближением к интегральной кривой.
Часто можно точность еще несколько увеличить, если брать каждый раз за направление стороны ломаной направление касательной не в начальной, а в средней точке соответствующего интервала ') (ср. ~рис. 47 и 48). На рис. 48 указанное построение проведено для функции /(х)=х. Получаем таким образом с помощью графического интегрирования х' 1 в качестве интегральной кривой параболу у= — — —. Кроме того, 2 2' на рис.
47 построена приближенно интегральная функция Р(х) для функции /(х)=1/х. Это функциа, которую мы позже (см. гл. 1П, 9 б) еще будем подробно изучать — она окажется логарифмической функцией. Наконец, читателю рекомендуется проделать самостоятельно несколько упражнениЯ, например графически проинтегрировать Мпх и сов х. ') Заметим кстати, что графическая интеграция, т. е. построение графика первообразиой функции Р(х) для заданной графиком же функции у(х), может быть выполнена и механическими приборами, так называеммми интеграфами или интеграторами, у которых один штифт перемещают вдоль заданной кривой у = у(х), тогда другой (пишущий) штифт автоматически вычерчивает одну из кривых у=Р (х), лля которых Р' (х)=У(х).
Неопределенность произвольной постоянной выражается в некоторой произвольности выбора еервоиачальиой установки прибора. Подробнее смотри в книге М е й е р цу р К а п е л л е и В., Инструментальная математика для инженеров, пер. с ием., М., 1959, стр. 129 — 215. 10Я 11 % в. связь мвждк интзгвллом и пвоизводноп 149 Упражнения 1. Графическим интегрированием с шагом А =0,1 построить следующие интегральные кривые: а) ~ х' лх (О ( х ( 2); б) ~ —, ах (1 ( х ( 2); Г 1 з) ~ — Нх (0<х <1).
1 1+ х' о 1 1 В частности вычислить таким путем ~, лх. 1+х' о ф 6. Дальнейшие замечания о связи между интегралом и пронэводмой Прежде чем перейти к систематическому изучению найденных. в $ 4 на стр. 136 зависимостей, осветим их еще с другой точки зрения, находящейся в самой тесной связи с наглядным представлением о плотности и с другими физическими понятиями. 1. Распределение массы н плотность) общее количество и удельное количество.
Представим себе, что на прямой линии, оси х, распределена какая-то масса, притом непрерывно, но не обязательно равномерна, Представим себе, например, воздушный столб данного поперечного сечения, вертикально стоящий над поверхностью земли; примем за ось х направленную вверх вертикальную прямую, а за начальную точку х = Π— точку на земгюй поверхности. Вся масса между двумя абсциссами х = х, и х = хв характеризуется с помощью так называемой суммирующей функции г (х) следующим образом. Исходят из точки х=О, начальной точки распределения масс вдоль прямой, и под г" (х) понимают всю массу, лежащую между абсциссой О и абсциссой х. Приращение массы между абсциссами х, и х, выражается тогда просто разностью г' (хт) — Р (х~), причем этой разности приписывается знак, изменяющийся прн перестановке х, и хм Среднее значение массы. приходящейся на единицу длины в интервале от х, до хю равно ! (х,) — Р(х ) хь — х! Допустим, что функция Р(х) дифференцируема, тогда это значение при хз-+х, стремится к значению производной г'(х,)=у(х,)..
гл. и. основныв понятия Эта последняя величина представляет как раз то, что обыкновенно называют удельной массой нли плотностью нашего распределения масс в точке х, (оиа, конечно, вообще говоря, изменяется с изменением места). Между плотностью у'(х) и суммирующей функцией р(х) существуют, следовательно, соотношения х Р(х) = ~ 1(и) йи; г" (х) = Р'(х).
о Суммирующая функция является переообразкой функцией от плотности, или, иными словами, ласса есть интеграл алоткости; и обратно: алоткость есть производная от суммирующей функции, т. е. от массы. Совершенно аналогичные соотношения встречаются в физике неоднократно. Например, если мы 'обозначим количество теплоты, которое нужно для повышения температуры единицы массы некоторого вещества от температуры Га до температуры 1, через ьг(1), то для повышения температуры с Г до Г, потребуется количество теплоты, равное Среднее количество тепла, затрачиваемое между г и г, на повышение температуры на единицу, равно ьг (г1) — О (г) , если предположим и здесь дифференцируемость функции.
то в пределе получим функцию (г) = ! пп которая называется удельной теплоемкостью данного вещества. 3ту удельную теплоемкость нздо рассматривать, вообще говоря, как функцию от температуры. И здесь между удельной теплоемкостью н общим количеством теплоты существует соотношение ) й(()йг=ьк(в) — ье(а), а которое характеризует зависимость между интегралом и производной. Совершенно аналогичные соотношения встречаются повсюду, где можно общему количеству противопоставить удельное количество, как, например, электрическому заряду — плотность электричества, силе, приложенной к поверхности, — плотность силы или давление в каждой точке и т. д. 21 $6. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРАЛОМ И ПРОИЗВОДНОЙ 151 В природе дело обыкновенно обстоит так, что иам известны непосредственно не удельные величины, т.
е. плотности, а общее количество; первичными величинами являются, таким образом, интегралы (что выражается, впрочем, и в названии «первообразная функция»), и лишь предельный переход, именно дифференцирование, приводит нас к удельным величинам, к плотностям.
Заметим, кстати, что когда мы массы рассматриваем как положительные по природе своей величины, суммирующая функция с (х) непременно монотонно возрастает вместе с' х и, вследствие этого, удельная величина, плотность, не отрицательна. Но, конечно, ничто не мешает нам ввести представление и об отрицательных массах (например, отрицательное электричество); тогда наши суммирующие функции 1''(х) уже не ограничиваются никакими условиями монотонности. 2. Точка зрения приложений. Отношение первообразной суммирующей функции к удельной плотности распределения станет, пожалуй, еще отчетливее, если уяснить себе, что с точки зрения физических фактов предельный переход как при интегрировании. так и при дифференцировании представляет идеализацию и что он не выражает в природе чего-либо точно, что, скорее, вместо интеграла в физической действитедьности надо, в сущности, образовать только сумму очень многих весьма малых слагаемых, а вместо производной — отношение очень малых приращений.
Величины Ьх остаются отличными от нуля; предельный переход Лх — »О имеет исключительно математическое значение далеко идущего упрощения, при котором, однако, точность математического представления действительна заметно не нарушается. В качестве примера вернемся к вертикальному столбу воздуха. В силу атомистического строения материи распределение массы в воздушном столбе не может быть в действительности непрерывной функцией от х.
Напротив, мы представляем себе массу (что, впрочем, тоже является идеализирующим упрощением) распределенной вдоль оси х в виде очень большого количества точечных молекул, лежащих весьма близко друг к другу. Тогда суммирующая функция Г(х) не будет. непрерывной функцией: сохраняя постоянное значение в промежутке между двумя молекулами, она будет изменяться внезапно, скачком всякий раз, как переменная проходит через точку, занимаемую молекулой.
Величина этого скачка равна как раз массе молекулы, а среднее расстояние между. двумя молекулами, согласно результатам атомистической теории, — порядка 1О см. 2 Если мы наши величины Лх выберем очень малыми, но все жедостаточно большими по сравнению с длиной 10 сж, например равными 10 см, то число молекул в каждом интервале от х до х+Лх будет еще настолько 'велико, именно порядка !0«, что по отношению к ним еще сохраняется впечатление Непрерывного ГЛ.
Н. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 12 152 распределения, и поэтому считают себя вправе идеализировать это распределение с помощью непрерывной н дифференцируемой функции. В качестве плотности тогда просто рассматривают отношение приращений ДР (х) Р (х+ Дх) — Р (х) при этом, конечно, существенным физическим допущением является предположение, что это отношение не будет заметно изменяться, когда мы будем изменять Лх в некоторых границах, скажем от 1О до 10 сх. Непосредственно видим, что эта Плотность связана со всей массой очевидным равенством; Р( ) = ')'„—,„Л . ЛР Полезно, пожалуй, разобрать еще один пример понятий: суммирующая функция и плотность распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
